金科大联考2025届高三1月质量检测数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 金科大联考2025届高三1月质量检测数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 75.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-21 12:53:26 | ||
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文档简介
金科大联考2025届高三1月质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆的离心率为，则( )
A. B. C. D.
4.已知平面向量，，若在方向上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.若函数的极小值点为，则( )
A. B. C. D.
7.已知正项数列的前项积为，若，则( )
A. B. C. D.
8.从正十边形的各顶点中任选个，则选中的个点能构成直角三角形的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有一组样本数据，，，，其中，由这组数据得到新样本数据，，，，则( )
A. 两组样本数据的极差一定相等 B. 两组样本数据的平均数一定相等
C. 两组样本数据的中位数可能相等 D. 两组样本数据的方差可能相等
10.已知函数，且，则( )
A. B. 是奇函数
C. 的图象关于对称 D. 一定为的极小值点
11.已知棱长为的正方体，空间内的动点满足，其中，，，且到棱的距离和到平面的距离相等，则( )
A. 当时，的轨迹长度为
B. 当时，四面体的体积为定值
C. 存在点，使得
D. 直线与平面所成角的正弦值最大为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为第一象限角，若，则 ．
13.若实数，满足，则的最小值为 ．
14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上位于第一象限的一点，，直线与圆交于，两点，若，则的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，A.
求的面积
设在边上，平分，若，求．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，为等边三角形，平面平面，．
证明：平面平面
设点为棱的中点，求二面角的余弦值．
17.本小题分
设函数．
当时，求的单调区间
当时，，求的取值范围．
18.本小题分
在直角坐标系中，已知动圆过定点，且截轴所得的弦长为．
求动圆圆心的轨迹方程
，为曲线上的两个动点，过，中点且与轴平行的直线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点．
(ⅰ)证明：
(ⅱ)若点在直线上，求面积的最大值．
19.本小题分
设为正整数，集合，集合，为的一个非空子集，记，其中
若，，求的取值的集合
证明：的所有可能取值个数为
是否存在，使得的所有可能取值从小到大排列成等差数列，若存在，求若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由条件及余弦定理得，，，故C．
由条件及正弦定理得，，故．
的面积为
设，则．
在中，由正弦定理得．
，解得．
．
16.证明：取的中点，连接，则
因为为等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为底面是正方形，，，是平面内两条相交直线，
所以平面，
又平面平面，
所以平面平面
解：取中点，由可知平面平面，
则平面，
以为坐标原点，建立如图所示空间坐标系，
则，，，，
则，
设平面的法向量为，则，取，则，
设平面的法向量为设平面的一个法向量为，则取
则，
由图知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
17.解：当时，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
在区间上单调递减，在区间和上单调递增
，
令，解得或，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
在处取得极大值，，
当，即时，在处取得最大值，
，解得，
，
当时，在或处取得最大值，
解得，，
的取值范围是．
18.解：设动圆圆心坐标为，
动圆过定点，截轴所得弦长为，
，
整理得，即动圆圆心的轨迹方程
不妨设，，，
由题满足，两式作差得，
，即，
过点与轴平行的直线交曲线于点，，
，即，，
，即
在直线上，，
为，中点，在曲线内部，
，解得，
由，点到直线的距离即为平行线和间距离，
直线，即，
直线，即，
平行线和间距离为，
，
，
，，
令，，
令，解得或，
，，单调递增
，，单调递减，
最大值为，
面积的最大值为．
19.解：当时，或，，
，，，的可能取值为，，，
的取值集合为
设集合，，与中相同的元素不予考虑，
其中，，
假设，则，
，
，，即
不存在两个不同的子集，，使得，
的所有可能取值个数为的非空子集个数，为．
，，，为的所有可能取值中最小的三个，
，解得
当时，易知为偶数，
且最大值为，最小值为，
由可知的所有可能取值个数为，
区间中偶数个数恰为，
的所有可能取值集合为，
该集合中任何一项均能写成形式，进而可构成首项为，公差为的等差数列，
存在，使得的所有可能取值从小到大排列成等差数列．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆的离心率为，则( )
