第一章《三角形的证明》4.角平分线（1）——北师大版数学八（下）课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024八上·拜城期中）如图，要在内找一点P，使它到三边的距离相等，则P是（ ）
A．边，上的高的交点 B．边，的中线的交点
C．与的平分线的交点 D．边的垂直平分线的交点
2．（2024·云南） 已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ）
A． B．2 C．3 D．
3．（2024八上·东莞期中）如图，已知平分，是上一点，于，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是（ ）
A．4 B．8 C．5 D．6
4．（2024八上·长兴期中）如图，和CP分别平分和过点，且与AB垂直.若，则点到BC的距离是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
5．（2024七下·大渡口月考）如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024八上·江门期中）如图，射线是的平分线，是射线上一点，于点，若是射线上一点，且，则的面积是 ．
7．（2024八上·巴楚期中）如图，平分，于点，点为射线上一动点，若，则的最小值为 ．
8．（2024八上·鄞州期中）如图，是等腰底边上的中线，平分交于点，若，，则的面积为 ．
9．（2024八上·瑞安期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE=2，AB=4，△ABC的面积为7，则AC＝
10．（2024九上·北京市开学考）如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为 ．
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024九上·花都开学考）如图，在中，，，，平分交于点．
（1）求的面积；
（2）求的长．
12．（2024八下·项城期中）如图，A、B两点分别在射线上，点C在的内部，且，，垂足分别为D，E，且．
（1）求证：平分；
（2）若，求的长．
13． 如图，AD是BC的垂直平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
求证：
（1）∠ABD=∠ACD．
（2）DE=DF．
14．（2024八下·景德镇期中） 如图，是的角平分线，分别是和的高．
（1）试说明垂直平分；
（2）若，，，，求的长．
15．（2023·佛山模拟）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，E，D为垂足，CF＝CB．
（1）求证；BE＝FD．
（2）若AE＝10，CD＝8，求四边形ABCF的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：内确定一点到三边的距离相等，则这一点是两个内角平分线的交点．
故答案为：C．
【分析】利用三角形角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）分析求解即可.
2．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解： 如图所示：
∵是等腰底边上的高，
∴平分，
∴点F到直线，的距离相等，
∵点到直线的距离为3，
∴点到直线的距离为3．
故答案为：C
【分析】先根据题意画出草图，进而根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质即可求解。
3．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作于点G，如图所示：
设点Q为上某一点，连接，
∵平分，于，，
∴，
∵，
∴，
∴取．
故答案为：B．
【分析】过点P作于点G，先利用角平分线的性质可得，再利用垂线段最短的性质可得，再求解即可.
4．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BP为角平分线，PA⊥BA，
∴P到BC的距离等于PA，
同理可知，P到BC的距离也等于PD，
∴PA=PD=AD=×8=4，
则P到BC的距离为4，
故答案为：C.
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等求解即可.
5．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长、交于点，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】延长、交于点，得到，即可得到，然后推导，根据全等三角形的对应边相等得到，求出长解题．
6．【答案】18
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过作与，
射线是的平分线，，
，
，
的面积．
故答案为：．
【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面．过作与，根据射线是的平分线，，利用角平分线的性质可得：，再利用三角形面积公式可得：的面积，代入数据进行计算可求出答案．
7．【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过O点作于H点，如图，
平分，
，
∵点E为射线上一动点，
∴的最小值为的长，
即的最小值为3．
故答案为：3．
【分析】过O点作于H点，先利用角平分线的性质可得，再利用垂线段最短的性质可得的最小值为3．
8．【答案】8
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：过点作于点，
是等腰底边上的中线，
，，
平分，，
，
的面积，
故答案为：8．
【分析】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质．过点作于点，根据是等腰底边上的中线 ，利用等腰三角形的性质可得，，根据角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式可得：的面积，代入数据进行计算可求出答案．
9．【答案】3
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=2，
∵△ABC的面积为7，
∴△ABD的面积+△ADC的面积=7，
∴，
∴，
∴AC=3，
故答案为：3.
【分析】利用角平分线的性质可得DE=DF，然后利用面积法，进行计算即可解答.
10．【答案】10
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：因为平分，可得，
又因为四边形是矩形，可得，且，
所以，所以，可得，
因为，所以，解得.
故答案为：10．
【分析】由角平分线形状和矩形的性质，推得，且，再由等腰三角形的性质，得到，结合勾股定理，列出方程，即可求解.
11．【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∴．
（2）解：过D作于，
是的平分线，，于，
，
设BD=DE=x，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴
解得x=，
即.
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求解AB，再利用直角三角形的面积公式进行计算即可；
（2）过D作DE⊥AC于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得BD=DE，设BD=DE=x，根据S△ABC=S△ABD+S△ACD，建立方程可求出BD的长.
