2024-2025学年山东省烟台市高一上学期期末学业水平诊断数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省烟台市高一上学期期末学业水平诊断数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
3.已知点在角终边上，则下列角中与终边相同的是( )
A. B. C. D.
4.溶液酸碱度是通过计算的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔升若胃酸中氢离子的浓度是摩尔升，则胃酸的为( )
A. B. C. D.
5.九章算术是我国古代的数学名著，其中方田一章记录了弧田面积的计算问题如图，某弧田由弧和其所对的弦围成，若弦长度为，弧所对的圆心角的弧度数为，则该弧田的面积为( )
A. B. C. D.
6.已知幂函数的图象经过点，则( )
A. 的定义域为 B. 的值域为
C. 为偶函数 D. 是其定义域上的减函数
7.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则( )
A. 为偶函数，且在上单调递增 B. 为偶函数，且在上单调递减
C. 为奇函数，且在上单调递增 D. 为奇函数，且在上单调递减
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，且，则( )
A. 的定义域为 B. 为偶函数
C. 在上单调递减 D. 的最大值为
10.已知函数的图象关于直线对称，则( )
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于点对称
C. 在区间上单调递增
D. 若在上有个零点，则
11.若定义在上的函数满足：对任意的，都存在唯一的，使得，则称函数是“函数”，则下列说法正确的有( )
A. 是“函数”
B. 是“函数”
C. 若是“函数”，则
D. 若是“函数”，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域为 ．
13.某摩天轮示意图如下图所示，其半径为，最低点与地面距离为，转动一圈若该摩天轮上一吊箱视为质点从点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱第次距离地面时，所经历的时长为 单位：
14.已知函数，且下列四个结论：是的零点，是的零点，的零点之积为，方程只有一个实根，只有一个结论错误，则错误结论的序号为 若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
化简求值：
若，求的值．
16.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
若，求的值
求方程的解．
17.本小题分
某企业为了解每月广告投入费用单位：万元与月利润单位：万元的关系，统计了前三个月每月广告投入费用与月利润的数据，如下表所示：
月份 第一个月 第二个月 第三个月
每月广告投入费用单位：万元
月利润单位：万元
当每月广告投入费用不超过万元时，与之间的关系有两个函数模型与可供选择，利用表中前两个月的数据分别求出两个函数模型的解析式，并根据第三个月的数据，选出更符合实际的函数模型已知每月广告投入费用超过万元时，与满足关系结合第问的结果，求该企业每月广告投入费用在什么范围时月利润不少于万元
18.本小题分
已知函数图象上两条相邻的对称轴之间的距离为．
求的单调递增区间
将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，设，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数的定义域为．
求的取值范围
讨论函数的单调性
给定函数，，若其图象与直线存在公共点，则称是的一个“不动点”若其图象与直线存在公共点，则称是的一个“次不动点”若函数在上仅有一个“不动点”和一个“次不动点”，求的取值范围．
参考答案
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15.解：原式
原式，
因为，代入上式得．
16.解：由图象可知，
所以，于是，，解得，又，所以，
所以
因为，所以，
所以．
因为，所以或解得或，
17.解：若选用函数．
将点，代入可得．
解得，，所以．
当时，得．
若选用函数，将点，代入可得，解得，，所以．
当时，得，
因为，即模型与实际数据差距更小，所以更符合实际的函数模型为．
当时，令，即，
所以
当时，由，解得，所以．
答：该企业每月广告投入费用在时月利润不少于万元．
18.解：由题意，周期，．
所以，
令，，
解得，
所以的单调递增区间为．
由题意，
因为对任意，存在，使得成立，所以
当时，，所以．
当时，，，即．
令，则，，
若，在上单调递增，
因为，所以，解得，
若，在上单减，在上单增，
因为，所以，解得，
若，在上单减，
因为，所以，解得．
综上，的取值范围为或．
19.解：因为函数的定义域为，所以在上恒成立，
即，
因为，当且仅当时，等号成立．
所以，的取值范围为
令，则为上的增函数，且
设．
当时，函数在上单调递增，又为增函数，由复合函数单调性，在上单增
当时，在上单减，在上单增，又为增函数，由复合函数单调性，在单减，在单调递增．
综上，当，函数在上单调递增当时，函数在单调递减，在单调递增．
设函数在上的“不动点”为，则，
即，整理得，，
令，，则在上单减，上单增，
因当时，，，，所以若与的图象在上仅有一个交点，则或，
又由知，，所以或
设函数在上的“次不动点”为，则，
即，，所以，
即，．
令，，则，，
任取，且，
则．
因为，且，所以，，，
所以，即，所以在上单增，
因为与的图象在上仅有一个交点，且
所以，又因为，故
综上，若函数在上仅有一个“不动点”和一个“次不动点”，的取值范围为或．
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