第十七章勾股定理（含答案）
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第十七章勾股定理
一、单选题
1．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，长方形门框高为2m，宽为1.5m，现有3块木板，尺寸如下：①号木板长3m，宽2.7m；②号木板长4m，宽2.4m；③号木板长2.8m，宽2.6m．能从这扇门通过的木板是（ ）
A．① B．② C．③号 D．都不能通过
3．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E，则CD等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
4．图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的正方形的边长为7cm，则图中A、B两个正方形的面积之和为（ ）
A．28cm2 B．42cm2 C．49cm2 D．63cm2
5．在下列由线段组成的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
6．如图，一根长5米的竹竿 斜靠在竖直的墙上，这时 为4米，若竹竿的顶端 沿墙下滑2米至 处，则竹竿底端 外移的距离 （ ）
A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．以上都不对
7．如果一个直角三角形的两条边长分别为 和 ，那么这个三角形的第三边长为（ ）
A． B． C． D． 或
8．下列说法中，正确的个数有（ ）
①如果是直角三角形，那么一定成立；
②在中，如果，那么一定不是直角三角形；
③两角及一边分别相等的两个三角形全等．
A．0 B．1 C．2 D．3
9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E，则CD等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
10．如图，把平面内一条数轴x绕点O逆时针旋转角（）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P是平面斜坐标系中任意一点，过点P作y轴的平行线交x轴于点A，过点P作x轴的平行线交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对为点P的斜坐标．在平面斜坐标系中，若，点P的斜坐标为，点G的斜坐标为，连接，则线段的长度是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知一个三角形的三边长分别为cm、3cm、2cm，则这个三角形的面积为 cm2．
12．如图，在数轴上点A表示实数．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知等边三角形ABC的顶点A的坐标是(1，)，则点C的坐标是 .
14．如图，，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为 ．
15．如图，快艇计划从A地到距离A地10海里的C地，先沿北偏东72°方向行驶8海里到达B地，再从B地行驶6海里到达C地，此时快艇位于B地的方向是 .
16．如图，有一圆柱体，它的高为20cm，底面半径为7cm。在圆柱的下底面A处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是 cm。（结果用带根号和π的式子表示）
三、计算题
17．如图，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的，若直角三角形的两条直角边长为，（），设小正方形的面积为，大正方形面积为．
（1）用含有，的代数式分别表示：______，______；（结果化简）
（2）若，，求的长．
18．数形结合是我们解决问题常用到的思想方法．
（1）观察发现：如图1，将两张正方形纸片A与三张正方形纸片B放在一起(不重叠无缝隙)，拼成一个宽为15的长方形，求正方形纸片A、B的边长．
（2）推理猜想：教材中我们可以运用拼图，用两种不同的求面积方法，导出一些结论，下面用两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成图2，试用不同的方法计算图2的面积，S=__________________，或者S= ____________________，经化简后，请写出边长为a、b、c的直角三角形三边的关系： ___________________________________．
（3）灵活应用：图3中，以边长a、b 、c的直角三角形三边向外作正方形，若，，则以b为边长作的正方形面积=_______________．
19．如图1，在平面直角坐标系中，已知．
（1）如图1，若点在轴负半轴，使，则点坐标为________；
（2）如图2，若点在第二象限，，请用含字母表示；
（3）如图3，若点，点在轴的负半轴上，满足，求点的坐标．
四、解答题
20．如图，矩形ABCD的长AD=9cm，宽AB=3cm，将其折叠，使点D与点B重合．
（1）求折叠后DE的长；
（2）求重叠部分△BEF的面积．
21．若直角三角形的边长分别是3，m，5．
（1）求m；
（2）求的值．
22．如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，若AB=3cm，BC=5cm，BF=6cm，问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？这时蜘蛛走过的路程是多少厘米？
23．两个顶角相等的等腰三角形．如果具有公共的顶角顶点，把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形，我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段．例如：如图1，△ABC中，，△ADE中，，且，连接DB，EC，则可证得，此时线段DB和线段EC就是一对“友好”线段．
（1）如图2，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，且．
①图中线段AE的“友好”线段是______；
②连接AD，若，，，求AE的长；
（2）如图3，△ABC是等腰直角三角形，，P是△ACB外一点，，，，求线段BP的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
2．【答案】B
【知识点】勾股定理
