甘肃省庆阳市华池县第一中学2024-2025学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

甘肃省华池县第一中学 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.等差数列{ }的前 项和为 ，公差 = 2， 5 = 5，则 1 =( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2.抛物线 = 2 2的准线方程为( )
1 1 1 1
A. = B. = C. = D. =
4 8 4 8
3.从4个男生2个女生中任选3个人参加一个活动，所有选择的方法有( )种．
A. 120种 B. 60种 C. 20种 D. 40种
4.圆 2 + 2 2 8 + 13 = 0的圆心到直线 + 1 = 0的距离为( )
9√ 2 11√ 2
A. 2√ 2 B. 3√ 2 C. D.
2 2
2
5.( 2 2)(1 + )5的展开式中 1的系数为( )

A. 60 B. 50 C. 40 D. 20
1
6.已知数列{ }满足 +1 = ， 1 = 1，则 1 2024 =( )
1
A. 1 B. C. 2 D. 1
2
2 2
7.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)在左、右焦点分别为 1， 2，倾斜角为60°且过原点的直线 交椭圆于
， 两点，若| | = | 1 2|，则椭圆的离心率为( )
√ 3 √ 3 1
A. B. √ 3 1 C. √ 2 1 D.
3 2
8.过抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点 作两条互相垂直的弦 ， ，设 为抛物线上的一动点， (1,2).若
1 1 1
+ = ，则| | + | |的最小值是( )
| | | | 4
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线 ： = 0与圆 ： 2 + 2 4 2 + 1 = 0，则下列说法正确的是( )
A. 直线 恒过定点(1,0) B. 圆 的圆心坐标为(2,1)
C. 存在实数 ，使得直线 与圆 相切 D. 若 = 1，直线 被圆 截得的弦长为2
10.数列{ }的前 项和为 ，且 +1 + = 2 1，下列说法正确的是( )
A. 若数列{ }为等差数列，则{ }的公差为1
B. 若数列{ }为等差数列，则{ }的首项为1
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C. 30 = 435
D. 2 ≥ 4 3
11.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出著名的杨
辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下
关于杨辉三角的猜想中正确的是( )
A. 由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想 =
B. 由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和猜想 1 +1 = +


C. 第9条斜线上各数字之和为55
D. 在第 ( ≥ 5)条斜线上，各数从左往右先增大后减少
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班
次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳不同的方法有______．
13.已知(1 + ) + (1 + )2 + + (1 + ) = 0 +
2
1 + 2 + + ，且 1 + 2 + + 1 = 29 ，
则 = ______．
2 2
14.点 是双曲线 = 1的右支上一点， 、 分别是圆( + 5)2 + 2 = 4和( 5)2 + 2 = 1上的点，
9 16
则| | | |的最大值为_________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线 过点 (2, 3)．
(1)若直线 在 轴上的截距为3，求直线 的方程；
(2)若直线 与直线2 + + = 0( < 0)平行，且两条平行线间的距离为√ 5，求 ．
16.(本小题15分)
(1)用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的五位数？
(2)用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的六位数，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个
数列{ }，则240135是第几项．
17.(本小题15分)
已知数列{ }的前 项和为 ，满足 1 = 1， +1 ( + 1) = ( + 1)”．
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(1)求{ }的通项公式；
(2)若 = ( 1) +1
+1
，求数列{ }的前20项和 20． +
18.(本小题17分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1，( > > 0)的左焦点 ( 2,0)，右顶点 (3,0)．
(1)求 的方程；
9
(2)设 为 上一点(异于左、右顶点)， 为线段 的中点， 为坐标原点，直线 与直线 ： = 交于点
2
，求证： ⊥ ．
19.(本小题17分)
2 2
设 为双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点， 为坐标原点，以 为直径的圆与圆
2 + 2 = 2交

