黑龙江省哈尔滨市东方红中学2024-2025学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

黑龙江省哈尔滨市东方红中学 2024-2025 学年高二上学期期末数学试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 4 < 0}， = { | 1 ≤ ≤ 1}，则 ∪ =( )
A. [ 1,1] B. [ 1,4) C. (0,1] D. (0,4)
5+3
2.已知 是虚数单位，则复数 的共轭复数是( )
4
A. 1 B. 1 + C. 1 + D. 1
2 3
3.若cos( + ) = ，则sin( ) =( )
3 2
2 2 √ 5 √ 5
A. B. C. D.
3 3 3 3
4.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为300，200，400，为了了解学生的课业负担情况，该校
采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取18名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取人数分别是( )
A. 6，4，8 B. 6，6，6 C. 5，6，7 D. 4，6，8
5.已知 = log 0.4， = 0.40.60.5 ， = 0.6
0.5，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
6.在空间直角坐标系 中，点(1, 2,3)关于 轴的对称点为( )
A. ( 1, 2, 3) B. ( 1,2, 3) C. ( 1, 2,3) D. (1,2,3)
7.若点 (1,2)为圆 2 + 2 = 8的弦 的中点，则弦 所在直线的方程为( )
A. + 2 5 = 0 B. 2 + 4 = 0 C. 2 + 3 = 0 D. 2 = 0
2 2 2 2
8.已知椭圆 1： 2 + 2 = 1，双曲线 2： 2 2 = 1，其中 > > 0.若 1与 2的焦距之比为1：3，则 2的
渐近线方程为( )
A. 2 ± √ 5 = 0 B. √ 5 ± 2 = 0 C. ± √ 2 = 0 D. √ 2 ± = 0
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正方体 1 1 1 1中，下列命题是真命题的是( )
2
A. ( + 1 + )
2 = 3
B. 1 1 = 0
C. 1与 1夹角为60°
D. 正方体 1 1 1 1的体积为| 1 |
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10.已知圆 1：( 3)
2 + 2 = 1，圆 2：
2 + ( )2 = 16，则下列结论正确的是( )
A. 若 1和 2外离，则 > 2√ 3或 < 2√ 3
B. 若 1和 2外切，则 = ±4
C. 当 = 2时， 1和 2内含
D. 当 = 0时，有且仅有一条直线与 1和 2均相切
11.如图，已知棱长为2的正方体 1 1 1 1，动点 是△ 1 1内部一点
(含边界)，则下列选项正确的是( )
A. 动点 在运动的过程中，三棱锥 1的体积是定值
B. 对于任意 ， 1 ⊥平面 1
C. 动点 到直线 的距离最小值为√ 2
2√ 5 2√ 2
D. 满足 = 的 的轨迹长度为
3 9
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2+2 +4
12.若 > 0，则 的取值范围是______．

13.如图，在长方体 1 1 1 1中， = 1 = 2， = 3，若 为 的中
点，则点 1到平面 1 的距离为______．
2 2
14.已知 1， 2是椭圆 + = 1的两个焦点，过 1的直线交椭圆于 ， 两点，则△ 2 的周长为______，25 9
若| 2 | + | 2 | = 12，则| | = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量 = (1,2,2)， = ( 2,1, 1)．
(Ⅰ)求 ；
(Ⅱ)求|2 |；
(Ⅲ)若 ⊥ ( + )( ∈ )，求 的值．
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16.(本小题15分)

已知函数 ( ) = 2 ( + )( > 0)的最小正周期为 ．
3

(1)求 ( )的值；
6
(2)求函数 ( )的单调递减区间．
17.(本小题15分)
圆 2 + 2 = 8内有一点 ( 1,2)， 为过点 且倾斜角为 的弦．
3
(1)当 = 时，求 的长；
4
(2)当弦 被点 平分时，写出直线 的方程．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ， ⊥ ，∠ = 60°， = = = 2，
为 的中点， 在 上，且 = 2 ．
(1)求证： //平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
19.(本小题17分)
在直角坐标系 中，点 到两点( √ 3, 0)，(√ 3, 0)的距离之和等于4，设点 的轨迹为 ，过点(0,2)且斜率
为 的直线 与 交于不同的两点 ， ．
(1)求轨迹 的方程；
(2)求斜率 的取值范围；
(3)当 = 1时，求 ， 两点坐标．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】[6,+∞)
18√ 61
13.【答案】
61
14.【答案】20 8
15.【答案】解：(Ⅰ) = 1 × ( 2) + 2 × 1 + 2 × ( 1) = 2；
(Ⅱ)因为 = (1,2,2)， = ( 2,1, 1)，
所以| | = 3，| | = √ 6，
2 2
所以|2 | = √ (2 )2 = √ 4 4 + = √ 4 × 9 4 × ( 2) + 6 = 5√ 2；
(Ⅲ)因为 ⊥ ( + )，
2
所以 ( + ) = + = 9 2 = 0，
9
解得 = ．
2

