第一章《三角形的证明》4.角平分线（2）——北师大版数学八（下）课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024·天津） 如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】尺规作图-作角的平分线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵ 如图，中，，
∴∠BAC=50°，
又由作图知：AD平分∠BAC，
∴∠DAC=25°，
∴∠ADC=90°-25°=65°。
故答案为：B.
【分析】首先根据直角三角形两锐角互余，可求得∠BAC=50°，再根据基本作图得出AD平分∠BAC，进而得出∠DAC=25°，再根据直角三角形的性质可得出∠ADC的度数，即可得出答案。
2．（2022·舟山）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；角平分线的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：A、由作图痕迹可知，是作已知角的角平分线方法，A选项不符合题意；
B、由作图痕迹可知，可构造三角形全等，推出角相等，即可作出角的角平分线，B选项不符合题意；
C、由作图痕迹可知，可构造出等腰三角形及平行线推出角相等，进而得出角平分线，C不符合题意；
D、由作图痕迹可知，是作平行四边形，无法得出角的角平分线，D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据角的角平分线作法步骤，可判断A选项；由图中痕迹可知，构造三角形全等，由全等性质得出角相等，从而得到角的角平分线，可判断B选项；由作图痕迹可知，由等腰三角形性质平行线性质推出原来大角被平分，进而得出角平分线，可判断C选项；由作图痕迹可知，图中可作出平行四边形ABCD，平行四边形对角线不平分内角，故得不到角的角平分线，可判断D选项. 据此逐项分析判断即可得出正确答案.
3．（2023·新疆）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】如图：
过点D作DH⊥AB于H，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴，
∵AD平分∠CAB，
∴CD=DH，∠CAD=∠HAD，
在Rt△ACD和Rt△AHD中
，
∴Rt△ACD≌Rt△AHD（HL），
∴AH=AC=3，
∴HB=AB-AH=2，
∵HB2+DH2=BD2，
∴22+CD2=（4-CD）2，
∴CD=，
故答案为：C.
【分析】过点D作DH⊥AB于H，先证出Rt△ACD≌Rt△AHD（HL），可得AH=AC=3，利用勾股定理可得HB2+DH2=BD2，再将数据代入可得22+CD2=（4-CD）2，最后求出CD=即可。
4．（2022·海南）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线，交于点D，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】由作法得BD平分∠ABC，
∴
设 ，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴，解得
∴
故答案为：A
【分析】由作法可知BD平分∠ABC，可得到，设∠ABD=x，可表示出∠ABC的度数，利用等边对等角可表示出∠C，∠ABD的度数；利用三角形的内角和定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到∠A的度数.
5．（2020·安顺）如图， 中， ，利用尺规在 ， 上分别截取 ， ，使 ；分别以D，E为圆心、以大于 为长的半径作弧，两弧在 内交于点F；作射线 交 于点G，若 ，P为 上一动点，则 的最小值为（ ）
A．无法确定 B． C．1 D．2
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小，
根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，
∵∠C=90°，
∴当GP⊥AB时，GP=CG=1，
故答案为：C.
【分析】当GP⊥AB时，GP的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，再根据角平分线的性质可知，当GP⊥AB时，GP=CG=1.
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2020·扬州）如图，在 中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E.
②分别以点D、E为圆心，大于 的同样长为半径作弧，两弧交于点F.
③作射线BF交AC于点G.
如果 ， ， 的面积为18，则 的面积为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图作法可知：BG为∠ABC的角平分线
过G作GH⊥BC，GM⊥AB
∴GM=GH
∵S△ABC=S△ABG+ S△BCG=18
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得：GH=
∴ 的面积为 .
故答案为 .
【分析】由作图步骤可知BG为∠ABC的角平分线，过G作GH⊥BC，GM⊥AB，可得GM=GH，然后再结合已知条件和三角形的面积公式求得GH，最后运用三角形的面积公式解答即可.
7．（2024·湖南）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则 ，
【答案】6
【知识点】角平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题意，是的平分线
∵是边上的高，，
∴，
∴
∴，
故答案为：6．
【分析】根据尺规作图的步骤，判断出BP是的平分线，再由角平分线的性质及题中线段之间的数量关系，即可计算出AM的长.
8．（2023·阜新）如图，在矩形中，．连接，在和上分别截取，使．分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G．作射线交于点H，则线段的长是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，过点H作HM⊥AC于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，DC=AB=6，
在Rt△ADC中，由勾股定理得，
由题意得AH是∠DAC的角平分线，∵∠D=90°，HM⊥AC，
∴DH=HM，
∵S△ADC=S△ADH+S△AHC，
∴，
∴AD×DC=AD×DH+AC×DH，即6×8=8DH+10DH，
∴DH=.