A. B. C. D.
4.已知平面向量，，若在方向上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.若函数的极小值点为，则( )
A. B. C. D.
7.已知正项数列的前项积为，若，则( )
A. B. C. D.
8.从正十边形的各顶点中任选个，则选中的个点能构成直角三角形的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有一组样本数据，，，，其中，由这组数据得到新样本数据，，，，则( )
A. 两组样本数据的极差一定相等 B. 两组样本数据的平均数一定相等
C. 两组样本数据的中位数可能相等 D. 两组样本数据的方差可能相等
10.已知函数，且，则( )
A. B. 是奇函数
C. 的图象关于对称 D. 一定为的极小值点
11.已知棱长为的正方体，空间内的动点满足，其中，，，且到棱的距离和到平面的距离相等，则( )
A. 当时，的轨迹长度为
B. 当时，四面体的体积为定值
C. 存在点，使得
D. 直线与平面所成角的正弦值最大为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为第一象限角，若，则 ．
13.若实数，满足，则的最小值为 ．
14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上位于第一象限的一点，，直线与圆交于，两点，若，则的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，A.
求的面积
设在边上，平分，若，求．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，为等边三角形，平面平面，．
证明：平面平面
设点为棱的中点，求二面角的余弦值．
17.本小题分
设函数．
当时，求的单调区间
当时，，求的取值范围．
18.本小题分
在直角坐标系中，已知动圆过定点，且截轴所得的弦长为．
求动圆圆心的轨迹方程
，为曲线上的两个动点，过，中点且与轴平行的直线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点．
(ⅰ)证明：
(ⅱ)若点在直线上，求面积的最大值．
19.本小题分
设为正整数，集合，集合，为的一个非空子集，记，其中
若，，求的取值的集合
证明：的所有可能取值个数为
是否存在，使得的所有可能取值从小到大排列成等差数列，若存在，求若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由条件及余弦定理得，，，故C．
由条件及正弦定理得，，故．
的面积为
设，则．
在中，由正弦定理得．
，解得．
．
16.证明：取的中点，连接，则
因为为等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为底面是正方形，，，是平面内两条相交直线，
所以平面，
又平面平面，
所以平面平面
解：取中点，由可知平面平面，
则平面，
以为坐标原点，建立如图所示空间坐标系，
则，，，，
则，
设平面的法向量为，则，取，则，
设平面的法向量为设平面的一个法向量为，则取
则，
由图知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
17.解：当时，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
在区间上单调递减，在区间和上单调递增
，
令，解得或，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
在处取得极大值，，
当，即时，在处取得最大值，
，解得，
，
当时，在或处取得最大值，
解得，，
的取值范围是．
18.解：设动圆圆心坐标为，
动圆过定点，截轴所得弦长为，
，
整理得，即动圆圆心的轨迹方程
不妨设，，，
由题满足，两式作差得，
，即，
过点与轴平行的直线交曲线于点，，
，即，，
，即
在直线上，，
为，中点，在曲线内部，
，解得，
由，点到直线的距离即为平行线和间距离，
直线，即，
直线，即，
平行线和间距离为，
，
，
，，
令，，
令，解得或，
，，单调递增
，，单调递减，
最大值为，
面积的最大值为．
19.解：当时，或，，
，，，的可能取值为，，，
的取值集合为
设集合，，与中相同的元素不予考虑，
其中，，
假设，则，
，
，，即
不存在两个不同的子集，，使得，
的所有可能取值个数为的非空子集个数，为．
，，，为的所有可能取值中最小的三个，
，解得
当时，易知为偶数，
且最大值为，最小值为，
由可知的所有可能取值个数为，
区间中偶数个数恰为，
的所有可能取值集合为，
该集合中任何一项均能写成形式，进而可构成首项为，公差为的等差数列，
存在，使得的所有可能取值从小到大排列成等差数列．
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