2025高考数学二轮复习-专题03导数及其应用（选填题）-专项训练（含解析）

2025高考数学二轮复习-专题03导数及其应用（选填题）-专项训练
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
考点1利用导数求函数单调性，极值最值 2024全国甲卷 Ⅰ卷 2023 Ⅱ卷 乙 甲 2022甲卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 乙卷 2021 甲卷 Ⅰ卷 2020Ⅰ卷 Ⅲ卷 构造函数利用导数求函数单调性从而进行比较大小，利用导数求函数的极值点以及最值问题收高考必考题型
考点2构造函数利用导数求单调性比较大小 2023甲卷 2022甲卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 2021乙卷 Ⅱ卷 2020ⅠⅡⅢ卷
考点3导数综合应用 2021上海卷 Ⅱ卷 2022天津卷 2023天津卷 2021Ⅰ卷 北京卷 零点含参问题的讨论是导数综合题型的重难点
考点01 利用导数求函数单调性，极值最值
单选题
1．（2024·全国·高考甲卷）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年全国新高考Ⅱ卷）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
3．（2023年全国高考乙卷数学（文）试题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023年全国高考甲卷数学（文）试题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
6．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2021年全国新高考Ⅰ卷）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020年全国高考Ⅰ卷）函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2020年全国高考Ⅲ卷）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
10．（2019年全国高考Ⅲ卷）已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
二 多选题
11 （2024·全国·高考Ⅰ卷）设函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
三 填空题
12．（2024·全国·高考Ⅰ卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
13．（2023·全国乙卷）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______.
14．（2022 全国乙卷）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
15．（2022年全国新高考Ⅰ卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
16．（2021·全国甲卷）曲线在点处的切线方程为__________．
17．（2021年全国新高考Ⅰ卷）函数的最小值为______.
三、双空题
18．（2022年全国高考Ⅱ卷）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
考点02 构造函数利用导数求单调性比较大小
一、单选题
1．（2023年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题）设，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021年全国高考Ⅱ卷数学试题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020年全国高考Ⅲ卷数学试题）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
6（2022·全国甲卷）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国乙卷）设，，．则（ ）
A． B． C． D．
8．（2020年全国新高考Ⅰ卷）若，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2020年全国高考Ⅱ卷）若，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2020年全国高考Ⅲ卷）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a考点03 导数综合应用
一、单选题
1．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）
A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值
C．存在是严格增函数 D．存在在处取到极小值
二、多选题
2．（2024·全国·高考Ⅱ卷）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
三 填空题
3．（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.
4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）函数的最小值为______.
5．（2023·天津·统考高考真题）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为_________．
6．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是______
参考答案与详细解析
考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势
考点1利用导数求函数单调性，极值最值 2024全国甲卷 Ⅰ卷 2023 Ⅱ卷 乙 甲 2022甲卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 乙卷 2021 甲卷 Ⅰ卷 2020Ⅰ卷 Ⅲ卷 构造函数利用导数求函数单调性从而进行比较大小，利用导数求函数的极值点以及最值问题收高考必考题型
考点2构造函数利用导数求单调性比较大小 2023甲卷 2022甲卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 2021乙卷 Ⅱ卷 2020ⅠⅡⅢ卷
考点3导数综合应用 2021上海卷 Ⅱ卷 2022天津卷 2023天津卷 2021Ⅰ卷 北京卷 零点含参问题的讨论是导数综合题型的重难点
考点01 利用导数求函数单调性，极值最值
单选题
1．（2024·全国·高考甲卷）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.
【详解】，
则，
即该切线方程为，即，
令，则，令，则，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.
故选：A.
2．（2023年全国新高考Ⅱ卷）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
3．（2023年全国高考乙卷数学（文）试题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.
【详解】，则，
若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，
令，解得或，
且当时，，
当，，
故的极大值为，极小值为，
若要存在3个零点，则，即，解得，故选：B.
