2025 年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准
数 学
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C A B A B D
8. D 【解析】 f(x)= 2 cos2ωx+2sin ωxcos ωx= 2 sin(2ωx+ π )+1,
4
令 f(x)= 0, π 2得 sin(2ωx+ )= - .
4 2
∵ x∈[0,2π],∴ 2ωx+ π ∈[ π ,4πω+ π ] .
4 4 4
令 t= 2ωx+ π ,由 y= sin t 的图象得:
4
4π- π ≤4πω+ π <5π+ π ,
4 4 4
7 5
化简得 ≤ω< .
8 4
二、选择题(本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题
目要求. 全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分)
题号 9 10 11
答案 BC ABD ACD
10. ABD 解析:选项 A 正确;
对于选项 B,C,D,设 M (4m2,4m) ,
当 m= 0 时,t= 1;
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m≠0 ,t = MF = 4m
2 +1 1
当 时 =
MA (4m2 +1) 2 +(4m) 2 (4m) 21+
(4m2 +1) 2
= 1 ≥ 1 = 1 = 2 ,
16 16 2 21+ 1+
16m2 + 12 +8
2 16 +8
m
当且仅当 m= ± 1 时,等号成立.
2
故 B 正确;
2 -
M(4m2,4m) y= x+3 4m 4m
+3
因为 到直线 的距离 d= ,
2
m= 1当 时,dmin = 2 ≠2. 故 C 错误;2
→ = → (4m2 +MN 2NF 2 4m由 得 N , ) ,3 3
当 m= 0 时,kON = 0;
当 m≠0 ,k 4m 4 |m | 4 4 2时 ON = 2 ≤ = ≤ = ,4m +2 4m2 +2 4 |m | + 2 2
|m | 2 4 |m |·
2
|m |
2
当且仅当 m= 时,等号成立.
2
故 D 正确.
11. ACD 1解析:对于选项 A,当 a= - 时,x∈R,
2
∵ f (-x ) +f (x 1 1 1 1) = -x +sin (-x ) - + +sin x-e +1 2 ex+1 2
x
= e 1 1
1
1+ex
-sin x- +
2 ex
+sin x- = 0,
+1 2
故 f (x ) 是奇函数,故 A 正确;
1
对于选项 B,f (π-x ) = π-x +sin (π-x ) +a=
1
π-x +sin x+a= f (x ) 不恒成立,e +1 e +1
故 B 错误;
对于选项 C,当 a= 0 1时,f (x ) = x +sin x,f (3π = 1 -1<0,故 C 正确;e +1 2 ) 3πe 2 +1
1
对于选项 D,由 f (x ) >0,得-a<
ex
+sin x,
+1
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1
令 h (x ) = x +sin x,x∈ [0,π] .e +1
1
因为 ≥ 1 ,sin x≥0. h 1故 (x ) ≥h(π)= ,
ex+1 eπ +1 eπ +1
故-a< 1π ,即 a>-
1 . 故 D 正确.
e +1 eπ +1
三、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分)
12. 2 13. 96 14. 58 -2
A A B B
14. 58 -2 1 3 1 3解析:如图(一),∵ tan∠AMA1 = = ,tan∠BMB1 = = .MA MA MB MB
又 tan∠AMA1 = 2tan∠BMB1,∴ MB= 2MA.
图(一) 图(二)
如图(二),建立平面直角坐标系,则 A(0,0),B(3,0),D(0,3),设点 M(x,y) .
(x-3) 2 +y2 = 2 x2 +y2 ,化简得:(x+1) 2 +y2 = 4(x≥0,y≥0) .
则圆心为 P(-1,0),r= 2,点 D(0,3)关于 BC 的对称点 D′(6,3) .
∴ (MN+ND)min = (6+1) 2 +32 -2 = 58 -2.
四、解答题(本大题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13 分)(1)解:∵ cos2B+2sin 2A-2sin2C= 1-2sin Bsin C,
∴ 1-2sin2B+2sin2A-2sin2C= 1-2sin Bsin C.
即 sin2
B+sin2C-sin2A= sin Bsin C. ……………………………………………………… 3 分
由正弦定理得:b2 +c2 -a2 = bc,
b2 = +∴ cos A c
2 -a2 = 1 ,
2bc 2
∵ A∈(0,π) .