3．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
4．【答案】C
【知识点】勾股定理
5．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
6．【答案】A
【知识点】无理数的估值；勾股定理的应用
7．【答案】D
【知识点】勾股定理
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
9．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
10．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
12．【答案】-
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
13．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；点的坐标与象限的关系
14．【答案】（0，）
【知识点】点的坐标；勾股定理
15．【答案】北偏西18°
【知识点】钟面角、方位角；勾股定理的逆定理
16．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
17．【答案】（1），
（2）
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理
18．【答案】（1）9；6
（2）；；
（3）9
【知识点】勾股定理；勾股定理的证明；二元一次方程组的应用-几何问题
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】最简二次根式；坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
20．【答案】（1）折叠后DE的长为5cm；（2）重叠部分△BEF的面积为7.5cm2．
【知识点】勾股定理
21．【答案】（1）或
（2）或
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理
22．【答案】解：（1）如图（1）当蚂蚁从A出发先到EF上再到点G时∵BC=5cm，∴FG=BC=5cm，∴BG=5+6=11cm在Rt△ABG中AG===，∵>10（2）如图（2）当蚂蚁从A出发先到BF上再到点G时∵AB=3cm，BC=5cm∴AC=AB+BC=3+5=8cm∵BF=6cm，∴CG=BF=6cm在Rt△ABG中AG= = =10cm ∴第一种方案最近，这时蜘蛛走过的路程是10cm．
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
23．【答案】（1）解：①BD；
②如图，连接AD，
∵，
∴．
在△ABC中，，，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图，以C为直角顶点构造等腰直角三角形PCD，连接AD，过点D作交AP的延长线于点E．
由（1）可得．
在△PCD中，，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴，．
在△AED中，，，
∴．
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
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第十七章勾股定理
一、单选题
1．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，长方形门框高为2m，宽为1.5m，现有3块木板，尺寸如下：①号木板长3m，宽2.7m；②号木板长4m，宽2.4m；③号木板长2.8m，宽2.6m．能从这扇门通过的木板是（ ）
A．① B．② C．③号 D．都不能通过
3．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E，则CD等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
4．图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的正方形的边长为7cm，则图中A、B两个正方形的面积之和为（ ）
A．28cm2 B．42cm2 C．49cm2 D．63cm2
5．在下列由线段组成的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
6．如图，一根长5米的竹竿 斜靠在竖直的墙上，这时 为4米，若竹竿的顶端 沿墙下滑2米至 处，则竹竿底端 外移的距离 （ ）
A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．以上都不对
7．如果一个直角三角形的两条边长分别为 和 ，那么这个三角形的第三边长为（ ）
A． B． C． D． 或
8．下列说法中，正确的个数有（ ）
①如果是直角三角形，那么一定成立；
②在中，如果，那么一定不是直角三角形；
③两角及一边分别相等的两个三角形全等．
A．0 B．1 C．2 D．3
9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E，则CD等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
10．如图，把平面内一条数轴x绕点O逆时针旋转角（）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P是平面斜坐标系中任意一点，过点P作y轴的平行线交x轴于点A，过点P作x轴的平行线交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对为点P的斜坐标．在平面斜坐标系中，若，点P的斜坐标为，点G的斜坐标为，连接，则线段的长度是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知一个三角形的三边长分别为cm、3cm、2cm，则这个三角形的面积为 cm2．
12．如图，在数轴上点A表示实数．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知等边三角形ABC的顶点A的坐标是(1，)，则点C的坐标是 .
14．如图，，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为 ．
15．如图，快艇计划从A地到距离A地10海里的C地，先沿北偏东72°方向行驶8海里到达B地，再从B地行驶6海里到达C地，此时快艇位于B地的方向是 .