故答案为：.
【分析】过点H作HM⊥AC于点M，由矩形性质得∠D=90°，DC=AB=6，在Rt△ADC中，由勾股定理算出AC的长，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DH=HM，进而根据S△ADC=S△ADH+S△AHC建立方程可求出DH的长.
9．（2023·扬州）如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过点D作DG⊥BC于点G，
由题意可知BD平分∠ABC，∠A=90°，
∴AD=DG，
在Rt△ABC中。
，
∵，
∴，
解之：.
故答案为：
【分析】过点D作DG⊥BC于点G，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得AD=DG，利用勾股定理求出BC的长，再利用三角形的面积公式可证得，代入计算求出AD的长.
10．（2020·新疆）如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA=OB，再分别以点A，B为圆心，以大于 AB长为半径画弧，两弧交于点P.若点P的坐标为（a，2a-3），则a的值为 .
【答案】3
【知识点】角平分线的性质；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵OA=OB，分别以点A，B为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点P，
∴点P在∠BOA的角平分线上，
∴点P到x轴和y轴的距离相等，
又∵点P在第一象限，点P的坐标为( a，2a-3)，
∴a=2a-3，
∴a=3.
故答案为：3.
【分析】 根据作图方法可知点P在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x轴和y轴的距离相等，结合点P在第一象限，可得关于a的方程，解方程即可求解．
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2023·泰州）如图，是五边形的一边，若垂直平分，垂足为M，且 ▲ ， ▲ ，则 ▲ ．
给出下列信息：①平分；②；③．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．
【答案】证明：根据题意补全图形如图所示：
垂直平分，
，（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
在与中，
，
，
，
在与中，
，
，
，
又，
，
即，
平分．
故答案为：②；③；①．
【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】利用垂直平分线的性质证得AC=AD、CM=DM，再通过SSS判定和，然后利用全等三角形的性质证得平分.
12．（2023·河南）如图，中，点D在边AC上，且．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：．
【答案】（1）如图：
（2）证明：平分
在和中
【知识点】三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法进行作图；
（2）由角平分线的概念可得∠BAE=∠DAE，由已知条件可知AB=AD，利用SAS证明△BAE≌△DAE，据此可得结论.
13．（2023·达州）如图，在中，．
（1）尺规作图：作的角平分线交于点（不写做法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作图形中，求的面积．
【答案】（1）解：以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交、，在以两交点为圆心，以大于它们长度为半径画弧，交于一点，过A于该点做射线交于点P，则即为所求．
（2）解：过点P作，如图所示，
由（1）得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作图方法进行作图即可求解；
（2）过点P作，根据角平分线的性质得到，再根据勾股定理得到AC的长，再运用即可求出PD的长，进而运用三角形的面积即可求解。
14．如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．
（1）求证：AB=AE；
（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC．
由BE是∠ABC的角平分线，
∴∠EBC=∠ABE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE；
（2）解：由∠A=100°，∠ABE=∠AEB，得
∠ABE=∠AEB=40°．
由AD∥BC，得
∠EBC=∠AEB=40°．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质，可得∠AEB=∠EBC，根据角平分线的性质，可得∠EBC=∠ABE，根据等腰三角形的判定，可得答案；
（2）根据三角形的内角和定理，可得∠AEB，根据平行线的性质，可得答案．
15．（2024八上·瑞安期中）如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB＝5，AC＝9，求AD的长．
【答案】（1）证明：连接BP、CP，
∵点P在BC的垂直平分线上，
∴BP＝CP，
∵AP是∠DAC的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC
∴DP＝EP，∠PDB＝∠PEC＝90°
∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL）
∴BD＝CE
（2）解：∵∠PDA＝∠PEA＝90°，PD＝PE，PA＝PA
∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），
∴AD＝AE，
∵AB＝5，AC＝9，
∴5＋AD＝9－AE，
即5＋AD＝9－AD，
解得AD＝2.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）连接BP、CP，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BP＝CP，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DP＝EP，从而由HL判断出Rt△BDP≌Rt△CEP，根据全等三角形的对应边相等得BD=CE；
（2）用HL判断出Rt△ADP≌Rt△AEP，根据全等三角形的对应边相等得AD=AE，然后根据线段的和差，由BD=CE建立方程，求解可得AD的长.
