山东省临沂市蒙阴县第一中学2024-2025学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

山东省蒙阴县第一中学 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 (2,2)为抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)上一点，则抛物线 的准线方程为( )
1 1
A. = 1 B. = 1 C. = D. =
2 2
2.已知递增的等差数列{ }的前 项和为 ， 1 + 6 = 19， 2 5 = 70，则 8 =( )
A. 70 B. 80 C. 90 D. 100
3.已知向量 = (0,0,2)， = ( 1,1,1)，向量 + 在向量 上的投影向量为( )
A. (0,0,3) B. (0,0,6) C. ( 3,3,9) D. (3, 3, 9)
5 +2 +
4.两个等差数列{ }和{ }的前 项和为 ， ，且
= .则 2 20 =( ) +3 7+ 15
107 7 149 149
A. B. C. D.
24 24 12 3
5.已知圆 ：( )2 + ( 2 )2 = 2( > 0)，点 ( 2,0)， (2,0).若圆 上存在点 使得∠ = 90°，则
的最小值为( )
1+√ 5 1+√ 5 3 √ 5 3+√ 5
A. B. C. D.
2 2 2 2
6.在空间中，“经过点 ( 0, 0, 0)，法向量为 = ( , , )的平面的方程(即平面上任意一点的坐标( , , )满
足的关系)是： ( 0) + ( 0) + ( 0) = 0”.如果给出平面 的方程是 + = 1，平面 的方

程是 = 1，则由这两平面所成的二面角的正弦值是( )
6 3 6
√ 7 √ 6 √ 78 1
A. B. C. D.
3 3 9 3
7.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点 、 的距离之比
为定值 ( ≠ 1)的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿
| | 1
氏圆.已知在平面直角坐标系 中， ( 2,0)， (4,0).点 满足 = ，设点 所构成的曲线为 ，下列结论
| | 2
不正确的是( )
A. 的方程为( + 4)2 + 2 = 16
B. 在 上存在点 ，使得 到点(1,1)的距离为3
C. 在 上存在点 ，使得| | = 2| |
D. 上的点到直线3 4 13 = 0的最小距离为1
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2 2
8.如图，双曲线 ： = 1( > 0)的左、右焦点分别为
2 1
， 2， 是 上
位于第一象限内的一点，且直线 2 与 轴的正半轴交于 点，△ 1的内切
圆在边 1上的切点为 ，若| | = 1，则双曲线 的离心率为( )
√ 5
A.
2
B. √ 5
C. 2
D. √ 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆 ：( + 2)2 + 2 = 4，直线 ：( + 1) + 2 1 + = 0( ∈ )，则( )
A. 直线 恒过定点( 1,1)
B. 当 = 0时，圆 上恰有三个点到直线 的距离等于1
C. 直线 与圆 有两个交点
D. 圆 与圆 2 + 2 2 + 8 + 8 = 0恰有三条公切线
10.已知数列{ }的前 项和为 ， 1 > 0且2 =
2
+ ( ∈
)，则下列命题正确的是( )
1 2
A. 若{ }是递增数列，则数列{ }的前 项和为 2 1 2 +1 2 +1
B. 若{ }是递增数列，则数列{( 1) 1 2 1
( +1)
}的前 项和为( 1) 2
C. 若{ }各项均为正数，则2
1 1 + 2
2 2 + + 2 1 + = 2
+1 2( ∈ , ≥ 2)
D. 存在无穷多个不同的数列{ }，使得 2025 = 2024
11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两
种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发
现，故也被称作阿基米德体.如图，半正多面体的棱长为2√ 2，棱数为24，它所
有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四
面体所得的，下列结论正确的有( )
A. ⊥平面
B. 若 是棱 的中点，则 与平面 平行
C. 若四边形 的边界及其内部有一点 ，| | = 2√ 2，则点 的轨迹长度为
√ 3 √ 6
D. 若 为线段 上的动点，则 与平面 所成角的正弦值的范围为[ , ]
3 3
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知点 (1,1,1)，点 (2,1,0)，则点 (1, 1, 1)到直线 的距离为______．
13.某集团公司有一下属企业 从事一种高科技产品的生产. 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生
产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求 企业从第一年
开始，每年年底上缴资金400万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 年年底 企业上缴资金后的剩
余资金为 万元.则 = ______．
2 2 2 2
14.已知离心率为 1的椭圆 1： 2 + 2 = 1( 1 > 1 > 0)和离心率为 2的双曲线 2： 2 2 = 1( 2
>
1 1 2 2
0, 2 > 0)有公共的焦点，其中 1为左焦点， 是 1与 2在第一象限的公共点.线段 1的垂直平分线经过坐标
原点，则2 2 + 21 2的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知⊙ ：( )2 + ( )2 = 2(0 < < 2, > 0)与两坐标轴均相切；且过点(2,1)，直线 过点 ( 1,1)
交圆 于 ， 两点．
(1)求圆 的方程；
(2)若2 △ = △ ，求直线 的斜率 ．
16.(本小题15分)
已知等差数列{ }的前 项和为 ，且 4 = 4 2， 2 = 2 + 1( ∈ )．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)若 1 = 3 ，令 = ，求数列{ }的前 项和 ．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ，△ 是斜边为 的等腰直角三角形， ⊥ , =
1, = 4, = = 2√ 2．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值；
√ 5
(3)在棱 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成角的余弦值为 ？若存在，求出 的值，若不
5
存在，请说明理由．
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18.(本小题15分)
已知数列{ }满足 1 = 1， + 1 = 2 1( ≥ 2)．
(1)求数列{ }的通项公式；
, = 2 1( ∈
)
(2)若数列{ }的前 项和为 , = { ，求 ． 2 , = 2 ( ∈ ) 2 1
1 1 1
(3)设 = + + + ，求[ 2024]的值(其中[ ]表示不超过 的最大整数)．
√ 1 √ 2 √
19.(本小题17分)
√ 6
已知双曲线 1的离心率 = ，虚轴在 轴上且长为2． 2
(1)求双曲线 1的标准方程；
2 1 1
(2)已知椭圆 2：2
2 + = 1，若 ， 分别是 1， 2上的动点，且 ⊥ ，求 + 的值，以及| |2 2 2| | | |
的最小值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】√ 6
7
13.【答案】1400 × ( ) 1 + 1000
5
3+2√ 2
14.【答案】
2
15.【答案】解：(1)由题意，可知圆心 在第一象限，若圆 与两坐标轴均相切，则 = = ，
根据圆 过点 (2,1)，可得| | = = ，
即√ ( 1)2 + ( 2)2 = ，解得 = 1或5，结合0 < < 2，可得 = 1．
所以圆 方程为( 1)2 + ( 1)2 = 1．
(2)由2 △ = △ ，可得2| | = | |，即点 为 中点，
设弦 中点为 ，则 ⊥ ，设| | = | | = ，则| | = 3 ，
在 △ 中，由勾股定理得| |2 + 2 = | |2 = 1…①，
在 △ 中，由勾股定理得| |2 + (3 )2 = | |2 = 4…②，
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由①②联立方程组，解得| |2
5 5
= ，即圆心 到直线 的距离的平方为 ，
8 8
2 |2 | 2 5
设直线 ： 1 = ( + 1)，即 + + 1 = 0，则| | = ( ) = ，解得 √ 152 8 = ± ． √ +1 9
16.【答案】解：(1)设等差数列{ }的公差为 ，
由题意知， 4 = 4 2， 2 = 2 1 + 1，
4 1 + 6 = 4(2 即{ 1
+ )
，化简得{ 1
= 1
．
2 = 1 + = 2 1 + 1 = 2
所以数列{ }的通项公式 = 1 + 2( 1) = 2 1．
(2)令 = = (2 1) 3
1，
则 = 1 × 3
0 + 3 × 31 + 5 × 32+. . . +(2 1) × 3 1，
∴ 3 1 = 1 × 3 + 3 × 2
2+. . . +(2 3) × 3 1 + (2 1) × 3 ，
∴ 2 = 1 + 2(31 + 32+. . . +3 1 ) (2 1) × 3