（1）解：∵，，，
∴，
∴．
（2）过D作于，
是的平分线，，于，
，
在Rt和Rt中，
，
∴，
，
，
设，则，，
在中
∴
解得
即
12．【答案】（1）证明：∵，
∴，
在Rt△ADC和Rt△BEC中，
，
∴，
∴，
在Rt△ODC和Rt△OEC中，
，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）由题意，用HL定理可证，由全等三角形的对应边相等可得，同理可得，由全等三角形的对应角相等可得∠COD=∠COE，然后根据角平分线的定义即可求证；
（2）由（1）可得，由全等三角形的对应边相等可得，然后根据线段的构成OA=OD+AD计算即可求解．
13．【答案】（1）证明：∵AD是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB， ∠CBD=∠BCD
∴∠ABC+∠CBD=∠ACB+∠BCD，
即∠ABD=∠ACD.
（2）证明：∵AB=AC，AD是BC的垂直平分线，
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由线段的垂直平分线的性质可得：AB=AC，BD=CD，由等边对等角可得∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，然后由角的构成即可求解；
（2））由（1）的结论和角平分线的性质"角平分线上的点到角两边的距离相等"可求解.
14．【答案】（1）证明：∵是的角平分线，分别是和的高，
∴，
在和中，
，
，
∴AE=AF，
∴垂直平分
（2）解：∵，，，，
∴，
即，
解得，
∵是的角平分线，，
∴，
则在中，．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据角平分线的性质得到，再根据全等三角形的判定HL证出，进而得到AE=AF，即可得到结论.
（2）先根据得到，再根据角平分线的定义得到∠BAD=30°，进而求出AD即可.
15．【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CE，
在Rt△CBE和Rt△CFD中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝FD；
（2）解：∵AC＝AC，CD＝CE，
∴Rt△ACD≌Rt△ACE（HL），
∴S△ACD＝S△ACE，AE＝AD＝10，
∵Rt△CBE≌Rt△CFD，
∴S△CBE＝S△CFD，
∴四边形ABCF的面积＝S四边形AECD＝2S△ACD＝2××10×8＝40．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质，可得CD=CE；根据三角形全等的判定（HL）和性质，可得BE=FD；
（2）根据三角形全等的判定（HL）和性质，可得S△ACD＝S△ACE，AE＝AD＝10，S△CBE＝S△CFD；
根据四边形的面积等于两个三角形面积之和即可解题.
1 / 1第一章《三角形的证明》4.角平分线（1）——北师大版数学八（下）课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024八上·拜城期中）如图，要在内找一点P，使它到三边的距离相等，则P是（ ）
A．边，上的高的交点 B．边，的中线的交点
C．与的平分线的交点 D．边的垂直平分线的交点
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：内确定一点到三边的距离相等，则这一点是两个内角平分线的交点．
故答案为：C．
【分析】利用三角形角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）分析求解即可.
2．（2024·云南） 已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解： 如图所示：
∵是等腰底边上的高，
∴平分，
∴点F到直线，的距离相等，
∵点到直线的距离为3，
∴点到直线的距离为3．
故答案为：C
【分析】先根据题意画出草图，进而根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质即可求解。
3．（2024八上·东莞期中）如图，已知平分，是上一点，于，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是（ ）
A．4 B．8 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作于点G，如图所示：
设点Q为上某一点，连接，
∵平分，于，，
∴，
∵，
∴，
∴取．
故答案为：B．
【分析】过点P作于点G，先利用角平分线的性质可得，再利用垂线段最短的性质可得，再求解即可.
4．（2024八上·长兴期中）如图，和CP分别平分和过点，且与AB垂直.若，则点到BC的距离是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BP为角平分线，PA⊥BA，
∴P到BC的距离等于PA，
同理可知，P到BC的距离也等于PD，
∴PA=PD=AD=×8=4，
则P到BC的距离为4，
故答案为：C.
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等求解即可.
