2024-2025学年安徽省合肥市庐江县高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省合肥市庐江县高二上学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在数列，，，，中，是它的( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
2.已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
3.在处的导数为( )
A. B. C. D.
4.过，两点的直线的一个方向向量为则( )
A. B. C. D.
5.已知数列为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.在三棱锥中，设，，，点在上，且，为中点，则( )
A. B.
C. D.
8.如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点不与重合，若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导数运算中不正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知等比数列的前项积为，，公比，，则( )
A. B.
C. 当时，最小 D. 当时，最小
11.如图，在直三棱柱中，，，，点，分别是线段，上的动点不含端点，且，则下列说法正确的是( )
A. 平面
B. 该三棱柱外接球的表面积为
C. 二面角的余弦值为
D. 异面直线与所成角的正切值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一条光线从点射出，经过直线反射后过点，则反射光线所在直线的方程为 ．
13.过点作倾斜角为的直线与交于，，则 ．
14.我县某高中从高二年级创新甲班和创新乙班两个班中各选出名学生参加年全国高中数学联赛安徽赛区初赛，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是，乙班学生成绩的平均数是，若正实数，满足，，成等差数列，且，，成等比数列，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为求
顶点的坐标；
直线的方程．
16.本小题分
设数列满足，．
求数列的通项公式
求数列的前项和．
17.本小题分
已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为．
求抛物线的方程
若不过原点的直线与抛物线交于，两点，且，求证：直线过定点．
18.本小题分
如图所示，两个正方形框架，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直点，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记
为何值时，的长最小
当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
定义：对于数列，若存在常数，对任意的都有，则称数列为和谐数列．
已知数列，判断是否为和谐数列，并说明理由
设是数列的前项和，证明：若是和谐数列，则也是和谐数列
若、都是和谐数列，证明也是和谐数列．
参考答案
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15.解：设，
边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
，解得，
．
设，
则，解得，
，
，
直线的方程为，化为．
16.解：，
可知，，，，，，，
上式相加得
，
当时，，也满足上式，
数列的通项公式，
，，
，
数列的前项和．
17.解：抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为：，即：，
则，解得，
故抛物线的方程为：．
证明：若直线的斜率存在，不妨设为，则的方程为：，
与抛物线方程联立得，消去得：，
，即时，
设，，则，，
由可得：，即，
亦即：，
将，代入上式得：，
又即：，
所以直线的方程为：，即，故直线过定点，
若直线的斜率不存在，设，，由可得：，
又，联立解得：或舍，
此时直线的方程为，即直线过点，
综上可得：直线过定点．
18.解：以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系如图，
，，，，，，，
，
当时，最小，最小值为
由可知，当，为中点时，最短，则，，取的中点，连接，，则，
，，，，是平面与平面的夹角或其补角．
，，
，
平面与平面夹角的余弦值为．

19.解：是和谐数列，理由如下：
上式
数列是和谐数列．
证明：是和谐数列，存在常数，对任意的，
有，
即，
则
，
数列是和谐数列．
证明：若，都是和谐数列，则存在常数，，
对任意的，有，
，
，
即，
同理
，
即
，，
，
记，，
则有
，
，
数列也是和谐数列．
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