2024-2025学年浙江省台州市高一上学期1月期末质量评估数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省台州市高一上学期1月期末质量评估数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若幂函数经过点，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，，，，则函数在区间上的零点至少有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.“，”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长为( )
A. B. C. D.
5.若，，则( )
A. B. C. D.
6.将函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象关于轴对称，则的值为( )
A. B. C. D.
7.设，，，则( )
A. B. C. D.
8.光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向通常会发生改变，这种现象称为光的折射光在折射过程中，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值是一个常数例如，一束光线从空气斜射入水时，会发生折射现象，并满足其中是入射角，是折射角当入射角增加时，折射角增加，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 的值域为 B. 函数的最小正周期为
C. 在上单调递减 D. 的图象关于对称
11.已知，都是定义在上的函数，且，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 存在，使得 D. 若是增函数，则是增函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数且的图象过定点_________．
13.已知，则_________．
14.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间单位：间的关系为，其中，是正常数．污染物的初始含量为 ；如果在前消除了的污染物，那么污染物减少需要花费 小时精确到参考数据：
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求值：
．
16.本小题分
已知集合，
若时，求
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数是奇函数．
求的值，判断函数的单调性并请说明理由
对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，，，，
请写出以轴的非负半轴为始边，射线为终边的角的集合
作点关于直线的对称点
当，时，求点坐标
若，，求
19.本小题分
给定函数，若对任意一个三角形，只要它的三边长，，都在的定义域内，就有，，也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”．
判断函数是否为“保三角形函数”，并说明理由
若是“保三角形函数”，求的最小值
若函数同时满足以下条件：
在区间上单调递增
对任意，，都有
证明：函数是“保三角形函数”．
参考答案
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15.解：
原式；
原式．
16.解：，或，．
．
由知，
，
当时，，
当时，，
当时，，不满足题意．
所以的取值范围为．
17.解：因为函数是奇函数，所以有，得．
经检验，成立．
则，
，，且，
则
因为，所以又因为，
所以，即
所以函数在上单调递增．
由条件知对任意恒成立，
因为在单调递增，所以有，
即，
设，当时，取等号，
所以的取值范围为．
18.解：
由题知，，
，，
．
所以，
由题知，，则．
由，知，
故，所以．
即．
又因为，所以，
所以．
19.解：不妨假设，有．
此时，，，
且有，
所以，，可以构成某三角形的三边．
所以是“保三角形函数”．
因为是“保三角形函数”，所以，，且，，，
必有对恒成立，
所以，解得
下证：当时，是“保三角形函数”．
不妨设，有．
此时，，，
，
所以若是“保三角形函数”，的最小值为．
不妨设，且．
，，．
由，，
知当时，
所以，
．
所以．
而，在区间上单调递增，
所以．
所以，即函数是“保三角形函数”．
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