于 ， 两点，满足| | = | |．
(1)求 的离心率；
√ 2
(2)若 = 1，点 在双曲线 上，点 在直线 = 上，满足 ⊥ ，试判断直线 与圆 的位置关系，并
2
说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】90种
13.【答案】4
14.【答案】9
15.【答案】解：(1)由题意可得直线 的斜率存在，设直线 的方程为 = + 3，
∵直线 过点 (2, 3)，∴ 3 = 2 + 3，求得 = 3，∴直线 的方程为 = 3 + 3，即3 + 3 = 0．
(2)若直线 与直线2 + + = 0( < 0)平行，可设直线 的方程为2 + + = 0，
| +1|
∵两条平行线间的距离为√ 5，∴ = √ 5，求得 = 6，
√ 5
故直线 的方程为2 + 6 = 0．
16.【答案】解：(1)由于是五位数，首位数字不能为0，
首位数字有 15 = 5种排法，
其它位置有 45 = 120种排法，
所以用0，1，2，3，4，5可以组成5 × 120 = 600个无重复数字的五位数．
(2)由于是六位数，首位数字不能为0，
首位数字为1有 55个数，
首位数字为2，万位上为0，1，3中的一个有3 44个数，
所以从小到大排列，240135是第 55 + 3
4
4 + 1 = 193个，
即所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{ }，240135是数列的第193项．
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17.【答案】解：(1) ∵数列{ }的前 项和为 ，满足 1 = 1， +1 ( + 1) = ( + 1)，

∴ +1 = 1，而 1 = = 1，
+1 1 1

∴ = 1 + ( 1) × 1 = ，即 2

= ，
当 ≥ 2时， = = 2 2 1 ( 1) = 2 1，显然 1 = 1也满足上式，
∴ = 2 1．
(2)由(1)知， 2 = ， +1 = 2 + 1，
2 +1 1 1
∴ = ( 1)
+1 = ( 1) +1( + )，
2+ +1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 20
∴ 20 = (1 + ) ( + ) + ( + ) + + ( + ) ( + ) = 1 = ． 2 2 3 3 4 19 20 20 21 21 21
18.【答案】解：(1)设椭圆 的半焦距为 ，( > 0)，
2 2
因为椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左焦点 ( 2,0)，右顶点 (3,0)，
所以 = 3， = 2， 2 = 2 2 = 5，
2 2
故 C 的方程为： + = 1；
9 5
2 2
(2)证明：设点 ( 0, 0)( 0 > 0, 0 > 0)，且
0 + 0 = 1，
9 5
+3
因为 为线段 的中点，所以 ( 0 , 0)，
2 2

所以直线 的方程为： = 0 ，
0+3
9 9 9 9
令 = ，得 = 0 ，所以 ( , 0 )，
2 2( 0+3) 2 2( 0+3)
此时
5 9
= ( , 0 )， = ( 3, )，
2 2( 0 00+3)
5 9 2 5 5(9 2 ) 5 5所以 = ( 00 3) + = (
0
0 3) + = ( 3) + (3 ) = 0， 2 2( 0+3) 2 2( +3) 2 0 2 00
所以 ⊥ ，
所以 ⊥ ．
19.【答案】解：(1)设 与 轴交于点 ，由对称性可知 ⊥ 轴，
又因为| | = | | = ，

所以| | = ，
2
所以 为以 为直径的圆的半径，

所以 为圆心，| | = ，
2
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所以 ( , )，
2 2
又 点在圆 2 + 2 = 2上，
2 2
所以 + = 2，
4 4
2
即 = 2，
2
2
所以 2 = 2 = 2．
所以 = √ 2；
(2)若 = 1，则 = √ 2，所以 2 = 1，
所以双曲线方程为 2 2 = 1，
因为 ⊥ ，
所以 在以 为直径的圆上，
√ 2
设 ( , )， ( 1, 1)， 2
√ 2
所以 + = 0，即 = √ 2 ，
2 1 1 1 1
又 2 21 1 = 1，
1+ 2
则2 2 2 = 1 + 2 2 11 1，即有 = 2 ， 2 1
1 √ 2直线 的方程为 = ( )，
√ 2
21 2
√ 2
| 1

|
2 √ 2 √ 2 √ 2 1 | ( 1 ) ( )|可得圆心(0,0)到直线 的距离为 = 2 = 2 2 1
1 2
√ 1+( )
√ √ 2 2 2 ( 1 ) +( 1 )√ 2 2 1 2
√ 2
| 1 |
= 2 1 ( )，
√ 1 2 2 2 21+ 1+ +
2
2
1 1+ 2 1 √ 2 1
( )的分母为√ 1 + 2 + 21 1 + +
1
2 = √ 2 + 2
2
1 + 2 = |2 2 2 2 2 1
+ |，

1 1 1
√ 2 √ 2 1
分子为| √ 2 2 1 1| = |2 1 + |， 2 2 1
所以 = 1，
则直线 与圆 相切．
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