第二章 二次函数与一元二次方程、不等式单元卷（含解析）-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四次周测　二次函数与一元二次方程、不等式
测试时间：120分钟　满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．不等式>0的解集为(　　)
A． B．，或
C． D．，或
2．若关于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≤0的解集为 ，则实数m满足(　　)
A．m≤－2或m≥2 B．－2C．m<－2或m >2 D．－2≤m≤2
3．已知a＋c＝0且a≠c，则y＝ax2＋bx＋c的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．不能确定
4．设x∈R，则“x>1”是“2x2－x－1>0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C.充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．要使关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1大且另一根比1小，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|－1C．{a|a<－2} D．{a|a>1}
6．若关于x的不等式x2－x＋2m<0的解集中恰有2个整数，则实数m的取值范围为(　　)
A．{m|－1≤m<0，或4B．{m|－1≤m<0，或2C．{m|－2D．{m|－27．某工厂利用不超过64 000元的预算资金拟建一长方体状的仓库，为节省成本，仓库依墙角而建(即仓库有两个相邻的侧面为墙面，无需材料)，要求该仓库高度恒定，不靠墙的两个侧面按照其底边的长度来计算造价，造价为每米1 600元，仓库顶部按面积计算造价，造价为每平方米600元．在预算允许的范围内，仓库占地面积最大为(　　)
A.36米2 B．48米2
C．56米2 D．64米2
8．已知对任意x∈{x|2≤x≤3}，y∈{y|3≤y≤6}，不等式mx2－xy＋y2≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．{m|m≤6} B．{m|－6≤m≤0}
C．{m|m≥0} D．{m|0≤m≤6}
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．
9．已知a∈R，关于x的不等式>0的解集可能是(　　)
A.{x|1a}
C．{x|x1} D．
10．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－3，或x≥4}，则下列说法正确的是(　　)
A．a>0
B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－12}
C．a＋b＋c>0
D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为{x|x<－，或x>}
11．已知关于x的不等式x2－ 4ax＋3a2<0(a<0)的解集为{x|x1A．x1x2＋x1＋x2<0的解集为{a|－B．x1x2＋x1＋x2的最小值为－
C．x1＋x2＋的最大值为－
D．x1＋x2＋的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若关于x的不等式x2－4x－2－a≤0有解，则实数a的取值范围是________________．
13．某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数．若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为______________元．
14．设关于x的不等式ax2＋8(a＋1)x＋7a＋16≥0(a∈Z)只有有限个整数解，且0是其中一个解，则a的取值是________，所有不等式的全部整数解的和为________．(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2024·广东中山段考)已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式ax2＋ax－6<0的解集为B.
(1)若a＝1时，求A∩B；
(2)若对 x∈R，ax2＋ax－6<0恒成立，求a的取值范围．
16．(15分)已知关于x的不等式(ax －1)(x＋1)>0.
(1)若此不等式的解集为{x|－2(2)若a∈R，求此不等式的解集．
17．(15分)已知关于x的不等式x2＋ax＋a≥0对任意x∈R恒成立．
(1)求实数a的取值集合M；
(2)已知非空集合N＝{x|m－118．(17分)某动物园决定在熊猫馆原来的矩形居室ABCD的基础上，扩建成一个更大的矩形居室AMPN，使活动的空间更大．为不影响现有的生活环境，建造时要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，如图所示．已知AB＝6 m，AD ＝4 m.设DN＝x m，矩形AMPN的面积为y m2.
(1)写出y关于x的表达式，并求出x为多少时，y有最小值；
(2)要使矩形AMPN的面积大于128 m2，则DN的长应在什么范围内？
19．(17分)已知集合A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|x2＋px＋q≤0}．
(1)若A∪B＝R，且A∩B＝{x|－2≤x<－1}，求实数p及q的值；
(2)在(1)的条件下，若关于x的不等式组没有实数解，求实数a的取值范围；
(3)若B＝{x|－3≤x≤－1}，且关于x的不等式kx2＋kx＋pq≤0的解集为 ，求实数k的取值范围．
第四次周测　二次函数与一元二次方程、不等式
1．B　[由一元二次不等式>0得x<－3或x>2，所以不等式>0的解集为，或.]