5．（2024七下·大渡口月考）如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长、交于点，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】延长、交于点，得到，即可得到，然后推导，根据全等三角形的对应边相等得到，求出长解题．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024八上·江门期中）如图，射线是的平分线，是射线上一点，于点，若是射线上一点，且，则的面积是 ．
【答案】18
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过作与，
射线是的平分线，，
，
，
的面积．
故答案为：．
【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面．过作与，根据射线是的平分线，，利用角平分线的性质可得：，再利用三角形面积公式可得：的面积，代入数据进行计算可求出答案．
7．（2024八上·巴楚期中）如图，平分，于点，点为射线上一动点，若，则的最小值为 ．
【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过O点作于H点，如图，
平分，
，
∵点E为射线上一动点，
∴的最小值为的长，
即的最小值为3．
故答案为：3．
【分析】过O点作于H点，先利用角平分线的性质可得，再利用垂线段最短的性质可得的最小值为3．
8．（2024八上·鄞州期中）如图，是等腰底边上的中线，平分交于点，若，，则的面积为 ．
【答案】8
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：过点作于点，
是等腰底边上的中线，
，，
平分，，
，
的面积，
故答案为：8．
【分析】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质．过点作于点，根据是等腰底边上的中线 ，利用等腰三角形的性质可得，，根据角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式可得：的面积，代入数据进行计算可求出答案．
9．（2024八上·瑞安期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE=2，AB=4，△ABC的面积为7，则AC＝
【答案】3
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=2，
∵△ABC的面积为7，
∴△ABD的面积+△ADC的面积=7，
∴，
∴，
∴AC=3，
故答案为：3.
【分析】利用角平分线的性质可得DE=DF，然后利用面积法，进行计算即可解答.
10．（2024九上·北京市开学考）如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为 ．
【答案】10
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：因为平分，可得，
又因为四边形是矩形，可得，且，
所以，所以，可得，
因为，所以，解得.
故答案为：10．
【分析】由角平分线形状和矩形的性质，推得，且，再由等腰三角形的性质，得到，结合勾股定理，列出方程，即可求解.
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024九上·花都开学考）如图，在中，，，，平分交于点．
（1）求的面积；
（2）求的长．
【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∴．
（2）解：过D作于，
是的平分线，，于，
，
设BD=DE=x，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴
解得x=，
即.
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求解AB，再利用直角三角形的面积公式进行计算即可；
（2）过D作DE⊥AC于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得BD=DE，设BD=DE=x，根据S△ABC=S△ABD+S△ACD，建立方程可求出BD的长.
（1）解：∵，，，
∴，
∴．
（2）过D作于，
是的平分线，，于，
，
在Rt和Rt中，
，
∴，
，
，
设，则，，
在中
∴
解得
即
12．（2024八下·项城期中）如图，A、B两点分别在射线上，点C在的内部，且，，垂足分别为D，E，且．
（1）求证：平分；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
在Rt△ADC和Rt△BEC中，
，
∴，
∴，
在Rt△ODC和Rt△OEC中，
，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）由题意，用HL定理可证，由全等三角形的对应边相等可得，同理可得，由全等三角形的对应角相等可得∠COD=∠COE，然后根据角平分线的定义即可求证；
（2）由（1）可得，由全等三角形的对应边相等可得，然后根据线段的构成OA=OD+AD计算即可求解．
13． 如图，AD是BC的垂直平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
求证：
（1）∠ABD=∠ACD．
（2）DE=DF．
【答案】（1）证明：∵AD是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB， ∠CBD=∠BCD
∴∠ABC+∠CBD=∠ACB+∠BCD，
即∠ABD=∠ACD.
（2）证明：∵AB=AC，AD是BC的垂直平分线，
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由线段的垂直平分线的性质可得：AB=AC，BD=CD，由等边对等角可得∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，然后由角的构成即可求解；
（2））由（1）的结论和角平分线的性质"角平分线上的点到角两边的距离相等"可求解.
14．（2024八下·景德镇期中） 如图，是的角平分线，分别是和的高．
（1）试说明垂直平分；
（2）若，，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵是的角平分线，分别是和的高，
∴，
在和中，
，
，
∴AE=AF，
∴垂直平分
（2）解：∵，，，，
∴，
即，
解得，
∵是的角平分线，，
∴，
则在中，．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据角平分线的性质得到，再根据全等三角形的判定HL证出，进而得到AE=AF，即可得到结论.
（2）先根据得到，再根据角平分线的定义得到∠BAD=30°，进而求出AD即可.
15．（2023·佛山模拟）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，E，D为垂足，CF＝CB．
（1）求证；BE＝FD．
（2）若AE＝10，CD＝8，求四边形ABCF的面积．
【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CE，
在Rt△CBE和Rt△CFD中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝FD；
（2）解：∵AC＝AC，CD＝CE，
∴Rt△ACD≌Rt△ACE（HL），
∴S△ACD＝S△ACE，AE＝AD＝10，
∵Rt△CBE≌Rt△CFD，
∴S△CBE＝S△CFD，
∴四边形ABCF的面积＝S四边形AECD＝2S△ACD＝2××10×8＝40．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质，可得CD=CE；根据三角形全等的判定（HL）和性质，可得BE=FD；
（2）根据三角形全等的判定（HL）和性质，可得S△ACD＝S△ACE，AE＝AD＝10，S△CBE＝S△CFD；
根据四边形的面积等于两个三角形面积之和即可解题.
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