人教版五年级数学下册第三单元：3.8长方体和正方体的体积（2）
一、选择题
1．（2024五下·顺义期末）一个长方体(如下图)，如果宽减少3分米，长和高不变，形成的新长方体的体积减少了( )立方分米。
A．ah(b-3) B．3ab C．3ah D．3bh
【答案】C
【知识点】长方体的体积
【解析】【解答】解：a×3×h=3ah（立方分米）。
故答案为：C。
【分析】形成的新长方体减少的体积=原来长方体的长×原来长方体的高×减少的宽。
2．（2024五下·顺德期末）把 一 个棱长为9cm 的正方体钢坯切割成若干个棱长为3 cm 的小正方体，最多可以切 割 成 ( )个小正方体 .
A．9 B．18 C．27 D．81
【答案】C
【知识点】正方体的体积
【解析】【解答】解：（9×9×9）÷（3×3×3）
=729÷27
=27（个）。
故答案为：C。
【分析】正方体钢坯的棱长是小正方体棱长的倍数，最多可以切 割成小正方体的个数=（正方体钢坯的棱长×棱长×棱长）÷（小正方体的棱长×棱长×棱长）。
3．（2024五下·呼图壁期末）长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，它的体积扩大到原来（ ）倍。
A．3 B．9 C．27
【答案】C
【知识点】正方体的体积
【解析】【解答】解：3×3×3=27。
故答案为：C。
【分析】长方体的体积=长×宽×高，长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，它的体积扩大到原来3×3×3=27倍。
4．（2024五下·湛江期末）用3个小正方体拼成一个长方体，下面说法正确的是( )。
A．体积不变，表面积变大 B．体积不变，表面积变小
C．体积变大，表面积变小 D．体积变小，表面积变大
【答案】B
【知识点】长方体的表面积；长方体的体积
【解析】【解答】解：判断体积是否变化：三个同样大小的小正方体拼成一个长方体，无论怎么拼接，由于他们原本的大小并未变化，因此体积是不变的。这是因为体积是由长、宽、高的乘积决定，三个小正方体拼接后这三个参数的乘积并未改变。
判断表面积是否变化：三个同样大小的小正方体拼成一个长方体，由于在拼接过程中，原本应计入表面积的一部分，现在成为了新形成长方体的内部面积，不再计入表面积，所以表面积会变小。
故答案为：B。
【分析】本题主要考查了立体图形的切拼，通过立体图形的变化，理解体积和表面积的变化。用3个小正方体拼成一个长方体，体积不变，表面积变小。
5．（2024五下·涟源期末）如图，三种型号的纸板各有4张，如果从中选择6张做成一个长方体，那么这个长方体的体积是( )cm3。
A．120 B．75 C．72 D．45
【答案】C
【知识点】长方体的特征；长方体的展开图；长方体的体积
【解析】【解答】解：选4张8厘米3厘米的、选2张3厘米3厘米的，组成的长方体的长宽高分别是3厘米、3厘米、8厘米，
长方体的体积：3×3×8=72（立方厘米）。
故答案为：C。
【分析】长方体的特征：有6个面；每个面都是长方形，对面相等；特殊情况下有两个相对的面是正方形，其余4个面是完全相同的长方形，相对的面完全相同；长×宽×高=长方体的体积。
二、填空题
6．（2024五下·邯郸期中）明明准备用铁丝焊接一个棱长6厘米的正方体框架，并在各个面上糊上彩纸，做这个正方体至少需要铁丝 厘米，彩纸 平方厘米。
【答案】72；216
【知识点】长方体的特征；长方体的表面积；长方体的体积
【解析】【解答】解：6×12=72（厘米）
6×6×6
=36×6
=216（平方厘米）。
故答案为：72；216。
【分析】做这个正方体至少需要铁丝的长度=正方体的棱长×12，至少需要彩纸的面积=棱长×棱长×6。
7．（2023五下·随县期末）把3个同样大小的正方体拼成一个长方体，表面积减少了36平方分米，拼成的长方体的体积是 立方分米。
【答案】81
【知识点】长方体的体积
【解析】【解答】解：36÷4=9（平方分米）