2．B　[由于关于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≤0的解集为 ，所以Δ＝m2－4＝(m＋2)(m－2) <0，解得－23．C　[因为a＋c＝0且a≠c，所以a，c异号，所以对方程ax2＋bx＋c＝0，有Δ＝b2－4ac>0，因此二次函数y＝ax2＋bx＋c有2个零点，故选C.]
4．A　[当x>1时，2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)>0，即“x>1”是“2x2－x－1>0”的充分条件，而当2x2－x－1>0时，解得x<－或x>1，即“x>1”不是“2x2－x－1>0”的必要条件，所以“x>1”是“2x2－x－1>0”的充分不必要条件．]
5．B　[由题意，设y＝x2＋(a2－1)x＋a－2，要使得关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1大且另一根比1小，则根据二次函数的图象与性质，知需满足x＝1时，y<0，即a2＋a－2<0，即(a－1)(a＋2)<0，解得－26．A　[由x2－x＋2m<0，
得<0，
当m＝2时，不等式的解集为 ，不符合题意舍去，
当m<2时，不等式的解集为，此时若有2个整数解，则需－1≤m<0，
当m>2时，不等式的解集为，此时若有2个整数解，则需4综上，实数m的取值范围为－1≤m<0，或.]
7．D　[设不靠墙的两个侧面底边的长度分别为x米，y米，由题意有64 000≥1 600(x＋y)＋600xy≥3 200＋600xy，当且仅当x＝y时取等号．令＝t>0，则600t2＋3 200t －64 000≤0 200(3t＋40)(t－8)≤0 08．C　[mx2－xy＋y2≥0对任意x∈{x|2≤x≤3}，y∈{y|3≤y≤6}恒成立，
∴m≥－对任意x∈{x|2≤x≤3}，y∈{y|3≤y≤6}恒成立．∵2≤x≤3，∴≤≤，又3≤y≤6，则1≤≤3.令t＝，1≤t≤3，则原不等式等价于对于1≤t≤3，m≥t－t2恒成立．∵y＝t－t2的图象开口向下，对称轴为t＝，∴若1≤t≤3，则当t＝1时，ymax＝1－12＝0，故实数m的取值范围是{m|m≥0}．故选C.]
9．BCD　[当a<0时，不等式等价于(x－1)(x－a)<0，解得a0，解得x>1或x1时，不等式等价于(x－1)(x－a)>0，解得x>a或x<1.故选BCD.]
10．ABD　[由题意知，－3和4是方程ax2＋ bx＋c＝0的两根，且a>0，故选项A正确；由上可知，即，所以不等式bx＋c>0可化为－ax－12a>0，即x＋12<0，解得x<－12，故选项B正确；因为1 {x|x≤－3，或x≥4}，所以当x＝1时，有a＋b＋c<0，故选项C错误；不等式cx2 －bx＋a<0可化为－12ax2＋ax＋a<0，即12x2－x－1>0，解得x<－或x>，故选项D正确．故选ABD.]
11．ABC　[不等式x2－4ax＋3a2<0(a<0)的解集为{x|x112．[解析]　若关于x的不等式x2－4x－2－a≤0有解，则对应方程的Δ＝16＋4(2＋a)≥0，解得a≥－6.
