新高考常见13类函数知识清单 学案（含答案）-2025届高三数学二轮复习

新高考必会13类函数
1、一次函数
(1)一次函数的概念
形如函数 叫作一次函数.其中x是自变量.
(2)一次函数的图象
(3)一次函数的性质
①定义域 ；
②单调性：当 时，一次函数在上单调递增；当 时，一次函数在上单调递减.
③与坐标轴的交点：与y轴交点为 ；与x轴交点为
二次函数
①二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝________________.
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为________.
(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
②二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)
定义域 ________
值域
对称轴 x＝________
顶点坐标 ________
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上是________函数；在上是________函数 在上是________函数；在上是________函数
反比例函数
(1)概念
一般地，如果两个变量之间的关系可以表示成 （为常数，≠0）的形式，那么称是的反比例函数.
(2)反比例函数的图象是双曲线.
(3)性质：
单调性：当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内，随的增大而 .
当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而 .
奇偶性：反比例函数是 .
幂函数
(1)幂函数的定义
当x为自变量而α为非零实数时，函数________叫作(α次)幂函数.其中x是自变量，α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在 上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点 和 ，且在 上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点 ，且在 上单调递减.
指数函数
(1) 指数函数的概念
在幂的表达式au中，如果让底数为常数而取指数为自变量x，则得到一类新的函数________ (x∈R),这叫作指数函数，其中a>0,且a≠1.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 ________
性质 过定点________，即x＝0时，y＝1
当x>0时，______； 当x<0时，______ 当x<0时，______； 当x>0时，______
在(－∞，＋∞)上是________ 在(－∞，＋∞)上是________
y＝ax与y=的图象关于y轴对称
对数函数
(1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫作对数函数，其中________是自变量，定义域是________.
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：________
值域：________
当x＝1时，y＝0，即过定点________
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在(0，＋∞)上是____________ 在(0，＋∞)上是____________
三角函数
①用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，________，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，______，，(2π，1).
②正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R __________
值域 __________ __________ R
最小正周期 __________ __________ __________
奇偶性 __________ __________ 奇函数
递增区间 __________ __________ __________
递减区间 __________ __________ 无
对称中心 __________ __________
对称轴方程 __________ __________ 无
常函数
(1)概念
常函数是指不论自变量如何变化，函数值都保持不变的函数.一般形式为（为常数）.
(2)图象
常函数的图象是一条平行于轴的直线.当时，这条直线在轴上的截距为.
(3)性质
单调性：常函数没有单调性，因为函数值不随自变量的变化而变化.既不是增函数也不是减函数.
值域和定义域：定义域是全体实数，值域是单元素集合{}.
周期性：常函数是周期函数，它以任意实数为周期的周期函数，无最小正周期.
9、一次分式函数
(1)定义：我们把形如y＝(a≠0，ad≠bc)的函数称为一次分式函数.
(2)图象
(3)性质
①定义域： ；值域 ；
②对称中心： ；
③渐近线方程：x＝－和y＝；
④单调性：当ad＞bc时，函数在区间(－∞，－)和上分别单调递减；
当ad＜bc时，函数在区间 和 上分别单调递增.
10、对勾函数y＝ax＋(a＞0，b＞0)
(1)性质
①奇偶性： ；
②单调性：
单增区间： ；
单减区间： ；
③渐近线：y＝ax和x＝0.
(2)图象
11、飘带函数y＝ax－(a＞0，b＞0)
(1)性质
①奇偶性： ；
②单调性：在 上单调递增；
③渐近线：x＝0.
(2)图象
12、高斯函数y＝[x]
(1)定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数.
(2)性质
①定义域： ；值域：
②不具有单调性、奇偶性、周期性.
(3)图象
13、狄利克雷函数D(x)＝的性质
(1)定义域 ；值域 .
(2)奇偶性： .
(3)周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期.
(4)无法画出函数的图象，但其图象客观存在.
注：以上13类函数解析式要记熟,图象要能随手画出,性质要能随口说出.
参考答案
1、一次函数
(1)一次函数的概念
形如函数 叫作一次函数.其中x是自变量.
(2)一次函数的图象
(3)一次函数的性质
①定义域 R ；
②单调性：当 时，一次函数在上单调递增；当 时，一次函数在上单调递减.
③与坐标轴的交点：与y轴交点为(0,),与x轴交点为（，0）
2、二次函数
①二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
②二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝
顶点坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数；在上是减函数
3、反比例函数
(1)概念
一般地，如果两个变量之间的关系可以表示成（为常数，≠0）的形式，那么称是的反比例函数.
(2)反比例函数的图象是双曲线.
>0 <0
性质：
单调性：当>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小.
当<0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大.
奇偶性：反比例函数是奇函数.
4、幂函数
(1)幂函数的定义
当x为自变量而α为非零实数时，函数y＝xα叫作(α次)幂函数.其中x是自变量，α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
5、指数函数
(1) 指数函数的概念
在幂的表达式au中，如果让底数为常数而取指数为自变量x，则得到一类新的函数y＝ax(x∈R),这叫作指数函数，其中a>0,且a≠1.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时，01； 当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
y＝ax与y＝的图象关于y轴对称
6、对数函数
(1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
7、三角函数
①用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π,－1)，，(2π，1).
②正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
8、常函数
(1)概念
常函数是指不论自变量如何变化，函数值都保持不变的函数.一般形式为（为常数）.图象
(2)常函数的图象是一条平行于轴的直线.当时，这条直线在轴上的截距为.
(3)性质
单调性：常函数没有单调性，因为函数值不随自变量的变化而变化.既不是增函数也不是减函数.
值域和定义域：定义域是全体实数，值域是单元素集合{}.
周期性：常函数是周期函数，它以任意实数为周期的周期函数，无最小正周期.
9、一次分式函数
(1)定义：我们把形如y＝(a≠0，ad≠bc)的函数称为一次分式函数.
(2)图象
(3)性质
①定义域：；值域；
②对称中心：；
③渐近线方程：x＝－和y＝；
④单调性：当ad＞bc时，函数在区间(－∞，－)和上分别单调递减；当ad＜bc时，函数在区间(－∞，－)和(－，＋∞)上分别单调递增.
10、对勾函数y＝ax＋(a＞0，b＞0)
(1)性质
①奇偶性：奇函数；
②单调性：
单增区间：，；
单减区间：，；
③渐近线：y＝ax和x＝0.
(2)图象
11、飘带函数y＝ax－(a＞0，b＞0)
(1)性质
①奇偶性：奇函数；
②单调性：在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增；
③渐近线：x＝0.
(2)图象
12、高斯函数y＝[x]
(1)定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数.
(2)性质
①定义域：R；值域：Z.
②不具有单调性、奇偶性、周期性.
(3)图象
13、狄利克雷函数D(x)＝的性质
(1)定义域R；值域{0，1}.
(2)奇偶性：偶函数.
(3)周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期.
(4)无法画出函数的图象，但其图象客观存在.