9÷3=3（分米）
9×（3×3）
=9×9
=81（立方分米）。
故答案为：81。
【分析】拼成长方体的体积=底面积×高；其中，底面积=减少的表面积÷减少面的个数；高=正方体的棱长×3。
8．（2024五下·钱塘期末）要做一个底面周长为18厘米、高为3厘米的长方体框架，至少需要铁丝 厘米。用这根铁丝做成一个正方体框架，这时正方体的体积是 。
【答案】48；64立方厘米
【知识点】长方体的特征；正方体的体积
【解析】【解答】解：第一问：18×2+3×4=36+12=48（厘米）；
第二问：48÷12=4（厘米），体积：4×4×4=64（立方厘米）。
故答案为：48；64立方厘米。
【分析】第一问：上面四条边的长度与底面周长相等，高有4条，因此用底面周长乘2，再加上4条高的长度就是需要铁丝的长度；
第二问：正方体棱长和=棱长×12，用铁丝的长度除以12求出棱长，用棱长乘棱长乘棱长求出正方体的体积。
9．（2024五下·天河期末）如图，用9个棱长为1厘米的正方体摆成一个几何体。
（1）这个几何体的体积是 立方厘米。
（2）至少添加 个这样的正方体，可以把这个几何体补搭成一个棱长为3厘米的正方体。
【答案】（1）9
（2）18
【知识点】正方体的体积
【解析】【解答】解：（1）1个正方体的体积是1立方厘米，9个正方体的体积是9立方厘米；
（2）3×3×3-9=27-9=18（个）
至少添加18个这样的正方体，可以把这个几何体补搭成一个棱长为3厘米的正方体。
故答案为：（1）9；（2）18。
【分析】（1）正方体的体积=棱长×棱长×棱长；
（2）棱长为3厘米的正方体，说明正方体的长宽高都有3个正方体，据此解答。
10．（2024五下·北川期末）一个正方体的表面积是150平方米，这个正方体的棱长是 米，它的体积是 立方米
【答案】5；125
【知识点】正方体的表面积；正方体的体积
【解析】【解答】解：150÷6=25（平方米）
25=5×5
5×5×5
=25×5
=125（立方米）。
故答案为：5；125。
【分析】这个正方体一个面的面积=表面积÷6=25，因为25=5×5，所以这个正方体的棱长是5米；
体积=棱长×棱长×棱长。
11．（2024五下·海盐期末）将下图的长方体，沿高截去 4cm后表面积减少了 96cm2，剩下的部分是一个正方体，则原来长方体的体积是 cm3。
【答案】360
【知识点】长方体的表面积；长方体的体积
【解析】【解答】解：96÷4÷4
=24÷4
=6（厘米）
6×6×（6＋4）
=36×10
=360（立方厘米）
故答案为：360。
【分析】原来长方体的体积=原来的长×原来的宽×原来的高；其中，原来的长=原来的宽=减少的表面积÷减少的面÷截去的高，原来的高=原来的长＋截去的高。
三、计算题
12．（2024五下·奉化期末）计算组合图形的表面积和体积。
【答案】解：表面积：
（8×8＋8×3＋8×3）×2＋3×3×4
=112×2＋3×3×4
=224＋36
=260（平方厘米）
体积：8×8×3＋3×3×3
=192＋27
=210（立方厘米）
【知识点】长方体的表面积；正方体的表面积；长方体的体积；正方体的体积
【解析】【分析】组合图形的表面积=（长方体的长×宽＋长×高＋宽×高） ×2＋正方体的棱长×棱长×4；
组合图形的体积=长方体的长×宽×高＋正方体的棱长×棱长×棱长。
13．（2024五下·深州期末）计算下面图形的表面积和体积。(单位：dm)
【答案】解：表面积：
（12×8＋12×6＋6×8）×2＋2×2×2
=（96+72+48）×2+8
=216×2+8
=432+8
＝440（平方分米）
体积：12×8×6－2×2×2
=576-8
=568（立方分米）
【知识点】长方体的体积；正方体的体积
【解析】【分析】图形的表面积是长方体的表面积加上挖去部分正方体2个面的面积；图形的体积是长方体体积减去挖去部分正方体的体积。
四、解决问题
14．（2024五下·门头沟期末）阅读资料，解决问题。
