2024-2025学年湖北省随州市高三（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省随州市高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.已知函数在处有极小值，则实数的值为( )
A. B. 或 C. D. 或
3.已知，，，，则等于( )
A. B. C. D.
4.已知等比数列的公比为且，若，则的值为( )
A. B. C. D.
5.如图，为圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点、重合的点，于，于，则下列说法中错误的是( )
A. 平面平面
B. 平面平面
C. 平面平面
D. 平面平面
6.已知，为双曲线的左，右顶点，点在上，为等腰三角形，顶角为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.的展开式中的系数是( )
A. B. C. D.
8.在某次太空游行中，宇航员们负责的科学实验要经过道程序，其中，两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断正确的是( )
A. 在区间内单调递减 B. 在区间内单调递增
C. 是极小值点 D. 是极大值点
10.下列命题正确的是( )
A. 零向量是唯一没有方向的向量
B. 零向量的长度等于
C. 若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线
D. 若，，则
11.树人中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党成立周年”党史知识竞赛．经统计，得到前名学生分布的饼状图和前名中高一学生排名分布的频率条形图如图，则下列说法正确的是( )
A. 成绩前名的人中，高一人数比高二人数多
B. 成绩第名的人中，高一人数不超过一半
C. 成绩第名的人中，高三最多有人
D. 成绩第名的人中，高二人数比高一的多
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若命题“，是假命题”，则实数的取值范围是 ．
13.函数有极值，则实数的取值范围是______．
14.设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，求下列各式的值：
；
．
16.本小题分
平面上三个力、、作用于一点且处于平衡状态，，，与的夹角为，求：
的大小；
与夹角的大小．
17.本小题分
记数列的前项和为，对任意正整数，有，且．
求数列的通项公式；
对所有正整数，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前项和．
18.本小题分
如图，四棱锥中，底面，，，，，是的中点．求证：
Ⅰ；
Ⅱ平面．
19.本小题分
已知定点，，动点满足．
求动点的轨迹的方程；
已知点，点在轨迹运动，求线段上靠近点的三等分点的轨迹方程．
参考答案
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15.解：由，解得，
；
．
16.解：三个力平衡，，分
，分
而与的夹角可由余弦定理求得，
，
与的夹角为分
则与的夹角为分
17.解：对任意正整数，有，且，
可得时，，解得；
时，，解得；
时，，解得．
当时，由，可得，
两式相减可得，
化为，
时，上式显然成立；
时，，
所以，
上式对，也成立，
所以，；
由，即为，
可得数列中有项为中的前项，其中的项为，，，，，，
所以的前项和为．
18.证明：Ⅰ平面，平面，
，又，，，平面，
故CD平面．
又平面，．
Ⅱ由题意：，，
，平面，，
平面，
又平面，
．
又，且，
，从而．
又为的中点，
．
由Ⅰ知：，
，平面，，
平面，
又平面，
．
又，，平面，
故平面．
19.解：设动点的坐标为，
因为，，且，
所以，
整理得，
所以动点的轨迹的方程为；
设点的坐标为，点坐标为，
因为是线段上靠近点的三等分点，
所以，即，
解得，又点在轨迹运动，
由有：，
化简得：，
即的轨迹方程：．
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