3(1 3 1)
= 1 + 2 (2 1) × 3 ．
1 3
∴ = ( 1) 3
+ 1．
17【. 答案】解：(1)因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
平面 ， ⊥ ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = ， 、 平面 ，所以 ⊥平面 ；
(2)取 中点为 ，连接 、 ，
又因为 = ，所以 ⊥ ，
则 = = 2，
因为 = = 2√ 2, = 4，所以 ⊥ ， ⊥ ，则 = √ 2 2 = 2，
以 为坐标原点，以 , , 所在的直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 (0,0,2)， (1,2,0)， (0, 2,0)， (2,0,0)，
所以 = (1,2, 2), = (0, 2, 2), = (2,0, 2), = ( 2, 2,0)，
设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1)，则 ⊥ , ⊥ ，
= 0 2 2 = 0所以{ ，得{ ，令 = 1，则 = (1, 1,1)，
= 0 2 2 = 0
设 与平面 所成角的角为 ，
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所以 = |cos ,
| | 1 2 2 √ 3
| = = | | = ．
| || | √ 3×3 3
(3)假设在棱 上存在点 ，使得平面 与平面 所成角的余弦值为√ 5，
5
由(2)可知， (0,2,0)， (1,2,0)， (0,0,2)，
所以 = (0, 2,2), = (0, 4,0)，
设 = = ( , 2 , 2 ), ∈ [0,1]．
所以 = + = ( , 2 2,2 2 )
设平面 的法向量为 = ( 2, 2, 2)，则 ⊥ ， ⊥ ，
= 0 + (2 2) + (2 2 ) = 0所以由{ ，得{ ，
= 0 4 = 0
令 = ，则 = (2 2,0, )，
由题知，平面 的一个法向量为 = (0,0,2)，
设平面 与平面 的夹角为 ．
2 √ 5
所以 = |cos ,
| = | | = | | =
| || | 2 2 5 ， √ (2 2) + ×2
1 1
所以 = ，即 = ．
2 2
18.【答案】解：(1)由 + 1 = 2 1， ≥ 2，
1 = 1， 2 + 1 = 3，可得 2 = 2，
由 + 1 = 2 1，可得 +1 + = 2 + 1，
两式相减得 +1 1 = 2， ≥ 2，
所以数列{ }的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列，
2 1 = 1 + 2( 1) = 2 1， 2 = 2 + 2( 1) = 2 ，
则 = 1 + ( 1) × 1 = ．
, = 2 1( ∈ )
(2)由题意 = { ， 2 , = 2 ( ∈ )
所以 2 1 = ( 1 + 3 + + 2 1) + ( 2 + 4 + + 2 2)
= (1 + 3 + + 2 1) + (22 + 24 + + 22 2)
(1+2 1) 4×(1 4 1) 4 4
= + = 2 + ．
2 1 4 3
1 1 1
(3)由(1)知 = ，则 2024 = 1 + + + + ， √ 2 √ 3 √ 2024
1 1
由√ + 1 √ = > ， ∈ ，
√ +1+√ 2√ +1
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1
得 < 2(√ + 1 √ )， ∈ ，
√ +1
1 1 1
故 < 2(√ 2 1)， < 2(√ 3 √ 2)， ， < 2(√ 2024 √ 2023)，
√ 2 √ 3 √ 2024
1 1 1
以上各式相加，得 + + + < 2(√ 2024 1) < 2(45 1) = 88，
√ 2 √ 3 √ 2024
1 1 1
则1 + + + + < 89；
√ 2 √ 3 √ 2024
1 1 1
又由√ + 1 √ = < ， ∈ ，得 > 2(√ + 1 √ )， ∈ ，
√ +1+√ 2√ √
1 1
故1 > 2(√ 2 1)， > 2(√ 3 √ 2)， ， > 2(√ 2025 √ 2024)，
√ 2 √ 2024
1 1 1
以上各式相加，得1 + + + + > 2(√ 2025 1) = 2(45 1) = 88．
√ 2 √ 3 √ 2024
综上所述88 < 2024 < 89，则[ 2024] = 88．
√ 6
19.【答案】解：(1)因为双曲线 1的离心率 = ，虚轴在 轴上且长为2， 2
√ 6
=
所以{ 2 ，
2 = 2
2 + 2 = 2
解得 = √ 2， = 1， = √ 3，
2
则双曲线 的方程为 21 = 1； 2
√ 2
(2)因为双曲线 1的渐近线方程为 = ± ， 2
√ 2 √ 2
所以直线 的斜率 ∈ ( , )，
2 2
当 = 0时，由对称性，不妨取 1右顶点(√ 2, 0), ⊥ ，
点 在 轴上，妨取(0, √ 2)，
此时 = = √ 2，
1 1
则 2 + 2 = 1, = 2；
| | | |
√ 2 √ 2
当 ∈ ( , 0) ∪ (0, )时，
2 2
=
联立{ 2 ，
2 = 1
2
2
解得 2 = 2，
1 2
因为 ⊥ ，
1
所以直线 方程为 = ，