榫(sǔn)卯(mǎo)结构是我国古代劳动人民智慧的结晶，在建筑实践中人们创造了许多独具特色的榫卯结构，右图是其中一种。卯是在两个构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，包括头和卯眼，头插入卯眼！就形成一个组合构件。
李师傅要用两块长 15dm，宽 5dm，高 3dm 的长方体木头制作一个这样的组合构件，其中一块木头切出一个长 5dm，宽 5dm，厚 2dm 的长方体卯眼(如下图)。李师傅要制作匹配的榫头，需要切下多少立方分米的木头？
(提示：先找到卯眼的长、宽、高)
【答案】解：15×5×3
=75×3
=225（立方分米）
225-5×5×2
=225-25×2
=225-50
=175（立方分米）
答：需要切下175立方分米的木头。
【知识点】长方体的体积
【解析】【分析】问题中提到了李师傅需要将一块木头切割出一个特定尺寸的卯眼，并且在另一块木头上切割出一个匹配的榫头。要解决这个问题，我们需要先计算出卯眼的空间体积，然后从原木头的体积中减去卯眼的体积，得到需要切下的木头体积。
15．（2024五下·丰台期末）兰兰参加了学校的“创意木工坊”。她领取了一根长木条和一块木板制作小木凳。兰兰想将长木条截成4段同样长的短木条做凳腿(如右图所示)。截开后，4 段短木条表面积之和比长木条的表面积增加了 150平方厘米。兰兰领取的这根长木条的体积是多少立方厘米？
【答案】解：150÷（3×2）×（20×4）
=150÷6×80
=25×80
=2000（立方厘米）
答：兰兰领取的这根长木条的体积2000立方厘米。
【知识点】长方体的体积
【解析】【分析】兰兰领取的这根长木条的体积=底面积×高；其中，底面积=增加的表面积÷增加面的个数；高=每根凳子腿的长度×4。
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一、选择题
1．（2024五下·顺义期末）一个长方体(如下图)，如果宽减少3分米，长和高不变，形成的新长方体的体积减少了( )立方分米。
A．ah(b-3) B．3ab C．3ah D．3bh
2．（2024五下·顺德期末）把 一 个棱长为9cm 的正方体钢坯切割成若干个棱长为3 cm 的小正方体，最多可以切 割 成 ( )个小正方体 .
A．9 B．18 C．27 D．81
3．（2024五下·呼图壁期末）长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，它的体积扩大到原来（ ）倍。
A．3 B．9 C．27
4．（2024五下·湛江期末）用3个小正方体拼成一个长方体，下面说法正确的是( )。
A．体积不变，表面积变大 B．体积不变，表面积变小
C．体积变大，表面积变小 D．体积变小，表面积变大
5．（2024五下·涟源期末）如图，三种型号的纸板各有4张，如果从中选择6张做成一个长方体，那么这个长方体的体积是( )cm3。
A．120 B．75 C．72 D．45
二、填空题
6．（2024五下·邯郸期中）明明准备用铁丝焊接一个棱长6厘米的正方体框架，并在各个面上糊上彩纸，做这个正方体至少需要铁丝 厘米，彩纸 平方厘米。
7．（2023五下·随县期末）把3个同样大小的正方体拼成一个长方体，表面积减少了36平方分米，拼成的长方体的体积是 立方分米。
8．（2024五下·钱塘期末）要做一个底面周长为18厘米、高为3厘米的长方体框架，至少需要铁丝 厘米。用这根铁丝做成一个正方体框架，这时正方体的体积是 。
9．（2024五下·天河期末）如图，用9个棱长为1厘米的正方体摆成一个几何体。
（1）这个几何体的体积是 立方厘米。
（2）至少添加 个这样的正方体，可以把这个几何体补搭成一个棱长为3厘米的正方体。
10．（2024五下·北川期末）一个正方体的表面积是150平方米，这个正方体的棱长是 米，它的体积是 立方米