∴ A= π . ………………………………………………………………………………… 6 分
3
(2)易知 C= π-(A+B)= 5π, …………………………………………………………… 8 分
12
∵ B= π ,∠BAC= π ,∠ADC= 2∠BAD=B+∠BAD,
4 3
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∴ ∠BAD=B= π ,
4
∴ ∠ADC= π ,BD=AD. ………………………………………………………………… 10 分
2
∴ BD AD
= = tan C= tan 5π = tan ( π + π ) = 2+ 3 .CD CD 12 6 4
∴ BD的值为 2+ 3 . …………………………………………………………………… 13 分
CD
16. (15 分)(1)解:由题意知,f′(x)= f′(1)ex-1, ………………………………………… 2 分
令 x= 1,则 f′(1)= f′(1)e-1,∴ f′(1)= 1- . ………………………………………… 4 分e 1
ex= - - = 2-故 f(x) x 1,f(1) e.
e-1 e-1
-
∴ 所求切线方程为:y-2 e = 1- - (x
-1),即 y= x -- 1. ……………………………… 6 分e 1 e 1 e 1
x
(2)∵ g(x)= eax-x(e-1)· e + 1 = eax+ 1- (x≠0),e 1 x x
当 x>0 时,g(x) >0,故函数 y=g(x)没有零点; ……………………………………… 8 分
= = ln( -当 x<0 时,令 g(x) 0,得 a x)- . ………………………………………………… 9 分x
令 t= -x,则 a= ln t,t>0.
t
-
令 h( t)= ln t( t>0),∴ h′( t)= 1 ln t.
t t2
令 h′( t)= 0,得 t= e.
当 t∈(0,e)时,h′( t) >0,h( t)单调递增;当 t∈(e,+∞ )时,h′( t) <0,h( t)单调递减.
∴ h( t) max =h(e)=
1 .
e
当 0当 10 且 h( t)→0. ……………………… 12 分e
故函数 y=g(x)有两个零点时,直线 y=a 与函数 y=h( t)的图象有两个交点,
∴ 1实数 a 的取值范围为 (0, ) . ……………………………………………………… 15 分e
17. (15 分)(1)证明:∵ DC=BC= 2 ,∠DCB= 90°,AD= 2,
∴ BD=AD= 2.
又∠DAB= 45°,
∴ ∠ABD= 45°,∴ ∠ADB= 90°,
∴ AD⊥BD. ……………………………………………………………………………… 3 分
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(2)证明:在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,DD1⊥平面 ABCD,
∴ DA,DB,DD1 两两垂直,以 D 为原点,DA,DB,DD1
所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空
间直角坐标系,设 DD1 =h,则 D(0,0,0),B(0,2,0),
C1( -1,1,h),E(1,0,0),F(1,1,0),D1(0,0,h) .
D→B= (0,2,0),DC→1 = ( -1,1,h),E
→F= (0,1,0),
ED→1 = ( -1,0,h) . ……………………………… 5 分
设 n1 = (x1,y1,z1)为平面 BDC1 的一个法向量,
n ·D→{ 1 B= 2y1 = 0,∴ n1·DC→1 = -x1 +y1 +hz1 = 0.
令 x1 =h,得 z1 = 1,∴ n1 = (h,0,1) . …………………………………………………… 7 分
同理可得,平面 EFD1 的一个法向量 n2 = (h,0,1) . …………………………………… 8 分
∵ n1∥n2,∴ 平面 BDC1∥平面 EFD1 . …………………………………………………… 9 分
(3)当 CC1 = 2 时,n1 = (2,0,1)为平面 BDC1 的一个法向量,
→
设 FP=λFD→1 =λ( -1,-1,2)= ( -λ,-λ,2λ)(λ∈[0,1]),
∴ P(1-λ,1-λ,2λ),∵ A1(2,0,2),∴ A
→
1P= ( -1-λ,1-λ,2λ-2) . ………………… 11 分
设直线 A1P 与平面 BDC1 所成角为 θ,
- -
sin θ = cos〈A→P,n 〉 = 2( 1 λ)
+2λ-2
1 1
22 +12 ( -1-λ) 2 +(1-λ) 2 +(2λ-2) 2
= 4 5 = 4 5 ≤4 3 = 2 6 ,
5 6λ2 -8λ+6 5 6 (λ- 23 )
2
+10
5 2 5
3
2
当且仅当 λ= 时,等号成立. ………………………………………………………… 14 分
3
所以,直线 A1P 与平面 BDC
2 6
1 所成角的正弦值的最大值为 . …………………… 15 分5
18. (17 分)解:(1)设双曲线的方程为 x2 -y2 =λ(λ≠0),
将点 A(4,2)代入得 42 -22 =λ,即 λ= 12,
x2 y2∴ 双曲线 C 的方程为 - = 1. ……………………………………………………… 3 分
12 12
(2)当直线 DG 的斜率不为零时,设直线 DG 的方程为 x = my+2,F(x1,y1 ),G(x2,y2 ),
E(x1,-y1) .
