18.2.1矩形（含答案）
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18.2.1矩形
一、单选题
1．下列性质中，矩形不一定具有的是( )
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对边相等 D．四个角都是直角
2．如图，矩形中，对角线交于点．，则的长为（ ）
A．4 B．8 C． D．10
3．如图，折叠矩形，使点D落在点F处，已知，则的长（ ）
A．5cm B．2cm C．3cm D．4cm
4．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF的长为（ ）
A．1 B．2 C．1.5 D．2.5
5．如图，在 中， 均为斜边中线，则以 为边构成的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
二、填空题
6．如图，在中，，，，垂足为D，点E是的中点，连接，则的度数是
7．如图，，，分别是各边的中点，是高，如果，那么的长为 ．
8．如图，在中，，分别为，的中点，点F在线段上，且．若，，则的长为 ．
9．如图，在矩形中，，，点P在上，点Q在上，且，连接、，则的最小值为 ．
10．如图，在矩形ABCD中，已知AB=2，BC=4，点O、P分别是边AB、AD的中点，点H是边CD上的一个动点，连接OH，将四边形OBCH沿OH折叠，得到四边形OFEH，连接PE，则PE长度的最小值是 ．
11．已知直角三角形的两边长分别为5和12，则斜边上的中线长为 .
三、计算题
12．利用完全平方公式进行因式分解，是我们常用的一种公式法，我们有些时候也会应用完全平方公式进行二次根式的因式分解．
例如：；仿照例子完成下面的问题参考例题要把结果进行化简．
（1）若，求的值；
（2）如图，中，，，点为上的点，满足，求的长．
13．课本再现：
（1）如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为，．求的值．
如图1，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程；
知识应用：
（2）如图2，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合），过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长；
（3）如图3，当点是等边外一点时，过点分别作直线、、的垂线、垂足分别为点、、．若，请直接写出的面积．
14．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上，从点至点运动，连接，以为边作等边，点和点分别位于两侧．
（1）当点运动到点时，求的长；
（2）点在线段上从点至点运动过程中，求的最小值．
四、解答题
15．如图，在中，，是边上的中线，若，求的度数．
五、作图题
16．已知：如图，在中，．
求作：以为对角线的矩形．
作法：①以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线与交于点D；
②以点 A 为圆心，的长为半径画弧；再以点C 为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点E；
③连接．
四边形 为所求的矩形．
（1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)；
（2）完成以下证明．
证明：∵，
∴四边形为平行四边形( )．(填推理的依据)
由作图可知，平分，
又∵，
∴ ( )．(填推理的依据)
∴．
∴平行四边形是矩形( )．(填推理的依据)
六、综合题
17．如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作DE，使DE∥BC，DE交∠ACB的角平分线于点D，交∠ACB的外角平分线于点E.
（1）求证：OD=OE；
（2）当点O运动到何处时，四边形CDAE是矩形 请证明你的结论.
18．如图，在 ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线.
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB＝90°，AB＝6，求四边形BEDF的周长.
19．如图，某大厦离地米的处突发火情，消防车立即赶到距大厦米的处，升起云梯到发生火灾的处，已知云梯长米，求云梯底部距离地面的高度的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】矩形的性质
2．【答案】B
【知识点】矩形的性质
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质
4．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
6．【答案】
【知识点】直角三角形斜边上的中线
7．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
8．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
9．【答案】25
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
10．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质
11．【答案】6或
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
12．【答案】（1）或
（2）
【知识点】因式分解﹣公式法；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
13．【答案】（1）；（2）24；（3）
【知识点】勾股定理；矩形的性质
14．【答案】（1）2
（2）
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
16．【答案】（1）解：如图所示，四边形ADCE即为所求；
（2）证明：∵，
∴四边形为平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，
由作图可知，平分，
又∵，
∴ (等腰三角形”三线合一“)．
∴，
∴平行四边形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)，
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，等腰三角形”三线合一“，有一个角是直角的平行四边形是矩形.
【知识点】矩形的判定；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-三线合一
17．【答案】（1）解：∵DE∥BC
∴∠ODC=∠DCB
又CD平分∠ACB
∴∠OCD=∠DCB
∴∠ODC=∠OCD
∴OD=OC
同理，OE=OC
∴OD=OE
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CDAE是矩形.
∵O为AC的中点
∴OA=OC
又OD=OE
∴四边形CDAE是平行四边形
又∵CD平分∠ACB，CE平分∠ACF
∴∠OCD+∠OCE=90°
即∠DCE=90°
∴四边形CDAE是矩形
【知识点】等式的基本性质；等腰三角形的性质；矩形的判定；角平分线的概念
18．【答案】（1）证明：在 ABCD中，∵AD＝CB，AB＝CD，∠A＝∠C，
又∵E，F分别为边AB，CD的中点，
∴AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF
（2）解：∵∠ADB＝90°，
∴△ABD，△CDB都是直角三角形，
∵AE＝EB，CF＝DF，
∴DE＝BE＝ AB，BF＝DF＝ CD，
∴DE＝BE＝BF＝DF＝3，
∴四边形DEBF是菱形，周长为12.