11．（2024五下·海盐期末）将下图的长方体，沿高截去 4cm后表面积减少了 96cm2，剩下的部分是一个正方体，则原来长方体的体积是 cm3。
三、计算题
12．（2024五下·奉化期末）计算组合图形的表面积和体积。
13．（2024五下·深州期末）计算下面图形的表面积和体积。(单位：dm)
四、解决问题
14．（2024五下·门头沟期末）阅读资料，解决问题。
榫(sǔn)卯(mǎo)结构是我国古代劳动人民智慧的结晶，在建筑实践中人们创造了许多独具特色的榫卯结构，右图是其中一种。卯是在两个构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，包括头和卯眼，头插入卯眼！就形成一个组合构件。
李师傅要用两块长 15dm，宽 5dm，高 3dm 的长方体木头制作一个这样的组合构件，其中一块木头切出一个长 5dm，宽 5dm，厚 2dm 的长方体卯眼(如下图)。李师傅要制作匹配的榫头，需要切下多少立方分米的木头？
(提示：先找到卯眼的长、宽、高)
15．（2024五下·丰台期末）兰兰参加了学校的“创意木工坊”。她领取了一根长木条和一块木板制作小木凳。兰兰想将长木条截成4段同样长的短木条做凳腿(如右图所示)。截开后，4 段短木条表面积之和比长木条的表面积增加了 150平方厘米。兰兰领取的这根长木条的体积是多少立方厘米？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】长方体的体积
【解析】【解答】解：a×3×h=3ah（立方分米）。
故答案为：C。
【分析】形成的新长方体减少的体积=原来长方体的长×原来长方体的高×减少的宽。
2．【答案】C
【知识点】正方体的体积
【解析】【解答】解：（9×9×9）÷（3×3×3）
=729÷27
=27（个）。
故答案为：C。
【分析】正方体钢坯的棱长是小正方体棱长的倍数，最多可以切 割成小正方体的个数=（正方体钢坯的棱长×棱长×棱长）÷（小正方体的棱长×棱长×棱长）。
3．【答案】C
【知识点】正方体的体积
【解析】【解答】解：3×3×3=27。
故答案为：C。
【分析】长方体的体积=长×宽×高，长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，它的体积扩大到原来3×3×3=27倍。
4．【答案】B
【知识点】长方体的表面积；长方体的体积
【解析】【解答】解：判断体积是否变化：三个同样大小的小正方体拼成一个长方体，无论怎么拼接，由于他们原本的大小并未变化，因此体积是不变的。这是因为体积是由长、宽、高的乘积决定，三个小正方体拼接后这三个参数的乘积并未改变。
判断表面积是否变化：三个同样大小的小正方体拼成一个长方体，由于在拼接过程中，原本应计入表面积的一部分，现在成为了新形成长方体的内部面积，不再计入表面积，所以表面积会变小。
故答案为：B。
【分析】本题主要考查了立体图形的切拼，通过立体图形的变化，理解体积和表面积的变化。用3个小正方体拼成一个长方体，体积不变，表面积变小。
5．【答案】C
【知识点】长方体的特征；长方体的展开图；长方体的体积
【解析】【解答】解：选4张8厘米3厘米的、选2张3厘米3厘米的，组成的长方体的长宽高分别是3厘米、3厘米、8厘米，
长方体的体积：3×3×8=72（立方厘米）。
故答案为：C。
【分析】长方体的特征：有6个面；每个面都是长方形，对面相等；特殊情况下有两个相对的面是正方形，其余4个面是完全相同的长方形，相对的面完全相同；长×宽×高=长方体的体积。
6．【答案】72；216
【知识点】长方体的特征；长方体的表面积；长方体的体积
【解析】【解答】解：6×12=72（厘米）
6×6×6
=36×6
=216（平方厘米）。
故答案为：72；216。
【分析】做这个正方体至少需要铁丝的长度=正方体的棱长×12，至少需要彩纸的面积=棱长×棱长×6。
7．【答案】81
【知识点】长方体的体积
【解析】【解答】解：36÷4=9（平方分米）
9÷3=3（分米）