ìx2 y2 - = 1,
由í12 12 消去 x 整理得(m2 -1)y2 +4my-8 = 0,…………………………………… 4 分
x=my+2,
依题意得:m2 -1≠0,且 Δ= 16m2 +32(m2 -1) >0,即 m2 > 2 且 m2≠1,
3
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y +y = - 4m
-8
1 2 2 ,y1y = .m -1 2 m2 -1
y2 +y1
易知,直线 EG 的斜率存在,设直线 EG 的方程为 y+y1 = -x2 -
(x x1) . ……………… 6 分x1
令 y= 0,得
(x -x
x = 2 1
)y1 x2y1 +x1y+x = 2
(my2 +2)y1 +(my1 +2)y2
y +y 1
=
1 2 y1 +y2 y1 +y2
8
2my y +2(y +y ) 2my y 2m× (- 2 )
= 1 2 1 2 = 1 2 + = m -1 + =
+ + 2 2 6.y1 y2 y1 y2 - 4m
m2 -1
∴ 直线 EG 过定点(6,0) . ……………………………………………………………… 9 分
当直线 DG 的斜率为 0 时,直线 EG 的方程为 y= 0,过点(6,0),
综上,直线 EG 过定点(6,0) . ………………………………………………………… 10 分
(3)考虑以(0,y0)为圆心的“子圆”Ω :x20 +(y-y ) 20 = r 20 ( r0 >0),
由 Ω0 的方程与 C 的方程消去 x,得关于 y 的二次方程 2y2 -2y 2 20y+y0 +12-r0 = 0.
依题意,该方程的判别式 Δ= 4y 2 -8(y 20 0 +12-r 2 2 20 )= 0,∴ y0 = 2r0 -24. …………… 12 分
对于外切于点 R 的两个“子圆”Ω1,Ω2,显然点 R 在 y 轴上,
设 R(0,h),Ω1,Ω2 的半径分别为 r1,r2,
不妨设 Ω1,Ω2 的圆心分别为(0,h+r1),(0,h-r2) .
则(h+r 2 2 2 21) = 2r1 -24,(h-r2) = 2r2 -24.
两式相减得:2h( r1 +r 2 22)= r1 -r2 ,
r -r
而 r1 +r2 >0,∴ h=
1 2 . ……………………………… 14 分
2
∴ ( r1 -r 22 +r 21 ) = 2r1 -24,整理得:2
r 2 21 +r2 -6r1r2 +96 = 0. ………………………………… 15 分
∵ d= r1 +r2,点 B(2 3 ,0),
2
∴ RB 2 2
r -r
=h +12 = ( 1 22 ) +12 = 1 (2r 21 +2r 22 -4r1r2 +96)8
= 1 [( r 2 21 +r2) +r1 +r 22 -6r1r2 +96] =
1 d2 .
8 8
RB 2∴ = 1 , RB = 22 故 . …………………………………………………………… 17 分d 8 d 4
19. (17 分)解:∵ 2S =a2n n+n, ①
∴ 当 n= 1 时,2a =a21 1 +1,即(a1 -1) 2 = 0,∴ a1 = 1.
当 n≥2 时,2Sn-1 =a2n-1 +(n-1), ②
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由①-②得:2a =a2 -a2n n n-1 +1,即 a2n-1 = (an-1) 2 .
∵ an>0,a1 = 1,∴ an-1 =an-1,即 an-an-1 = 1.
∴ 数列{an}是以 1 为首项,1 为公差的等差数列.
∴ an =n(n∈N ) . ……………………………………………………………………… 3 分
(1)由题意可得当 n= 5 且 b1 = 2 的数列{bn}为:2,4,1,3,5 和 2,5,3,1,4. ………… 5 分
(2)数列{bn}不可能为等差数列,证明如下: ………………………………………… 6 分
假设{bn}是等差数列,公差为 t,
当 t>0 时,由题意知,t= 2 或 3,
此时,bi≥b1 +2>b1 +1( i= 2,3,…,n) .
