江苏省徐州市第三中学2024-2025学年高二上学期期末数学模拟试卷（1月份）（PDF版，含答案）

江苏省徐州市第三中学 2024-2025 学年高二上学期期末数学模拟试卷
（1 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 ：√ 3 + 2 = 0的倾斜角为( )
A. 30° B. 60° C. 45° D. 90°
2.直线 过圆 ：( + 3)2 + 2 = 4的圆心，并且与直线 + + 2 = 0垂直，则直线 的方程为( )
A. + 2 = 0 B. + 2 = 0 C. + 3 = 0 D. + 3 = 0
3.已知{ }是等差数列， 6 = 8， 8 = 6，则 14 =( )
A. 14 B. 6 C. 0 D. 14
4.如图，在三棱柱 1 1 1中， 1与 1 相交于点 ，∠ 1 = ∠ 1 = 60°，∠ = 90°， 1 = 3，
= = 2，则线段 的长度为( )
A. √ 29 B. √ 29 C. √ 23 D. √ 23
2 2
2 2
5.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)， 为坐标原点，直线 = 与椭圆 交于 ， 两点．若△ 为直角 2
三角形，则 的离心率为( )
1 √ 6 √ 2 √ 6
A. B. C. D.
2 3 2 2
6.如图，四边形 中， = = = 2， = = √ 2.现将△ 沿
5
折起，当二面角 处于[ , ]过程中，直线 与 所成角的余弦值取
6 6
值范围是( )
5√ 2 √ 2
A. [ , ]
8 8
√ 2 5√ 2
B. [ , ]
8 8
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√ 2
C. [0, ]
8
5√ 2
D. [0, ]
8
1
7.已知数列{ }的前 项和 = (1 )( ∈
)，若2 + = 3 1 ，且数列{ }满足 = √ 3
，
4
若集合{ | > , ∈ }中有三个元素，则实数 的取值范围( )
1 5 1 5 5 7 5 7
A. [ , ) B. ( , ] C. ( , ] D. [ , )
2 8 2 8 8 8 8 8
2 2
8.设椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，直线 过点 1 .若点 2关于 的对称点 恰好在
椭圆 上，且 1 1 2
2
= 2，则 的离心率为( )
3
1 2 1 √ 3
A. B. C. D.
3 3 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2 +1
9.已知等差数列{ }和{ }的前 项和分别为 和 ，且

= ， ∈
+，则下列结论正确的有( )
+1
{
61
A. 数列 }是递增数列 7B. =
5 20
3C. 使 为整数的正整数 的个数为0 1 2 D. 的最小值为
1 2 2
10.若圆 1：
2 + 2 2 2 = 0与圆 2 22： + 1 = 0的交点为 ， ，则( )
A. 公共弦 所在直线方程为 + 1 = 0
B. 线段 中垂线方程为 +1 = 0
C. 过点(0,3)作圆 2 21： + 2 2 = 0的切线方程为 = + 2
D. 若实数 ， 满足圆 2 21： + 2 2 = 0，则 的最大值为2
11.如图所示，在棱长为1的正方体 1 1 1 1中， ， 分别为棱 1 1，
1的中点，则以下四个结论正确的是( )
A. 1 //
B. 若 为直线 1上的动点，则 1 1 1为定值
1
C. 点 到平面 1 的距离为 3
3
D. 过 作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为
8
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若直线 + + 1 = 0与直线(2 1) + = 0平行，则实数 的值为 ．
7 63
13.记 为等比数列{ }的前 项的和，若 3 = ， 6 = ，则 12 = ． 2 2
2 2 2 2
14.已知椭圆 1： 2 + 2 = 1( > > 0)与双曲线 2： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点相同，分别
为 1， 2， 1与 2在第一象限内交于点 ，且3| 2| = | 1 2 |， 1与 2的离心率分别为 1， 2，则 1 2的取
值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
2 2
已知 1， 2分别为椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点，且椭圆经过点(2,0)和点(1, )，其中 为椭
圆的离心率．
(1)求椭圆 的方程；
| |
(2)若倾斜角为30°的直线 经过点 22，且与 交于 ， 两点( 点在 点的上方)，求 的值． | 2|
16.(本小题12分)
已知数列{ }的前 项和为 ， +1 = 2 + 2