9×（3×3）
=9×9
=81（立方分米）。
故答案为：81。
【分析】拼成长方体的体积=底面积×高；其中，底面积=减少的表面积÷减少面的个数；高=正方体的棱长×3。
8．【答案】48；64立方厘米
【知识点】长方体的特征；正方体的体积
【解析】【解答】解：第一问：18×2+3×4=36+12=48（厘米）；
第二问：48÷12=4（厘米），体积：4×4×4=64（立方厘米）。
故答案为：48；64立方厘米。
【分析】第一问：上面四条边的长度与底面周长相等，高有4条，因此用底面周长乘2，再加上4条高的长度就是需要铁丝的长度；
第二问：正方体棱长和=棱长×12，用铁丝的长度除以12求出棱长，用棱长乘棱长乘棱长求出正方体的体积。
9．【答案】（1）9
（2）18
【知识点】正方体的体积
【解析】【解答】解：（1）1个正方体的体积是1立方厘米，9个正方体的体积是9立方厘米；
（2）3×3×3-9=27-9=18（个）
至少添加18个这样的正方体，可以把这个几何体补搭成一个棱长为3厘米的正方体。
故答案为：（1）9；（2）18。
【分析】（1）正方体的体积=棱长×棱长×棱长；
（2）棱长为3厘米的正方体，说明正方体的长宽高都有3个正方体，据此解答。
10．【答案】5；125
【知识点】正方体的表面积；正方体的体积
【解析】【解答】解：150÷6=25（平方米）
25=5×5
5×5×5
=25×5
=125（立方米）。
故答案为：5；125。
【分析】这个正方体一个面的面积=表面积÷6=25，因为25=5×5，所以这个正方体的棱长是5米；
体积=棱长×棱长×棱长。
11．【答案】360
【知识点】长方体的表面积；长方体的体积
【解析】【解答】解：96÷4÷4
=24÷4
=6（厘米）
6×6×（6＋4）
=36×10
=360（立方厘米）
故答案为：360。
【分析】原来长方体的体积=原来的长×原来的宽×原来的高；其中，原来的长=原来的宽=减少的表面积÷减少的面÷截去的高，原来的高=原来的长＋截去的高。
12．【答案】解：表面积：
（8×8＋8×3＋8×3）×2＋3×3×4
=112×2＋3×3×4
=224＋36
=260（平方厘米）
体积：8×8×3＋3×3×3
=192＋27
=210（立方厘米）
【知识点】长方体的表面积；正方体的表面积；长方体的体积；正方体的体积
【解析】【分析】组合图形的表面积=（长方体的长×宽＋长×高＋宽×高） ×2＋正方体的棱长×棱长×4；
组合图形的体积=长方体的长×宽×高＋正方体的棱长×棱长×棱长。
13．【答案】解：表面积：
（12×8＋12×6＋6×8）×2＋2×2×2
=（96+72+48）×2+8
=216×2+8
=432+8
＝440（平方分米）
体积：12×8×6－2×2×2
=576-8
=568（立方分米）
【知识点】长方体的体积；正方体的体积
【解析】【分析】图形的表面积是长方体的表面积加上挖去部分正方体2个面的面积；图形的体积是长方体体积减去挖去部分正方体的体积。
14．【答案】解：15×5×3
=75×3
=225（立方分米）
225-5×5×2
=225-25×2
=225-50
=175（立方分米）
答：需要切下175立方分米的木头。
【知识点】长方体的体积
【解析】【分析】问题中提到了李师傅需要将一块木头切割出一个特定尺寸的卯眼，并且在另一块木头上切割出一个匹配的榫头。要解决这个问题，我们需要先计算出卯眼的空间体积，然后从原木头的体积中减去卯眼的体积，得到需要切下的木头体积。
15．【答案】解：150÷（3×2）×（20×4）
=150÷6×80
=25×80
=2000（立方厘米）
答：兰兰领取的这根长木条的体积2000立方厘米。
【知识点】长方体的体积
【解析】【分析】兰兰领取的这根长木条的体积=底面积×高；其中，底面积=增加的表面积÷增加面的个数；高=每根凳子腿的长度×4。
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