4．（2023年全国高考甲卷数学（文）试题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.
【详解】设曲线在点处的切线方程为，
因为，所以，
所以所以所以曲线在点处的切线方程为.故选：C
5．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B.
6．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.
综上所述，成立.故选：D
7．（2021年全国新高考Ⅰ卷）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.
8．（2020年全国高考Ⅰ卷）函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B.
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
9．（2020年全国高考Ⅲ卷）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
【答案】D
【详解】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.故选：D.
10．（2019年全国高考Ⅲ卷）已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
【详解】详解：
，
将代入得，故选D．
【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
二 多选题
11 （2024·全国·高考Ⅰ卷）设函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】ACD
【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D.
【详解】对A，因为函数的定义域为R，而，
易知当时，，当或时，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；
对B，当时，，所以，
而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；
对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，
所以，即，正确；
对D，当时，，
所以，正确；
故选：ACD.
三 填空题
12．（2024·全国·高考Ⅰ卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
【答案】
【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.
【详解】由得，，
故曲线在处的切线方程为；
由得，
设切线与曲线相切的切点为，
由两曲线有公切线得，解得，则切点为，
切线方程为，
根据两切线重合,所以，解得.
故答案为：
13．（2023·全国乙卷）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______.
【答案】
【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.
故答案为：.
14．（2022 全国乙卷）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
【答案】
【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为，所以方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，即图象在上方
当时，，即图象在下方
，图象显然不符合题意，所以．
令，则，
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，故切线方程为，
则有，解得，则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
设函数，则，
若，则在上单调递增，此时若，则在
上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数
且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；
若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.
15．（2022年全国新高考Ⅰ卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【答案】
【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
16．（2021·全国甲卷）曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
17．（2021年全国新高考Ⅰ卷）函数的最小值为______.
【答案】1
【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
【详解】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
三、双空题
18．（2022年全国高考Ⅱ卷）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【答案】
【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求
分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
解： 因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；因为是偶函数，图象为：
所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.
[方法三]：因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；.
考点02 构造函数利用导数求单调性比较大小
一、单选题
1．（2023年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
2．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
3．（2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
4．（2021年全国高考Ⅱ卷数学试题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.
故选：C.
5．（2020年全国高考Ⅲ卷数学试题）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
6（2022·全国甲卷）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
[方法三]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
7．（2021·全国乙卷）设，，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0所以在上单调递增，
所以，即，即；
令，则，，
由于，在x>0时，，
所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b综上，，
故选：B.
[方法二]：
令
，即函数在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数在（1，3)上单调递增
综上，，
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
8．（2020年全国新高考Ⅰ卷）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案.
【详解】设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B.
【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.
9．（2020年全国高考Ⅱ卷）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
10．（2020年全国高考Ⅲ卷）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a【答案】A
【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.
【详解】由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.
考点03 导数综合应用
一、单选题
1．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）
A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值
C．存在是严格增函数 D．存在在处取到极小值
【答案】B
【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数即可判断.
【详解】对于A，若存在 是偶函数, 取 ,
则对于任意 , 而 , 矛盾, 故 A 错误；
对于B，可构造函数满足集合，
当时，则，当时，，当时，，
则该函数的最大值是，则B正确；
对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误；
对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误；
故选：B.
二、多选题
2．（2024·全国·高考Ⅱ卷）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
【答案】AD
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.
【详解】A选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，
此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
三 填空题
3．（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.
【详解】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）函数的最小值为______.
【答案】1
【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
【详解】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
5．（2023·天津·统考高考真题）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为_________．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围．
【详解】（1）当时，，
即，
若时，，此时成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即且；
若方程有一根为，则，解得：且；
若时，，此时成立．
（2）当时，，
即，
若时，，显然不成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即；
若方程有一根为，则，解得：；
若时，，显然不成立；
综上，
当时，零点为，；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，零点为．
所以，当函数有两个零点时，且．
故答案为：．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．
6．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．