广东省阳江市高新区2024-2025学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

广东省阳江市高新区 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 3 < < 2}， = { |0 4}，则 ∪ =( )
A. (0,2) B. ( 3,0] C. [0,2) D. ( 3,4]
2.在复平面内，复数 = ( 2) + (1 + 2 ) 对应的点位于第二象限，则实数 的取值范围为( )
1 1 1
A. ( , 2) B. ( ∞, ) C. (2,+∞) D. ( 2, )
2 2 2
3.在梯形 中，满足 // ， = 2， = 6， = 2，则 =( )
A. 4 B. 6 C. 10 D. 12
1 5
4.已知cos( + ) = ， = ，则cos2 + cos2 =( )
2 12
3 4 5 9
A. B. C. D.
2 3 6 8
5.圆台的高为2，体积为14 ，两底面圆的半径比为1：2，则母线和轴的夹角的正切值为( )
√ 3 √ 3 2√ 3
A. B. C. D. √ 3
3 2 3
6.已知球 的半径为3， 是球 表面上的定点， 是球 表面上的动点，且满足(2 + ) = 0，则线
段 轨迹的面积为( )
A. 3√ 2 B. 3√ 5 C. 6√ 2 D. 6√ 5
7.在平面直角坐标系 中， = (1,√ 3)，点 在直线 +√ 3 2 = 0上，则 在 上的投影向量为( )
1 √ 3 1 3
A. (1, √ 3) B. (1,3) C. ( , ) D. ( , )
2 2 2 2
8.已知两个不同的圆 1， 2均过定点 ( , )，且圆 1， 2均与 轴、 轴相切，则圆 1与圆 2的半径之积为( )
2 2 +
A. | | B. 2| | C. 2 + 2 D.
2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法不正确的是( )
A. 至少有一个实数 ，使 2 + 1 = 0
B. 若 ( + 1)的定义域为[ 2,3)，则 ( 2)的定义域是[ 1,4)
C. 命题 ： ∈ ， 2 > 0，则￢ ： ∈ ， 2 < 0
1
D. “集合 = { | 2 + + 1 = 0}中只有一个元素”是“ = ”的必要不充分条件
4
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1,第 次投出正面,
10.投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量 = { ( = 1,2,3).记 表示事件“ 1 +
1,第 次投出反面,
2 = 0”， 表示事件“ 2 = 1”， 表示事件“ 1 + 2 + 3 = 1”则( )
A. 和 互为对立事件 B. 事件 和 不互斥
C. 事件 和 相互独立 D. 事件 和 相互独立
11.已知两定点 ( 2,0)， (1,0)，动点 满足条件| | = 2| |，其轨迹是曲线 ，过 作直线 交曲线 于 ，
两点，则下列结论正确的是( )
A. | |取值范围是[2√ 3, 4]
B. 当点 ， ， ， 不共线时，△ 面积的最大值为6
C. 当直线 斜率 ≠ 0时， 平分∠
D. tan∠ 最大值为√ 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
4
12.设 ∈ (0, )，若cos( + ) = ，则sin(2 + )的值为______．
2 6 5 12
13.已知三棱台 1 1 1的上、下底面均为正三角形，且平面 1 ⊥平面 ， = 1 = 1 =
2 1 1 = 4， 为 1 1的中点，则直线 1 1与 夹角的余弦值为______．
14.点 (0,2)为圆 ：( 4)2 + ( + 1)2 = 25上一点，过 的圆的切线为 ，且 与 ′：4 +2 = 0平行，
则 与 ′之间的距离是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 = 2 ．
(1)求角 的大小；
2 2 1(2)若 = 2，求 ．
2
16.(本小题15分)
已知圆 过 (2,6)， ( 2,2)两点，且圆心 在直线3 + = 0上．
(1)求圆 的方程．
(2)若直线 过点 (0,5)且被圆 截得的线段长为4√ 3，求 的方程．
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17.(本小题15分)
课外阅读对于培养学生的阅读兴趣、拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用.某市为了解中学生的课外
阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取了500名学生，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长 (单位：
分钟)，得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分
钟．
时长 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100]
学生人数 50 100 200 125 25
(Ⅰ)估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表
)；
(Ⅱ)若按照分层抽样的方法从本次调查中寒假期间每天课外阅读平均时长在[0,20)和[20,40)的两组中共抽取
6人进行问卷调查，并从6人中随机选取2人进行座谈，求这2人中至少有一人寒假期间每天课外阅读平均时
长在[0,20)的概率．
18.(本小题17分)
如图，三棱锥 中， ⊥平面 ， = = = ， 为 中点， 为 中点， 为 中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
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19.(本小题17分)
已知 为圆 ：( + 1)2 + 2 = 16上任意一点，点 (1,0)，线段 的垂直平分线与 交于点 ，记点 的
轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)过点 作直线 (与 轴不重合)与 相交于点 ， ，直线 与 轴交于点 ， = ，求 的方程．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
17√ 2
12.【答案】
50
3√ 39
13.【答案】
26
4
14.【答案】
5
15.【答案】解：(1)由题意， = 2 ，
则由正弦定理可得 = 2 ，
又 ∈ (0, )，所以 ≠ 0，
所以 = 2 ，则 = 2 ，
1
因为 ≠ 0，所以 = ，
2