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
19．【答案】米
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
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18.2.1矩形
一、单选题
1．下列性质中，矩形不一定具有的是( )
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对边相等 D．四个角都是直角
2．如图，矩形中，对角线交于点．，则的长为（ ）
A．4 B．8 C． D．10
3．如图，折叠矩形，使点D落在点F处，已知，则的长（ ）
A．5cm B．2cm C．3cm D．4cm
4．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=8，则EF的长为（ ）
A．1 B．2 C．1.5 D．2.5
5．如图，在 中， 均为斜边中线，则以 为边构成的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
二、填空题
6．如图，在中，，，，垂足为D，点E是的中点，连接，则的度数是
7．如图，，，分别是各边的中点，是高，如果，那么的长为 ．
8．如图，在中，，分别为，的中点，点F在线段上，且．若，，则的长为 ．
9．如图，在矩形中，，，点P在上，点Q在上，且，连接、，则的最小值为 ．
10．如图，在矩形ABCD中，已知AB=2，BC=4，点O、P分别是边AB、AD的中点，点H是边CD上的一个动点，连接OH，将四边形OBCH沿OH折叠，得到四边形OFEH，连接PE，则PE长度的最小值是 ．
11．已知直角三角形的两边长分别为5和12，则斜边上的中线长为 .
三、计算题
12．利用完全平方公式进行因式分解，是我们常用的一种公式法，我们有些时候也会应用完全平方公式进行二次根式的因式分解．
例如：；仿照例子完成下面的问题参考例题要把结果进行化简．
（1）若，求的值；
（2）如图，中，，，点为上的点，满足，求的长．
13．课本再现：
（1）如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为，．求的值．
如图1，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程；
知识应用：
（2）如图2，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合），过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长；
（3）如图3，当点是等边外一点时，过点分别作直线、、的垂线、垂足分别为点、、．若，请直接写出的面积．
14．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上，从点至点运动，连接，以为边作等边，点和点分别位于两侧．
（1）当点运动到点时，求的长；
（2）点在线段上从点至点运动过程中，求的最小值．
四、解答题
15．如图，在中，，是边上的中线，若，求的度数．
五、作图题
16．已知：如图，在中，．
求作：以为对角线的矩形．
作法：①以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线与交于点D；
②以点 A 为圆心，的长为半径画弧；再以点C 为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点E；
③连接．
四边形 为所求的矩形．
（1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)；
（2）完成以下证明．
证明：∵，
∴四边形为平行四边形( )．(填推理的依据)
由作图可知，平分，
又∵，
∴ ( )．(填推理的依据)
∴．
∴平行四边形是矩形( )．(填推理的依据)
六、综合题
17．如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作DE，使DE∥BC，DE交∠ACB的角平分线于点D，交∠ACB的外角平分线于点E.
（1）求证：OD=OE；
（2）当点O运动到何处时，四边形CDAE是矩形 请证明你的结论.
18．如图，在 ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线.
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB＝90°，AB＝6，求四边形BEDF的周长.
19．如图，某大厦离地米的处突发火情，消防车立即赶到距大厦米的处，升起云梯到发生火灾的处，已知云梯长米，求云梯底部距离地面的高度的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】矩形的性质
2．【答案】B
【知识点】矩形的性质
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质
4．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
6．【答案】
【知识点】直角三角形斜边上的中线
7．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
8．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
9．【答案】25
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
10．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质
11．【答案】6或
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
12．【答案】（1）或
（2）
【知识点】因式分解﹣公式法；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
13．【答案】（1）；（2）24；（3）
【知识点】勾股定理；矩形的性质
14．【答案】（1）2
（2）
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
16．【答案】（1）解：如图所示，四边形ADCE即为所求；
（2）证明：∵，
∴四边形为平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，
由作图可知，平分，
又∵，
∴ (等腰三角形”三线合一“)．
∴，
∴平行四边形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)，
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，等腰三角形”三线合一“，有一个角是直角的平行四边形是矩形.
【知识点】矩形的判定；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-三线合一
17．【答案】（1）解：∵DE∥BC
∴∠ODC=∠DCB
又CD平分∠ACB
∴∠OCD=∠DCB
∴∠ODC=∠OCD
∴OD=OC
同理，OE=OC
∴OD=OE
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CDAE是矩形.
∵O为AC的中点
∴OA=OC
又OD=OE
∴四边形CDAE是平行四边形
又∵CD平分∠ACB，CE平分∠ACF
∴∠OCD+∠OCE=90°
即∠DCE=90°
∴四边形CDAE是矩形
【知识点】等式的基本性质；等腰三角形的性质；矩形的判定；角平分线的概念
18．【答案】（1）证明：在 ABCD中，∵AD＝CB，AB＝CD，∠A＝∠C，
又∵E，F分别为边AB，CD的中点，
∴AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF
（2）解：∵∠ADB＝90°，
∴△ABD，△CDB都是直角三角形，
∵AE＝EB，CF＝DF，
∴DE＝BE＝ AB，BF＝DF＝ CD，
∴DE＝BE＝BF＝DF＝3，
∴四边形DEBF是菱形，周长为12.
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
19．【答案】米
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
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