2015学年第二学期普陀区高三数学质量调研卷（文理合卷）

2015学年第二学期普陀区高三数学质量调研卷
2016.4
考生注意:
答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.
本试卷共有23题，满分150分，考试时间120分钟.
本试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸相应位置，本卷上的任何解答都不作评分依据.
填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1. 若集合，，则 .
2. 若函数的反函数为，则不等式的解集为 .
3.【理科】若且是第二象限角，则 .
【文科】【理科】若且是第二象限角，则 .
4. 若函数是定义在R上的奇函数，且满足，则 .
5. 在的展开式中，其常数项的值为 .
6.若函数，，则函数的单调递增区间为 .
7.【理科】设是曲线（为参数）上的一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹的普通方程为 .
【文科】设是曲线上的一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹
方程为 .
8.【理科】在极坐标系中，为极点，若，，则△的面积为 .
【文科】不等式组所表示的区域的面积为 .
9.【理科】袋中装有只大小相同的球，编号分别为，现从该袋中随机地取出只，被取出的球
中最大的号码为，则 .
【文科】袋中装有只大小相同的球，编号分别为，若从该袋中随机地取出只，则被取出的球
的编号之和为奇数的概率是 （结果用最简分数表示）.
10．若函数（），则方程的解 .
11.某同学用球形模具自制棒棒糖.现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器（底面半径为，高为），共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为 （损耗忽略不计）.
12. 如图所示，三个边长为的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点，记
（），则 .
13．设函数，记，若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是 .
14. 已知，从集合中选出（,）个数，使之同时满足下面两个条件：①； ②（），则称数组为从个元素中选出个元素且限距为的组合，其组合数记为. 例如根据集合可得.给定集合，可得 .
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每 ( http: / / www.21cnjy.com )题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15. 若、表示两条直线，表示平面，下列命题中的真命题为（ ）
（A）若，，则 （B）若，，则
（C）若，，则 （D）若，，则
16.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于、两点，且这两点的横坐标之和为，则满足条件的直线（ ）
（A）有且只有一条 （B）有两条 （C）有无穷多条 （D）必不存在
17.若，则“”是“”成立的 条件.（ ）
（A）充分非必要 （B）必要非充分 （C）充要 （D）既非充分又非必要
18. 对于正实数，记是满足下列条件的函数构成的集合：对于任意的实数且，都有成立.下列结论中正确的是（ ）
（A）若，则
（B）若且，则
（C）若，则
（D）若且，则
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.（本题满分12分）
【文科】在正四棱柱中，底面边长为，体积为，为的中点，
证明：与是异面直线，并求出它们所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.
【理科】在正四棱柱中，底面边长为，与底面所成的角的大小为，如果平面与底面所成的二面角是锐角，求出此二面角的大小（结果用反三角函数值）
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
【理科】已知函数
【文科】已知函数
（1）若，求函数的值域；
（2）设的三个内角所对的边分别为，若为锐角且，，，求的值.
21.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分，
某企业参加项目生产的工人为人，平均每人每年创造利润万元.根据现实的需要，从项目中调出人参与项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润万元（），项目余下的工人每人每年创造利润需要提高
（1）若要保证项目余下的工人创造的年总利润不低于原来名工人创造的年总利润，则最多调出
多少人参加项目从事售后服务工作？
（2）在（1）的条件下，当从项目调出的人数不能超过总人数的时，才能使得项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数的取值范围.
22.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.
已知椭圆：的中心为，一个方向向量为的直线与只有一个公共点
（1）若且点在第二象限，求点的坐标；
（2）若经过的直线与垂直，求证：点到直线的距离；
（3）若点、在椭圆上，记直线的斜率为，且为直线的一个法向量，且
求的值.
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知各项不为零的数列的前项和为，且，（）
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设数列满足：，且，求正整数的值；
（3）若、均为正整数，且，，在数列中，，，求.
2015学年第二学期普陀区高三数学质量调研评分细则
填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1. 2. 3.【理科】 【文科】 4. 5. 6.，7..
8.【理科】.【文科】 9.【理科】【文科】 10．. 11.. 12.
13． 14.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每 ( http: / / www.21cnjy.com )题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
题号 15 16 17 18
答案 C B B C
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.（本题满分12分）
【文科】【解】根据已知条件,为正四棱柱的高
底面四边形是正方形，且面积为,
故由，可得.……2分
假设与不是异面直线，则它们在同一平面内
由于点、、在平面内，则点也在平
面内，这是不可能的，故与是异面直线.…………5分
取的中点为，连接,,所以,或其补角，即为异面直线
与所成的角.……7分
在，,,,……9分
由余弦定理得，,即，…11分
所以异面直线与所成的角的大小为.……12分
【理科】【解】根据题意，可得底面，
所以是在平面上的射影，故即为直线与
底面所成的角，即.……2分
在中，……3分
以为坐标原点，以射线所在的直线分别为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
由于平面，故是平面的一个法向量，且……5分
,,,故,……7分
设是平面的一个法向量,
所以,即,
不妨取,则,即……9分
设平面与底面所成的二面角为,则
,
即……11分
所以平面与底面所成的二面角大小为.……12分
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
20.【解】（1）
…………2分
由得，，…………4分
，所以函数的值域为………6分
（2）由得，
又由得，，只有，故.…………8分
在中，由余弦定理得，,
故…………10分
由正弦定理得，，所以
由于，所以 …………12分
……14分
21.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分，
【解】（1）根据题意可得，……3分
展开并整理得，……5分
解得，最多调出的人数为人……6分
（2），解得……7分
，对于任意的恒成立……9分
即
即对于任意的恒成立……10分
当时，不等式显然成立；
当时，……11分
令函数，可知函数在区间上是单调递减函数……12分
故，故……13分
故，所以实数的取值范围是……14分
22.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.
【解】（1）设直线：，根据题意可得：……1分
，消去并整理得……①…………2分
，解得，因为在第二象限，故，……3分
代入①得，解得，进而，故.……4分
（2）根据题意可得，直线：……5分
设直线：（），则……5分
消去得……6分
，解得，即……7分
且，，故……8分
点到直线的距离
当时，；……9分
当时，，当且仅当时等号成立.
综上①②可得，点到直线距离.……10分
（3）根据条件可得直线的斜率，……11分
由于，则直线的斜率的……12分
于是直线的方程为，由，可得……13分
设点，则……14分
同理……15分
……16分
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
【解】（1）当时，，，故；……1分
当时，
变形得，由于，所以……2分
所以，，，于是，.……3分
由于，所以数列是以1首项，1为公差的等差数列.…………4分
（2）由（1）得，所以……5分
，且，当时，…………7分
故数列是以为首项，为公比的等比数列.……8分
于是，即……9分
，故，解得.…………10分
（3）则由（1）得，，……12分
…………14分
…………16分
故.……18分