又因为0 < < ，所以 = ；
3

(2)由(1)得： = ，
3

则由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 ，
3
1
整理得 2 2 = 2，又 2 2 = 2，
2
1 3
所以 2 = 2，即 = ，
2 2
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2 2 1 9 1所以 = 2 = 2 2
7 2 √ 7= ，即 = ，
2 4 2 4 2
2 2
7
2 2
9 2 2
+ + 4 4 3 2√ 7则 = = = = ．
2 √ 7 3 3√ 72× × 7
2 2 2
16.【答案】解：(1)方法一设圆的方程为 2 + 2 + + + = 0，
2 + 6 + = 0
依题意有{ 2 + 2 + = 8，
3
= 0
2 2
= 4
解得{ = 12，
= 24
故所求圆的方程为 2 + 2 + 4 12 + 24 = 0．
(2)如图所示，| | = 4√ 3，设 是线段 的中点，
则 ⊥ ，
∴ | | = 2√ 3，| | = 4．
在 △ 中，可得| | = 2．
当直线 的斜率不存在时，满足题意，
此时方程为 = 0.
当直线 的斜率存在时，设所求直线 的斜率为 ，则直线 的方程为： 5 = ，
即 + 5 = 0.由点 到直线 的距离公式：
| 2 6+5|
= 2 3，得 = ，此时直线 的方程为
√ 2+1 4
3 4 + 20 = 0.
∴所求直线 的方程为 = 0或3 4 + 20 = 0．
1
17.【答案】解：(Ⅰ)估计平均数为 × (10 × 50+ 30 × 100+ 50× 200 + 70 × 125+ 90 × 25) = 49；
500
(Ⅱ)寒假期间每天课外阅读平均时长在[0,20)和[20,40)的人数之比为1：2，
所以抽取的6人中，寒假期间每天课外阅读平均时长在[0,20)内的有2人，记为 ， ，
寒假期间每天课外阅读平均时长在[20,40)内的有4人，记为 ， ， ， ，
从6人中随机选取2人，所有可能有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
，共15种情况，
其中至少有一人寒假期间每天课外阅读平均时长在[0,20)的有： ， ， ， ， ， ， ， ， ，共
9种情况，
9 3
所以所求概率为 = ．
15 5
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18.【答案】(1)证明：连接 ，由 为 中点， 为 中点，得 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)解：设 = = = = ，
由 ⊥平面 ， ， 平面 ，
得 ⊥ ， ⊥ ，
则 1 √ 2 = = ，取 中点 ，则 ⊥ ，
2 2
又 ∩ = ， ， 平面 ，则 ⊥平面 ，
又 平面 ，于是平面 ⊥平面 ，
又平面 ∩面 = ，过点 在平面 内作 ⊥ 于 ，
于是 ⊥平面 ，则 ⊥ ，连 ，
则∠ 为直线 与平面 所成的角，
在 △ 中，由 = = = = ，
可得 √ 3 = ， √ 2 √ 3 √ 7 = + ( )2 = ，
2 2 2
√ 3
√ 21
则 = = 2 =
√ 7
，
7
2
在 △ 中， √ 42sin∠ = = ，
7
所以直线 与平面 所成角的正弦值为√ 42．
7
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19.【答案】解：(1)由题意可知： ：( + 1)2 + 2 = 16的圆心为 ( 1,0)，半径为4，且| | = | |，
则| | + | | = | |+ | | = | | = 4 > 2 = | |，
可知点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，
2 2则 = 2, = 1, = √ 2 2 = √ 3，所以 的方程为 + = 1；
4 3
(2)因为点 (1,0)在椭圆内部，可知直线 与椭圆必相交，
1
设直线 ： = +1( ≠ 0)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 (0, )，
= +1
联立方程{ 2 2 ，消去 可得(3
2 +4) 2 +6 9 = 0，
+ = 1
4 3
6 9
则 1 + 2 = 2 , 1 2 = 3 +4 3 2 ， +4
1
又因为 = ( 1 , 1 + ), = (1 2 , 2)，
若
1 1
= ，则 1 + = 2，即 1 + 2 = ，
6 1
可得 2 = ，解得
2√ 3
= ± ，
3 +4 3
所以 的方程为 2√ 3 = ± +1，即√ 3 ± 2 √ 3 = 0．
3
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