∴ b1 +1 不是等差数列{bn}中的项,与题意不符.
∴ {bn}不可能是等差数列; …………………………………………………………… 8 分
当 t<0 时,由题意,t= -2 或-3.
此时,bi≤b1 -2∴ b1 -1 不是等差数列{bn}的项,与题意不符.
∴ {bn}不可能是等差数列. …………………………………………………………… 9 分
综上所述,{bn}不可能是等差数列. ………………………………………………… 10 分
(3)由题意,d∈N ,
当 d≥6 时,
∵ b5≥1,∴ b80 = b5 +15d≥1+90 = 91,与题意不符; …………………………………… 11 分
当 d≤3 时,
记 Mk = {b5k-4,b5k-3,b5k-2,b5k-1,b5k}(k= 1,2,3,…,16),
当 80∈Mi( i= 1,2,3,…,16)时,b5i≥80-4×3 = 68,
∴ b5k = b5i-( i-k)d≥68-(16-1) ×3 = 23,
记(Mk) min 表示集合 Mk 中元素的最小值,则(Mk) min≥23-4×3 = 11. ……………… 13 分
∴ 1 Mk(k= 1,2,3,…,16),与题意不符; …………………………………………… 14 分
ìn,n= 5k-4,
n+1,n= 5k-3,
当 d= 5 时,取 bn = ín+2,n= 5k-2,此时数列{bn}满足题意.
n-2,n= 5k-1,
n-1,n= 5k,
综上所述,d= 5. ………………………………………………………………………… 17 分
注:解答题有其他解法酌情给分.
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2025 年邵阳市高三第一次联考试题卷
数 学
本试卷共 4 页, 19 个小题。 满分 150 分。 考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、 班级、 考号填写在答题卡上。 将条形码横贴在
答题卡上“条形码粘贴区”。
2. 作答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信
息点涂黑; 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案。 答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定
区域内相应位置上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新答案; 不准使
用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答无效。
4. 保持答题卡的整洁。 考试结束后, 只交答题卡, 试题卷自行保存。
一、 选择题(本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有
一项是符合题目要求的)
1. 已知集合 A={x | 0≤x≤5} , 集合 B={x | x2 -4x≤0} , 则 A∩B=
A. (0, 4) B. [0, 4] C. (0, 5) D. [0, 5]
2. 已知向量 a= ( -1, 3 ), b= (2, - 3 ), a b π与 的夹角为 θ, 则 sin ( +θ) =2
A. 3 5 B. -5 5 C. -5 7 D. 5 7
7 7 14 14
3. 已知复数 z 满足: z·i4n+1 = 1+2i(n∈N, i 为虚数单位), 则 | z | =
A. 5 B. 2 5 C. 5 D. 10
2
4. 1
x 1 x
已知 x∈R, 则“x>1”是“ ( ) > ( ) ”的2 3
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 为了推广一种新产品, 某公司开展了有奖促销活动: 将 6 件这种产品装一箱, 每箱中
都放置 2 件能够中奖的产品. 若从一箱中随机抽出 2 件, 能中奖的概率为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 3
5 5 5 4
2025 年邵阳市高三第一次联考试题卷(数学) 第 1 页(共 4 页)
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x26. 经过椭圆 +y2 = 1 的右焦点 F 作倾斜角为 60°的直线 l, 直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点,
2
则 AB =
A. 8 2 B. 20 2 C. 2 D. 13 2
7 7 7 7
7. é- π ,0 ∪ 0, π定义在 ê úùê 上的偶函数 f ( x), 其导函数为 f′ ( x) . 若 x ∈ 0,
π
úù ,
2 ) ( 2 ú ( 2 ú
f′(x)sin x+f(x)cos x>0 恒成立, 则
A. f ( π ) > 2 f (- π ) B. 2 f (- π ) < 3 f6 4 4 ( π3 )
C. f ( π ) > 3 f (- π D. 2f π 8. 已知函数 f(x)= 2cos2 ωx+2sin ωxcos ωx(ω>0)在区间[0, 2π]上有且仅有 4 个零点, 则 ω 的
取值范围是
A. (15, 19ùú B. é15, 19ú êê ) C. ( 7 , 5 7 5úù D. éú ê16 16 16 16 8 4 ê , 8 4 )
