2024-2025学年北京市朝阳区清华大学附属中学朝阳学校、望京学校高三上学期12月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市朝阳区清华大学附属中学朝阳学校、望京学校高三上学期12月月考数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，点对应的复数为，则实数( )
A. B. C. D.
3.已知锐角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，是的中点．若，则( )
A. B. C. D.
5.设函数，则满足的的取值范围是 ．
A. B. C. D.
6.已知抛物线上一动点，则到点和点的距离之和的最小值是( )
A. B. C. D.
7.在中，“”是“为钝角”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.设圆的半径为，其一条弦为圆上任意一点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
9.已知函数，且是的极小值点，则可以是( )
A. B. C. D.
10.设集合，，，，，中至少有两个元素，且，满足：
对于任意， ，若，都有
对于任意， ，若，则 ；
下列命题正确的是( )
A. 若有个元素，则有个元素 B. 若有个元素，则有个元素
C. 若有个元素，则有个元素 D. 若有个元素，则有个元素
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知双曲线的焦点为，实轴长为，则双曲线的离心率为 ，渐近线方程为
12.已知为等差数列，为其前项和．若，则
13.若直线与交于两点，写出满足“”的的一个值
14.已知空间四点中任意两点间的距离都等于，则点到平面的距离为 ．
15.已知无穷数列满足：对任意，有，且给出下列四个结论：
存在无穷多个，使得；
存在，对任意，有；
对任意，有；
对任意，存在互不相同的，使得．
其中所有正确结论的序号是
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数，且的最小正周期为．
求的值及函数的单调递减区间；
将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，当时，求函数的值域．
17.本小题分
在中，已知，
求；
的周长为，再从以下条件中选择一个，使三角形存在且唯一确定，并求的面积．
；；．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.本小题分
如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点．
求证：平面；
求二面角的余弦值．
19.本小题分
已知椭圆的短轴长为，右焦点为，直线：与轴交于点，且过点的直线与椭圆交于两点．
求椭圆的方程及离心率；
过点且平行于轴的直线交椭圆于另一点，求面积的最大值．
20.本小题分
已知函数，曲线在点处的切线方程记为定义函数．
当时求的解析式；
当时，判断函数的单调性并说明理由；
若满足当时，总有成立，则称实数为函数的一个“点”，求函数的所有点．
21.本小题分
已知有穷数列，从数列中选取第项、第项、、第项，顺次排列构成数列，其中，则称新数列为的长度为的子列．规定：数列的任意一项都是的长度为的子列，若数列的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列为完全数列．设数列满足，．
判断下面数列的两个子列是否为完全数列，并说明由；
数列：，，，，；数列：，，，．
数列的子列长度为，且为完全数列，证明：的最大值为；
数列的子列长度，且为完全数列，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.，
12.
13.答案不唯一
14.

15.
16.由
，
由于的最小正周期为，故，解得，
则，
令，解得，
故单调递减区间为．
由题意可得，
当时，，
则，所以
则函数的值域为．

17.由，
根据正弦定理得，，
则，
又，所以，则，即，
又，所以．
选择条件：
由，，无解，不符合题意；
选择条件：
由，，则，，
所以为等边三角形，
因为的周长为，则，即，
所以的面积为；
选择条件：
由题意，，，
因为的周长为，则，即，
由余弦定理得，，
则，即，即，
则，此时为等边三角形，
则的面积为．

18.证明：因为四边形为矩形，线段交于点，所以为的中点．
连接，在中，，分别为，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
因为垂直于梯形所在的平面，，
所以，，两两垂直，
如图以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系．
则，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以，
由图可知二面角的平面角是钝角，
所以二面角的平面角余弦值为．

19.由题意可得，解得
所以椭圆的方程为，离心率为．
由得，直线：，则，
由题意，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，整理得，
依题意，得，
设，则，，
设，即有，
即，
设，即有，
则，
所以，由于，
因为
，
又因为
，
所以，即有，
故有，则三点共线，
所以面积
，
当且仅当，即时取等号，满足，
面积的最大值．

20.函数，求导得，则，而，
则函数的图象在处的切线方程为：，即，
所以的解析式为．
由知，，而，
曲线在点处的切线方程为，
则
，
求导得，
令，求导得
，令，
求导得，当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
故
当时，，则，即恒成立，
函数在上单调递增，而，
则当时，，即，在上单调递减；
当时，，即，在上单调递增，
所以当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
当时，总有成立，即与同号，
则当时，，当时，，
而，由知：，
，若，即，则存在使得时，，
函数在上单调递减，，，
在上单调递减，，不合题意；
若，即或，则存在使得时，，
函数在上单调递增，，，
在上单调递减，，不合题意；
因此，即或，
当时，，
，与当时，矛盾；
当时，，
又，令，求导得，
当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，当且仅当时取等号，于是，当且仅当时取等号，
因此当时，恒成立，即恒成立，
所以函数的所有点．

21.数列不是完全数列，数列是完全数列，理由如下：
数列：因为，所以数列不是完全数列；
数列：因为，
，
即每一子列的所有项的和都不相同，所以数列是完全数列．
证明：假设存在完全数列，其长度为，则，
则长度为的数列的每一子列的所有项的和有个，
设其所有项的和的最小值为，最大值为，
则，
可得，
整理得，
当时，；
当时，；
当时，；
当，则，，
所以；
综上所述：当时，不存在，使得成立．
所以假设不成立，则，且，符合题意，
所以的最大值为．
因为长度，且为完全数列，且，
可知的最小值为，的最小值为，取；
因为，则的最小值为，取；
因为，则的最小值为，取；
因为，
，
则的最小值为，取；
此时均取到对应的最小值，则均取到对应的最大值，
则，
所以的最大值为．

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