( ∈
)， 1 = 1．

(1)证明：数列{ }为等差数列，并求数列{ 2 }的通项公式；
(2)求数列{ }的前 项和为 ；
(3)若 ≤ 2 4 对任意 ∈
恒成立.求实数 的取值范围．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，侧棱 ⊥底面 ， = = 1， 是 的中点，作
⊥ 交 于点 ．
(1)求证： ⊥平面 ；
√ 15
(2)若平面 与平面 的夹角的正弦值为 ，
5
( )求 长；
( )求直线 与平面 所成角的正弦值．
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18.(本小题12分)
已知椭圆 的焦点为 1( 6,0)， 2(6,0)，且该椭圆经过点 (5,2)．
(1)求 的标准方程;
(2)若 为 上一点，且 1 ⊥ 2，求△ 1 2的面积．
19.(本小题12分)
数列{ }满足 1 = 2， + +1 = 4 + 2，数列{ }的前 项和为 ；数列{ }的前 项和为 且满足3 =
4 1．
(1)分别求{ }，{ }的通项公式；
3 +4
(2)若 = ，求数列{ }的前 项和； +1
2+2
(3)证明：∑ √ =1 < 18．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1
13.【答案】1024
3
14.【答案】( , 3)
5
2 2
15.【答案】解：(1)

为椭圆的离心率，即 = ，椭圆 ： 2 + 2 = 1经过点(2,0)和点(1, )，
= 2
2 = 21
可得{ + = 1 { = 1 2 2 ，解得 ， 2
2 2 2 = √ 3 + =
∴椭圆的方程为
2
+ 2 = 1．
4
(2)由(1)得 √ 32(√ 3, 0)，直线 的斜率为 = 30° = ， 3
倾斜角为30°的直线 经过点 2，
∴直线 的方程为 √ 3 √ 3 = ( √ 3)，即 = 1，
3 3
√ 3
= 1 8√ 3 = 0 =
联立{ 3 { { 7
2
，解得 = 1或 ， 1
+ 2 = 1 =
4 7
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则 8√ 3 1 ( , ), (0, 1)，
7 7
1
| 2| 1∴ = 7 = ．
| 2| | 1| 7
16.【答案】解：(1)证明：数列{ }的前 项和为

， +1 = 2 +2 ( ∈ )， 1 = 1，
由 +1 = 2

+ 2 ，两边同时除以2
+1，
+1 1 +1 1 1 1
可得 +1 = + +1 = ，又 = ， 2 2 2 2 2 2 2 2
1
所以数列{
2
}是首项、公差均为 的等差数列，
2
1 1
由等差数列的通项公式可得 = + ( 1) = ， 2 2 2 2
所以 = 2
1．
(2)由 0 1 2 1 = 1 × 2 +2 × 2 + 3 × 2 + + 2 ，
可得2 = 1 × 21 + 2× 22 +3 × 2
3 + + ( 1) 2 1 + 2 ，
1 2
所以 = 1 +2
1 + + 2 1 2 = 2 = (1 )2 1，
1 2
所以 = ( 1)2 + 1．
(3)若 ≤ 2 4 对任意 ∈
恒成立，
即有( 1)2 + 1 ≤ 2 4 ，整理得 ≤ 2 4 1恒成立，
令 = 2
4 1，则 +1 +1 = [2 4( + 1) 1] (2
4 1) = 2 4，
当 = 1时， +1 < ，当 = 2时， +1 = ，当 ≥ 3时， +1 > ，
所以 1 > 2 = 3 < 4 < 5 < ，即 的最小值为 3 = 2 = 5，
综上， ≤ 5，即实数 的取值范围是( ∞, 5]．
17.【答案】解：(1)证明：在四棱锥 中，底面 是矩形，侧棱 ⊥底面 ，
= = 1， 是 的中点，作 ⊥ 交 于点 ，
以 为原点，以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，
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建立空间直角坐标系，如图，
1 1
设 = ，则 (0,0,1), (0, , ), ( , 0,0), ( , 1,0)．
2 2
1 1∵ = ( , 1, 1), = (0, , )，
2 2
1 1
∴ = 0+ = 0，∴ ⊥ ．
2 2
∵ ⊥ ，且 ∩ = ， ， 平面 ．
∴由线面垂直的判定定理得 ⊥平面 ．
(2)( )设平面 的法向量为 = ( , , )，∵ = (0,1, 1)，
= + = 0
∴ { ，令 = 1，得 = (0,1,1)，
= = 0
设平面 的法向量 = ( 1 , 1 , 1)，
= 1 + 1 = 0∴ { ，令 = 1，得 = (1, , 0)，