16．如图，有一圆柱体，它的高为20cm，底面半径为7cm。在圆柱的下底面A处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是 cm。（结果用带根号和π的式子表示）
三、计算题
17．如图，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的，若直角三角形的两条直角边长为，（），设小正方形的面积为，大正方形面积为．
（1）用含有，的代数式分别表示：______，______；（结果化简）
（2）若，，求的长．
18．数形结合是我们解决问题常用到的思想方法．
（1）观察发现：如图1，将两张正方形纸片A与三张正方形纸片B放在一起(不重叠无缝隙)，拼成一个宽为15的长方形，求正方形纸片A、B的边长．
（2）推理猜想：教材中我们可以运用拼图，用两种不同的求面积方法，导出一些结论，下面用两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成图2，试用不同的方法计算图2的面积，S=__________________，或者S= ____________________，经化简后，请写出边长为a、b、c的直角三角形三边的关系： ___________________________________．
（3）灵活应用：图3中，以边长a、b 、c的直角三角形三边向外作正方形，若，，则以b为边长作的正方形面积=_______________．
19．如图1，在平面直角坐标系中，已知．
（1）如图1，若点在轴负半轴，使，则点坐标为________；
（2）如图2，若点在第二象限，，请用含字母表示；
（3）如图3，若点，点在轴的负半轴上，满足，求点的坐标．
四、解答题
20．如图，矩形ABCD的长AD=9cm，宽AB=3cm，将其折叠，使点D与点B重合．
（1）求折叠后DE的长；
（2）求重叠部分△BEF的面积．
21．若直角三角形的边长分别是3，m，5．
（1）求m；
（2）求的值．
22．如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，若AB=3cm，BC=5cm，BF=6cm，问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？这时蜘蛛走过的路程是多少厘米？
23．两个顶角相等的等腰三角形．如果具有公共的顶角顶点，把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形，我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段．例如：如图1，△ABC中，，△ADE中，，且，连接DB，EC，则可证得，此时线段DB和线段EC就是一对“友好”线段．
（1）如图2，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，且．
①图中线段AE的“友好”线段是______；
②连接AD，若，，，求AE的长；
（2）如图3，△ABC是等腰直角三角形，，P是△ACB外一点，，，，求线段BP的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
2．【答案】B
【知识点】勾股定理
3．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
4．【答案】C
【知识点】勾股定理
5．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
6．【答案】A
【知识点】无理数的估值；勾股定理的应用
7．【答案】D
【知识点】勾股定理
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
9．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
10．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
12．【答案】-
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
13．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；点的坐标与象限的关系
14．【答案】（0，）
【知识点】点的坐标；勾股定理
15．【答案】北偏西18°
【知识点】钟面角、方位角；勾股定理的逆定理
16．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
17．【答案】（1），
（2）
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理
18．【答案】（1）9；6
（2）；；
（3）9
【知识点】勾股定理；勾股定理的证明；二元一次方程组的应用-几何问题
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】最简二次根式；坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
20．【答案】（1）折叠后DE的长为5cm；（2）重叠部分△BEF的面积为7.5cm2．
【知识点】勾股定理
21．【答案】（1）或
（2）或
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理
22．【答案】解：（1）如图（1）当蚂蚁从A出发先到EF上再到点G时∵BC=5cm，∴FG=BC=5cm，∴BG=5+6=11cm在Rt△ABG中AG===，∵>10（2）如图（2）当蚂蚁从A出发先到BF上再到点G时∵AB=3cm，BC=5cm∴AC=AB+BC=3+5=8cm∵BF=6cm，∴CG=BF=6cm在Rt△ABG中AG= = =10cm ∴第一种方案最近，这时蜘蛛走过的路程是10cm．
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
23．【答案】（1）解：①BD；
②如图，连接AD，
∵，
∴．
在△ABC中，，，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图，以C为直角顶点构造等腰直角三角形PCD，连接AD，过点D作交AP的延长线于点E．
由（1）可得．
在△PCD中，，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴，．
在△AED中，，，
∴．
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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