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1
=

联立{ 2 ，
2 2 + = 1
2
2
解得 2
2
= 2 ，
4 +1
1 1 1 1 1 1 1 1
所以 2 + 2 = 2 + 2 = 3 + 2 = 3 + 2
| | | | +
2 2
+
2 1 2 3
2
6
2 1
1 2 2 4 2+1
2 2 2
1 2 4 +1 2 +2
= 2 + 2 = 2 = 1，
2 +2 2 +2 2 +2
1 1
综上所述， 2 + 2为定值，定值为1，
| | | |
2 2 2 99 + 2
2 2 2
2+2 2 +2 1 9 2 +1 1
= + = 2 + 2 =
2
2 2 = 2 2 ，
1 2 4 +1 (1 2 )(4 +1) 2 2 (1 2 )(4 +1) 2
令2 2 + 1 = ∈ (1,2)，
2
2 +1 1
此时 2 2 = 2 = 1 ，
(1 2 )(4 +1) 2 +5 2 5 2( + )

因为 ∈ (1,2)，
1 5
所以 + ∈ (2, )，
2
1
所以 1 ∈ (1,+∞)，
5 2( + )

2
9 2 +1 1
可得 2 2 ∈ (4,+∞)， 2 (1 2 )(4 +1) 2
所以| |2 ∈ (4,+∞)，
解得| | ∈ (2,+∞)，
综上所述，| | ∈ [2,+∞)．
故| |最小值为2．
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