[答案]　{a|a≥－6}
13．[解析]　设每个床位的定价应为x元，则每晚上有200－＝250－x张床位有人入住，所以旅馆每晚的收入为x＝－x2＋250x元，
因为要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，
所以－x2＋250x>15 400，即x2－250x＋15 400<0，解得110因为x是10的整数倍，所以每个床位的定价应为120或130元．
[答案]　120或130
14．[解析]　若a＝0，则原不等式为8x＋16≥0，即x≥－2，显然原不等式的整数解有无数个，不符合题意，故a≠0.设y＝ax2＋8(a＋1)x＋7a＋16(a≠0)，其图象为抛物线，由题意，此抛物线开口向下，所以a<0.因为0为其中一个解，所以7a＋16≥0，即a≥－，所以－≤a<0，又a∈Z，所以a＝－2或a＝－1.若a＝－2，则不等式为－2x2－8x＋2≥0，解得－2－≤x≤－2，因为x为整数，所以x＝－4，－3，－2，－1，0，此时整数解的和为－10；若a＝－1，则不等式为－x2＋9≥0，解得－3≤x≤3，因为x为整数，所以x＝－3，－2，－1，0，1，2，3，此时整数解的和为0.所以所有不等式的全部整数解的和为－10.
[答案]　－2或－1　－10
15．[解]　(1)A＝{x|－1∴A∩B＝{x|－1(2)当a＝0时，－6＜0恒成立，符合题意；
当a≠0时，，得，得－24＜a＜0，
综上，a的取值范围是(－24，0].
16．[解]　(1)由不等式(ax－1)(x＋1)>0的解集为{x|－2可得－2，－1为方程(ax －1)(x＋1)＝0(a<0)的两根，
可得＝－2，即a＝－.
(2)当a＝0时，原不等式即为x＋1<0，解得x<－1，解集为{x|x<－1}．
当a>0时，原不等式可化为(x＋1)>0，解集为.
当a<0时，原不等式可化为(x＋1)<0，
①若a＝－1，可得(x＋1)2<0，解集为 ；
②若a<－1，即>－1，可得解集为；
③若－1综上所述，当a＝0时，解集为{x|x<－1}；当a>0时，解集为；当a＝－1时，解集为 ；当a<－1时，解集为{x|－117．[解]　(1)∵关于x的不等式x2＋ax＋a≥0对任意x∈R恒成立，
∴对应方程的Δ＝a2－4a≤0，解得M＝{a|0≤a≤4}．
(2)由(1)得 RM＝{x|x<0，或x>4}，
若“ x∈N，都有x∈ RM成立”为真命题，
则N RM.
又集合N非空，∴m－1<3m，即m>－，
∴3m≤0或m－1≥4，解得－综上可得，实数m的取值范围为.
18．[解]　(1)由题图知CD∥AM，
∴＝，即＝，
∴AM＝，
∴y＝·(x＋4)＝
＝6(x>0).
由基本不等式可知x>0时，x＋≥2＝8，当且仅当x＝，即x＝4时，ymin＝6×(8＋8)＝96.
(2)∵矩形AMPN的面积大于128 m2，
∴>128，化简得3x2－40x＋48>0，
解得012，
∴DN的长应在内．
19．[解]　(1)因为x2－2x－3>0，即(x－3)·(x＋1)>0，
解得x>3或x<－1，
所以集合A＝{x|x>3，或x<－1}．
因为A∪B＝R，A∩B＝{x|－2≤x<－1}，
所以集合B＝{x|－2≤x≤3}，因为集合B＝{x|x2＋px＋q≤0}，
所以x＝－2和x＝3是方程x2＋px＋q＝0的解，
则，解得p＝－1，q＝－6.
(2)因为p＝－1，q＝－6，
所以x2－x－6≤0，即(x－3)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤3，
故不等式组没有实数解，
即没有实数解，
故a≥3，实数a的取值范围为{a|a≥3}．
(3)因为B＝{x|－3≤x≤－1}，所以x＝－3和x＝－1是方程x2＋px＋q＝0的解，
则，解得p＝4，q＝3.
不等式kx2＋kx＋pq≤0，即x2＋kx＋12≤0，
因为x2＋kx＋12≤0的解集为 ，
所以，若k≠0，则，
解得0若k＝0，x2＋kx＋12≤0，即12≤0，解集为 .
综上所述，实数k的取值范围为{k|0≤k<4}．