1 / 1第一章《三角形的证明》4.角平分线（2）——北师大版数学八（下）课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024·天津） 如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·舟山）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·新疆）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
4．（2022·海南）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线，交于点D，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·安顺）如图， 中， ，利用尺规在 ， 上分别截取 ， ，使 ；分别以D，E为圆心、以大于 为长的半径作弧，两弧在 内交于点F；作射线 交 于点G，若 ，P为 上一动点，则 的最小值为（ ）
A．无法确定 B． C．1 D．2
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2020·扬州）如图，在 中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E.
②分别以点D、E为圆心，大于 的同样长为半径作弧，两弧交于点F.
③作射线BF交AC于点G.
如果 ， ， 的面积为18，则 的面积为 .
7．（2024·湖南）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则 ，
8．（2023·阜新）如图，在矩形中，．连接，在和上分别截取，使．分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G．作射线交于点H，则线段的长是 ．
9．（2023·扬州）如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为 ．
10．（2020·新疆）如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA=OB，再分别以点A，B为圆心，以大于 AB长为半径画弧，两弧交于点P.若点P的坐标为（a，2a-3），则a的值为 .
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2023·泰州）如图，是五边形的一边，若垂直平分，垂足为M，且 ▲ ， ▲ ，则 ▲ ．
给出下列信息：①平分；②；③．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．
12．（2023·河南）如图，中，点D在边AC上，且．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：．
13．（2023·达州）如图，在中，．
（1）尺规作图：作的角平分线交于点（不写做法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作图形中，求的面积．
14．如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．
（1）求证：AB=AE；
（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．
15．（2024八上·瑞安期中）如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB＝5，AC＝9，求AD的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】尺规作图-作角的平分线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵ 如图，中，，
∴∠BAC=50°，
又由作图知：AD平分∠BAC，
∴∠DAC=25°，
∴∠ADC=90°-25°=65°。
故答案为：B.
【分析】首先根据直角三角形两锐角互余，可求得∠BAC=50°，再根据基本作图得出AD平分∠BAC，进而得出∠DAC=25°，再根据直角三角形的性质可得出∠ADC的度数，即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；角平分线的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：A、由作图痕迹可知，是作已知角的角平分线方法，A选项不符合题意；
B、由作图痕迹可知，可构造三角形全等，推出角相等，即可作出角的角平分线，B选项不符合题意；
C、由作图痕迹可知，可构造出等腰三角形及平行线推出角相等，进而得出角平分线，C不符合题意；
D、由作图痕迹可知，是作平行四边形，无法得出角的角平分线，D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据角的角平分线作法步骤，可判断A选项；由图中痕迹可知，构造三角形全等，由全等性质得出角相等，从而得到角的角平分线，可判断B选项；由作图痕迹可知，由等腰三角形性质平行线性质推出原来大角被平分，进而得出角平分线，可判断C选项；由作图痕迹可知，图中可作出平行四边形ABCD，平行四边形对角线不平分内角，故得不到角的角平分线，可判断D选项. 据此逐项分析判断即可得出正确答案.
3．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】如图：
过点D作DH⊥AB于H，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴，
∵AD平分∠CAB，
∴CD=DH，∠CAD=∠HAD，
在Rt△ACD和Rt△AHD中
，
∴Rt△ACD≌Rt△AHD（HL），
∴AH=AC=3，
∴HB=AB-AH=2，
∵HB2+DH2=BD2，
∴22+CD2=（4-CD）2，
∴CD=，
故答案为：C.
【分析】过点D作DH⊥AB于H，先证出Rt△ACD≌Rt△AHD（HL），可得AH=AC=3，利用勾股定理可得HB2+DH2=BD2，再将数据代入可得22+CD2=（4-CD）2，最后求出CD=即可。
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】由作法得BD平分∠ABC，
∴
设 ，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴，解得
∴
故答案为：A
【分析】由作法可知BD平分∠ABC，可得到，设∠ABD=x，可表示出∠ABC的度数，利用等边对等角可表示出∠C，∠ABD的度数；利用三角形的内角和定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到∠A的度数.
5．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小，
根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，
∵∠C=90°，
∴当GP⊥AB时，GP=CG=1，
故答案为：C.
【分析】当GP⊥AB时，GP的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，再根据角平分线的性质可知，当GP⊥AB时，GP=CG=1.
6．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图作法可知：BG为∠ABC的角平分线
过G作GH⊥BC，GM⊥AB
∴GM=GH
∵S△ABC=S△ABG+ S△BCG=18
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得：GH=
∴ 的面积为 .