二、 选择题(本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符
合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 下列说法正确的是
A. 决定系数 R2 越小, 模型的拟合效果越好
B. X 3 3若随机变量 服从两点分布, P(X= 1)= , 则 D(X)=
4 16
C. 若随机变量 X 服从正态分布 N(μ, 4), P(x<1)= P(x>3), 则 μ= 2
D. 一组数 x1, x2, …, xn(n∈N )的平均数为 a, 若再插入一个数 a, 则这 n+1 个数
的方差变大
10. 已知抛物线 y2 = 2px(p>0)的焦点为 F, 准线过点 A(-1, 0), M 是抛物线上的动点, 则
A. p= 2
B. 当 MF = t MA 时, t 2的最小值为
2
C. 点 M 到直线 y= x+3 的距离的最小值为 2
D. 当 M→N= 2N→F 2时, 直线 ON 的斜率的最大值为
2
11. 1已知函数 f (x ) = x +sin x+a, a∈R, 则下列结论正确的是e +1
A. 1当 a= - 时, f (x ) 为奇函数
2
B. f x π( ) 的图象关于直线 x= 对称
2
C. 当 a= 0 时, x0∈[0, 2π], f(x0) <0
D. 若 x∈[0, π], f(x) >0, 则 a>- 1
eπ +1
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三、 填空题(本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 若等比数列{ an} (n∈N )满足: a3+a5 =10, a6+a8 =80, 则数列{ an}的公比 q= .
13. 某校高三(5)班班主任准备从 2 名男生和 4 名女生中选取 3 人担任数学、 物理、 化学学
科课代表, 每学科安排 1 人, 且至少有 1 名男生, 则不同的选取方法有 . (请用
数字作答)
14. 已知在棱长为 3 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 点 M 是底面 ABCD 内的动点, 点 N 为
棱 BC 上的动点, 且 tan∠AMA1 = 2tan∠BMB1, 则 MN+ND 的最小值为 .
四、 解答题(本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤)
15. (13 分) 已知在 △ABC 中, 三个角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且
cos2B+2sin2A-2sin2C= 1-2sin Bsin C.
(1)求角 A 的大小;
(2) B= π若 , 点 D 在边 BC 上, 且∠ADC= 2∠BAD, BD求 的值.
4 CD
16. (15 分)已知函数 f(x)= f′(1)ex-x-1.
(1)求曲线 y= f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2)若函数 g(x)= (eax-x+1 -eax-x)[ f(x) +x+1] + 1 有 2 个零点, 求实数 a 的取值范围.
x
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17. (15 分)如图(一), 在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, AD= 2, BC=CD= 2, ∠DCB= 90°,
∠DAB=45°, E, F 分别为 AD, AB 的中点.
(1)求证: AD⊥BD;
(2)求证: 平面 BDC1∥平面 EFD1;
(3)若 CC1 = 2, P 是线段 D1F 上的动点, 求直线 A1P 与
平面 BDC1 所成角的正弦值的最大值.
图(一)
18. (17 分)已知双曲线 C 的渐近线方程为 y= ±x, 右顶点为 B, 点 A(4, 2)在 C 上.
(1)求 C 的方程;
(2)过点 D(2, 0)的直线 l 与 C 相交于 F, G 两点, 点 E 与点 F 关于 x 轴对称, 问
直线 EG 是否过定点 若过定点, 求出定点坐标; 若不过定点, 请说明理由;
(3)将圆心在 y 轴上, 且与 C 的两支各恰有一个公共点的圆称为“子圆”, 若两个
“ ” RB子圆 外切于点 R, 圆心距为 d, 求 .
d
19. (17 分)已知正项数列{ an } ( n∈N ) 的前 n 项和为 Sn, 且 2S = a2n n +n. 当 n≥4 时,
将 a1, a2, …, an 进行重新排列, 构成新数列 { bn }, 使其满足: bi+1 -bi = 2 或
bi+1 -bi = 3(其中 i∈N , 1≤i(1)当 n= 5 时, 写出所有满足 b1 = 2 的数列{bn};
(2)试判断数列{bn}是否为等差数列, 并加以证明;
(3)当 n= 80 时, 数列{bn}满足: b5, b10, …, b5k, …, b80(k = 1, 2, 3, …, 16)是
公差为 d(d>0 且 d≠4)的等差数列, 求公差 d.
2025 年邵阳市高三第一次联考试题卷(数学) 第 4 页(共 4 页)
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