2024-2025学年广西百色市普通高中高二上学期期末教学质量调研测试数学试卷（含答案）

2024-2025学年广西百色市普通高中高二上学期期末教学质量调研测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线的倾斜角，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
2.双曲线的虚半轴长为( )
A. B. C. D.
3.如图，三棱锥中，，，，点为中点，点满足，则( )
A. B.
C. D.
4.等差数列的前项和为，其中，则的值是( )
A. B. C. 或 D.
5.已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
6.已知圆和圆，则( )
A. 圆与圆相切
B. 两圆公共弦所在直线的方程为
C. 两圆的公切线段长为
D. 有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线
7.设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与抛物交于，两点，为抛物的准线，则( )
A. B.
C. 以线段为直径的圆与轴相切 D. 为等腰三角形
8.已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆，则下列正确的是( )
A. 焦点在轴 B. 焦点在轴 C. 焦距是 D. 焦距是
10.如图，已知正方体的边长为，、、、分别为、、、的中点，则下列结论正确的是( )
A.
B. 平面
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 点到平面的距离为
11.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，，，，，，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”记斐波那契数列为，其前项和为，则( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量，，，且与互相平行，则实数的值为 ．
13.已知数列的通项公式，则等于 ．
14.已知离心率为的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点，线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线，直线．
若，求实数的值
若，求实数的值．
16.本小题分
已知圆．
若直线经过点，且与圆相切，求直线的方程
设点，点在圆上，为线段的中点，求的轨迹的长度．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点．
求证：平面
求平面与平面夹角的余弦值
问：线段上是否存在一点，使平面如果存在，求的值如果不存在，请说明理由．
18.本小题分
如图，已知椭圆上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为和，斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且不经过点．
求椭圆的方程
若，求直线的方程
当直线，与轴均不垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．
19.本小题分
设数列的前项和为若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”．
已知数列是等差数列，且，求证：数列是“数列”
若数列的首项，且，，证明：数列不是“数列”
设是等差数列，其首项，公差若是“数列”，求的值．
参考答案
1.
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12.解：向量 ， ，
，，
与互相平行，
，
解得．
故答案为：．
13.
14.
15.解：由，则，且，
解得；
由，则，
解得或．
16.解：圆的标准方程为，
圆心，半径，
当直线的斜率不存在时，的方程为，
圆心到的距离，所以，
直线与圆相切，符合题意，
当直线的斜率存在时，
设的方程为，即，
所以圆心到的距离，
由，得，解得，
所以直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或；
设，，
因为为线段的中点，
所以，得
因为点在圆上，
所以，
化简得，
即的轨迹方程为，
所以的轨迹的长度为．
17.证明：因为，为中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
解：以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，可得，
易知平面的一个法向量为，
所以，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
解：由知平面的法向量为，
设，，则，
若平面，则，
所以，解得，
所以，
所以，
故存在点，使平面，此时．
18.解：因为椭圆上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为和，
所以，
解得，
所以，
则椭圆的方程为；
因为直线的斜率为，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
若，
此时，
解得或，
当时，直线的方程为，
此时直线过点，不满足条件；
当时，直线的方程为，满足条件，
所以直线的方程为；
证明：因为直线，均不与轴垂直，
所以直线不经过点和，
所以且，
由知，
．
故为定值．
19.解：因为，设公差为，
所以，
令，则，
此时，
即对任意正自然数，存在正自然数，使得，
所以，数列是数列；
因为数列的前项和，
当时，，所以，
当时，，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，，
假设数列是“数列”，
则对任意正整数，总存在正整数，使得，
当时，有，则，与题意不符；
当时，有，左边为奇数，右边为偶数，该方程无解，
所以对任意正整数，不存在正整数，使得，
所以数列不是“数列”；
依题意，，，
若是“数列”，
则对任意的，都存在使得，
即，
所以，
又因为，，
所以对任意的，，且，
所以．
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