16.【答案】解：(1)因为函数 ( ) = 2 ( + )( > 0)的最小正周期为 ，
3
2
所以 = ，可得 = 2，可得 ( ) = 2 (2 + )，
3

所以 ( ) = 2 (2 × + ) = √ 3；
6 6 3

(2)由(1)可得 ( ) = 2 (2 + )，
3
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3 7
令2 + ≤ 2 + ≤ 2 + ， ∈ ，解得 + ≤ ≤ + ， ∈ ，
2 3 2 12 12
7
可得函数 ( )的单调递减区间为：[ + , + ]， ∈ ．
12 12
17.【答案】解：(1)圆 2 + 2 = 8的圆心 (0,0)，半径 = 2√ 2，
3 3
因为 = ，所以直线 的斜率 = tan = 1，
4 4
所以 ： 2 = ( 1) × [ ( 1)]，即 ： + 1 = 0，
|0+0 1| √ 2
所以圆心 到 的距离 = = ，
2
√ 12+12
1
所以| | = 2√ 2 2 = 2√ 8 = √ 30；
2
(2)因为弦 被 平分，所以 ⊥ ， ( 1,2)，
1 1
又因为 = 2，所以 = = ， 2
1
所以弦 所在的直线方程为： 2 = [ ( 1)]，
2
即 2 + 5 = 0．
18.【答案】(1)证明：由题意知， ， ， 两两垂直，
故以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 √ 3 3 (0,0,0), (2,0,0), (0,2,0), ( , , 0), (1,1,0)， (0,0,2)，
2 2
由
√ 3
= 2 ，得 ( , 1,0)，
3
所以 √ 3 = ( 1,0,0)，
3
易知平面 的一个法向量为 = (0,1,0)，
所以 √ 3 = ( 1) × 0 + 0 × 1 + 0 × 0 = 0，即 ⊥ ，
3
又 平面 ，
所以 //平面 ．
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(2)解：由(1)得
√ 3 1
= (0,2, 2), = ( , , 0)，
2 2
= 2 2 = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ √ 3 1 ，
= + = 0
2 2
令 = 1，得 = √ 3, = √ 3，所以 = ( 1,√ 3, √ 3)，
而平面 的一个法向量为 = (0,1,0)，
√ 3 √ 21
所以cos < ， >= = = ，
| | | | √ 7×1 7
故平面 与平面 夹角的余弦值为√ 21．
7
(3) √ 3解：由题意知， = (0,2, 2), = (2,0, 2), = ( 1,0,0)，
3
= 2 2 = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ ，
= 2 2 = 0
令 = 1，得 = 1， = 1，所以 = (1,1,1)，
√ 3

所以点 到平面 的距离为| |
| 1|
= 3
1+√ 3
= ．
| | √ 3 3
19.【答案】解：(1)设 ( √ 3, 0), (√ 3, 0)，
根据题意可知| | + | | = 4 > 2√ 3 = | |，
所以点 的轨迹为以 ， 为焦点的椭圆，
且2 = 4，2 = 2√ 3，
所以 = 2， = √ 3， = 1，
2
所以轨迹 的方程为 + 2 = 1；
4
(2)易知直线 的方程为 = + 2，
= + 2
联立{ ，可得(1 + 4 2) 2 + 16 + 12 = 0，
2 + 4 2 = 4
根据题意可得 = 256 2 48(1 + 4 2) > 0，
√ 3 √ 3
解得 > 或 < ，
2 2
√ 3 √ 3
所以斜率 的取值范围是( ∞, ) ∪ ( ,+∞)；
2 2
2
(3)当 = 1时， = + 2，联立 + 2 = 1得：
4
5 2
6
16 + 12 = 0，解得 = 2或 ，
5
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6 6 4
当 = 2时， = 2 + 2 = 0，当 = 时， = + 2 = ，
5 5 5
6 4 6 4
故 (2,0), ( , )或 ( , ), (2,0)．
5 5 5 5
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