故答案为 .
【分析】由作图步骤可知BG为∠ABC的角平分线，过G作GH⊥BC，GM⊥AB，可得GM=GH，然后再结合已知条件和三角形的面积公式求得GH，最后运用三角形的面积公式解答即可.
7．【答案】6
【知识点】角平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题意，是的平分线
∵是边上的高，，
∴，
∴
∴，
故答案为：6．
【分析】根据尺规作图的步骤，判断出BP是的平分线，再由角平分线的性质及题中线段之间的数量关系，即可计算出AM的长.
8．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，过点H作HM⊥AC于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，DC=AB=6，
在Rt△ADC中，由勾股定理得，
由题意得AH是∠DAC的角平分线，∵∠D=90°，HM⊥AC，
∴DH=HM，
∵S△ADC=S△ADH+S△AHC，
∴，
∴AD×DC=AD×DH+AC×DH，即6×8=8DH+10DH，
∴DH=.
故答案为：.
【分析】过点H作HM⊥AC于点M，由矩形性质得∠D=90°，DC=AB=6，在Rt△ADC中，由勾股定理算出AC的长，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DH=HM，进而根据S△ADC=S△ADH+S△AHC建立方程可求出DH的长.
9．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过点D作DG⊥BC于点G，
由题意可知BD平分∠ABC，∠A=90°，
∴AD=DG，
在Rt△ABC中。
，
∵，
∴，
解之：.
故答案为：
【分析】过点D作DG⊥BC于点G，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得AD=DG，利用勾股定理求出BC的长，再利用三角形的面积公式可证得，代入计算求出AD的长.
10．【答案】3
【知识点】角平分线的性质；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵OA=OB，分别以点A，B为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点P，
∴点P在∠BOA的角平分线上，
∴点P到x轴和y轴的距离相等，
又∵点P在第一象限，点P的坐标为( a，2a-3)，
∴a=2a-3，
∴a=3.
故答案为：3.
【分析】 根据作图方法可知点P在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x轴和y轴的距离相等，结合点P在第一象限，可得关于a的方程，解方程即可求解．
11．【答案】证明：根据题意补全图形如图所示：
垂直平分，
，（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
在与中，
，
，
，
在与中，
，
，
，
又，
，
即，
平分．
故答案为：②；③；①．
【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】利用垂直平分线的性质证得AC=AD、CM=DM，再通过SSS判定和，然后利用全等三角形的性质证得平分.
12．【答案】（1）如图：
（2）证明：平分
在和中
【知识点】三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法进行作图；
（2）由角平分线的概念可得∠BAE=∠DAE，由已知条件可知AB=AD，利用SAS证明△BAE≌△DAE，据此可得结论.
13．【答案】（1）解：以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交、，在以两交点为圆心，以大于它们长度为半径画弧，交于一点，过A于该点做射线交于点P，则即为所求．
（2）解：过点P作，如图所示，
由（1）得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作图方法进行作图即可求解；
（2）过点P作，根据角平分线的性质得到，再根据勾股定理得到AC的长，再运用即可求出PD的长，进而运用三角形的面积即可求解。
14．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC．
由BE是∠ABC的角平分线，
∴∠EBC=∠ABE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE；
（2）解：由∠A=100°，∠ABE=∠AEB，得
∠ABE=∠AEB=40°．
由AD∥BC，得
∠EBC=∠AEB=40°．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质，可得∠AEB=∠EBC，根据角平分线的性质，可得∠EBC=∠ABE，根据等腰三角形的判定，可得答案；
（2）根据三角形的内角和定理，可得∠AEB，根据平行线的性质，可得答案．
15．【答案】（1）证明：连接BP、CP，
∵点P在BC的垂直平分线上，
∴BP＝CP，
∵AP是∠DAC的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC
∴DP＝EP，∠PDB＝∠PEC＝90°
∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL）
∴BD＝CE
（2）解：∵∠PDA＝∠PEA＝90°，PD＝PE，PA＝PA
∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），
∴AD＝AE，
∵AB＝5，AC＝9，
∴5＋AD＝9－AE，
即5＋AD＝9－AD，
解得AD＝2.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）连接BP、CP，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BP＝CP，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DP＝EP，从而由HL判断出Rt△BDP≌Rt△CEP，根据全等三角形的对应边相等得BD=CE；
（2）用HL判断出Rt△ADP≌Rt△AEP，根据全等三角形的对应边相等得AD=AE，然后根据线段的和差，由BD=CE建立方程，求解可得AD的长.
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