湖南省益阳市2025届高三上学期普通高中期末质量检测数学试卷（含答案）

湖南省益阳市2025届高三（上）普通高中期末质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合则( )
A. B. C. D.
2.已知公比为的等比数列的前和为则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知函数的图象实际上是以两条坐标轴为渐近线的双曲线，进一步探究可以发现对勾函数的图象是以直线，为渐近线的双曲线现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线，则它的离心率是( )
A. B. C. D.
5.的展开式中所有二次项即含，，的项的系数和为
A. B. C. D.
6.已知圆台的母线长为，在圆台内部，与上、下底面及各母线均相切的球的半径为则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
7.如图所示，点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.己知定义域为的函数满足当时，且对任意都有，则当时，关于的方程的实根个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点，直线，，，平面，，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，，则
10.已知某人掷骰子次，并记录每次骰子出现的点数，统计数据为：，，，，，若，，成等差数列，则由下列说法可以判断出一定没有出现点数的是( )
A. 该组数据的中位数为，众数是 B. 该组数据的平均数为，分位数是
C. 该组数据的平均数为，方差小于 D. 该组数据的极差为，方差大于
11.数列满足：记数列前项中所有奇数项的和为，则( )
A. B.
C. 若则 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足则复数 ．
13.已知则函数的最小值为 ．
14.若函数满足在定义域内的某个集合上，对任意，都有是一个常数，则称在上具有性质设是在区间上具有性质的函数，且对于任意都有成立，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知椭圆过点且椭圆的短轴长等于焦距．
求椭圆的方程；
若直线的斜率为且与椭圆相交于、两点，求面积取得最大值时直线的方程．
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且
求边
若，求面积的最大值．
17.本小题分
如图，四棱锥中，平面，，．
作点在平面内的射影，写出作法及理由；
若且求二面角的正弦值．
18.本小题分
某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于为合格品，小于为次品，现抽取这种元件件进行检测，检测结果统计如下表：
测试指标
元件数件
现从这件样品中随机抽取件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率；
关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差则对任意正数，均有成立．
若证明：
由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信注：当随机事件发生的概率小于时，可称事件为小概率事件
19.本小题分
已知函数
求在原点处的切线方程；
为正整数，对任意，求证：
Ⅲ求证： 为自然对数的底数．
参考答案
1.
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14.
15.解：Ⅰ点代入方程得，
且，，
由可解得：，，
所以椭圆
Ⅱ设直线的方程：，点，
直线方程代入椭圆得，
由，得 ， ， ，
则弦长，
点到直线的距离
，
面积，
当且仅当即时等号成立，
故面积取得最大值时直线的方程为．
16.解：Ⅰ由，
可得，
，
由正弦定理可得，所以，
Ⅱ，则，
所以，
由正弦定理可得：，
又因为，所以，
所以面积为：，
当即时取等．
所以面积的最大值为．
17.解：Ⅰ设，连接，过点作的垂线，垂足即为点在平面内的射影．
下面证明：，，点，在线段的中垂线上，即有，
平面，平面，，
又，，平面，
平面；
又平面，平面平面，
又平面平面， ，平面，
平面，
故点为点在平面内的射影；
Ⅱ由Ⅰ可知，可建立如图空间直角坐标系，
，，
又，，
且，易知，，，
在中，，
在中，，，
则，，，，
设平面的法向量为，，，
则．，
不妨取，则，
平面的法向量，
二面角的平面角为，，，
又，，
二面角的正弦值为．
18.解：Ⅰ记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品，
Ⅱ由题：若∽，
则，
又，
所以或
由切比雪夫不等式可知，
所以
(ⅱ)设随机抽取件产品中合格品的件数为，假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则∽，所以，
由切比雪夫不等式知，
即在假设下个元件中合格品为个的概率不超过，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信．

19.解：Ⅰ的定义域为，
，，
在原点处的切线方程为：，即
Ⅱ将看成变量，看成常数，
设，，
所以
所以时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以
又，
Ⅲ由Ⅱ可知：
对累加，有
．
令，则．

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