1
= 1 = 0
设平面 与平面 的夹角为 ，
∵平面 与平面 的夹角的正弦值为√ 15，
5

= |cos , | =
则 √ ， 2( 2+1)
√ 10
√ 15 √ 10
∴ = ，∴ = ，∴ = ，
5 5 √ 2( 2
5
+1)
解得 = 2(舍去负值)，∴ 长为2．
( )由(1)知 ⊥ ，
∴由线面角定义得∠ 是直线 与平面 所成角的一个平面角，
在直角△ 中，由题意得 √ 2 √ 3cos∠ = = = ，
√ 6 3
又由题意得 △ ～ △ ，∴ ∠ 与∠ 互为余角，
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√ 3
∴ sin∠ = cos∠ = ，
3
∴直线 与平面 所成角的正弦值为√ 3．
3
2 2
18.【答案】解：(1)设 的标准方程为 2 + 2 = 1( > > 0)，
25 4
因为椭圆经过点 (5,2)，所以 + = 1，
2 2
因为椭圆的焦点为 1( 6,0)， 2(6,0)，
所以 2 2 = 36，
25 4
联立方程组{ 2
+ 2 = 1
，解得 2 = 45， 2 = 9，
2 2 = 36
2 2
所以椭圆 的标准方程为 + = 1；
45 9
(2)设| 1| = 1，| 2 | = 2，
则 1 + 2 = 2 = 6√ 5，
又 1 ⊥ 2，
则 21 +
2
2 = | 1 2|
2 = 144，
1
所以 1
2 2
2 = [( 1 + 2) ( 1 +
2
2 2
)] = 18，
1
所以△ 1 2的面积 = 1 2 = 9． 2
19.【答案】解：(1)数列{ }满足 1 = 2， + +1 = 4 + 2，数列{ }的前 项和为 ；
数列{ }的前 项和为 且满足3 = 4 1．
由 + +1 = 4 + 2可得 +1 + +2 = 4 +6，则 +2 = 4．
又 1 = 2， 1 + 2 = 6，则 2 = 4．
4
故 为奇数时，{ }是以2为首项，公差为4的等差数列， = 2 + ( 1) = 2 ， 2
4
为偶数时，{ }是以4为首项，公差为4的等差数列， = 4 + ( 2) = 2 ． 2
综上有 = 2 ，( ∈ )．
又3 = 4 1，则当 = 1时，3 1 = 4 1 1，解得 1 = 1；
当 ≥ 2时，3 = 4 1，3 1 = 4 1 1，两式相减可得3 = 4 4 1，
即 = 4 1，故{ }是以1为首项，4为公比的等比数列，故 = 4
1．
3 +4
(2)若 = ， +1
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3 +4 1 1
即有 = = ， ( +1)4 4 1 ( +1)4

1 1 1 1 1 1
故数列{ }的前 项和 = 1 1 + 1 2 +. . .+ 1 = 1 ； 2×4 2×4 3×4 4 ( +1)4
( +1)4
(2+2 )
(3)证明： = 2 +4+. . . +2 = = ( + 1)， = 4
1．
2
2
2 2
+2 √ ( +1) 1
√ ( +1) 1 +1
2
√ + 1故 =
4 1
= <
2 1 2 1
= 1 +2 2 1
．

=1
2
+2 =1 +1 ( +1)则∑ √ < ∑ = ∑ =1 + ∑ =1
1 1
∑ =1
( +1)
2 1
1 2 2 1
= 2
2 1
+
2 1
，

设∑ =1
( +1) 1×2 2×3 3×4 ( +1)

2 1
= =
20
+ 1 + 2 +. . . + ， 2 2 2 1
1 1×2 2×3 3×4 ( 1) ( +1)

2
= 1 + 2 + +. . . + + ， 2 2 23 2 1 2
1 2×2 2×3 2×4 2 ( +1)
错位相减可得 = 2 + 1 + 2 + 3 +. . .+ 1 ， 2 2 2 2 2 2
2 3 4 ( +1)
则 = 4 + 2( 0 + 1 + 2 +. . .+2 2 2 2 2
) 1 ． 2
2 3 4
设 = 0 +2 21
+ 2 +. . .+ ， 2 2 2
1 2 3 4
则 = + +2 21 22 23
+. . .+ ，
2 1
1 2 1 1 1 1 +2
相减可得 = 0 + 1 + 2 +. . .+ 2 1 = 2+ 1 = 3 ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1
2 +4
则 = 6 1， 2
2 +4 ( +1) 4 +8 ( +1) 2+5 +8
故 = 4 + 2(6 1 ) 1 = 16 1 1 = 16 1 2 2 2 2 2
2+2 2
故∑ =1 √
1 +5 +9
< 2 1 + = 18 1 < 18，即得证． 2 2
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