18.2.3正方形（含答案）
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
18.2.3正方形
一、单选题
1．如图，在菱形中，对角线交于点，添加下列一个条件，能使菱形成为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为（ ）
A．30° B．20° C．15° D．10°
3．正方形 菱形 矩形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角
4．下列说法中正确的是（ ）
A．两条对角线垂直的四边形是菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
5．如图，在正方形 中， 是 的中点，点 在 上，且 ．则 的面积是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
6．如图，在矩形中，对角线相交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使矩形是正方形．
7．小颖将能够活动的菱形学具活动成为图1所示形状，并测得，.接着，她又将这个学其活动成为图2所示正方形，此时的长为 .
8．如图，正方形，矩形的顶点O，A，D，B在坐标轴上，点E是的中点，点P，F在函数图象上，则点F的坐标是 ．
9．如图，点E为正方形 对角线 上一点，且 ，则 的度数为 .
10．既是矩形又是菱形四边形是 ．
11．如图，点E在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是 ．
三、解答题
12．如图，对正方形纸片进行如下操作：
（i）过点任作一条直线与边相交于点（如图①），记；
（ii）作的平分线交边于点（如图②），记；
（iii）作的平分线交边于点（如图③），记；
按此作法从操作（2）起重复以上步骤，得到，现有如下结论：①当时，；②； ③当时，；④当时， ．其中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
四、计算题
13．在四边形中，．
（1）如图1，若，，，求四边形的面积；
（2）如图2，若，连接，，，直接写出的长度为______；
（3）如图3，在（2）的条件下，求四边形的周长______．
14．在菱形中，，点E、F分别为上一点．
（1）如图1，当，时，直接写出三条线段和之间满足的等量关系式为________；
（2）当时，
①如图2，若，若，，求的长；
②如图3，E为中点，交于点G，交于点H，和交于点O，若，，，则________．
五、作图题
15．如图，已知正方形，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使.（保留作图痕迹，不写作法）
六、综合题
16．《九章算术》勾股章[一五]问“勾股容方”描述了关于图形之间关系的问题：如图，知道一个直角三角形较短直角边（“勾”）与较长直角边（“股”）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得．（我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“所容正方形”）
其文如下：
问题：一个直角三角形两直角边的长分别为和，它的“所容正方形”的边长是多少？
答案：．
解：
（1）已知：如图，在中，，若，，求“所容正方形”的边长．
（2）应用（1）中的结论解决问题：如图，中山公园有一块菱形场地，其面积为，两条对角线长度之和为．现要在这个菱形场地上修建一个正方形花圃，并且要使正方形花圃的四个顶点分别落在菱形场地的四条边上，则该正方形花圃的边长为多少？
17．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由
18．如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）求∠AED的度数．
七、实践探究题
19．如图1，当时，与的面积相等．理由：因为，所以．又因为，所以．
（1）【类比探究】如图2，在正方形的右侧作等腰三角形，，连接，求的面积．
（2）【综合应用】如图3，在正方形的右侧作正方形，点B、C、E在同一直线上，，连接，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正方形的判定
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
3．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
4．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
5．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质
6．【答案】AC⊥BD（答案不唯一）
【知识点】正方形的判定
7．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；正方形的性质
8．【答案】
【知识点】正方形的性质
9．【答案】22.5°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正方形的性质
10．【答案】正方形
【知识点】正方形的判定
11．【答案】76
【知识点】勾股定理；正方形的性质
12．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质
13．【答案】（1），
（2）
（3）
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质
14．【答案】（1）
（2）；
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
15．【答案】解：如图，点即为所求.
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的性质
16．【答案】（1）正方形边长为；
（2）该正方形花圃的边长为．
【知识点】菱形的性质；正方形的判定与性质
17．【答案】（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形
（2）解：当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形
【知识点】正方形的判定
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，△ABC是等边三角形，
∴BA=BC=CD=BE=CE，∠ABC=∠BCD=90°，∠EBC=∠ECB=60°，
∴∠ABE=∠ECD=30°，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
（2）∵BA=BE，∠ABE=30°，
∴∠BAE= （180°﹣30°）=75°，
∵∠BAD=90°，
∴∠EAD=90°﹣75°=15°，同理可得∠ADE=15°，
∴∠AED=180°﹣15°﹣15°=150°．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质
19．【答案】（1）4
（2）8
【知识点】正方形的性质
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 9
18.2.3正方形
一、单选题
1．如图，在菱形中，对角线交于点，添加下列一个条件，能使菱形成为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为（ ）
A．30° B．20° C．15° D．10°
3．正方形 菱形 矩形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角
4．下列说法中正确的是（ ）
A．两条对角线垂直的四边形是菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
5．如图，在正方形 中， 是 的中点，点 在 上，且 ．则 的面积是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
6．如图，在矩形中，对角线相交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使矩形是正方形．
7．小颖将能够活动的菱形学具活动成为图1所示形状，并测得，.接着，她又将这个学其活动成为图2所示正方形，此时的长为 .
8．如图，正方形，矩形的顶点O，A，D，B在坐标轴上，点E是的中点，点P，F在函数图象上，则点F的坐标是 ．
9．如图，点E为正方形 对角线 上一点，且 ，则 的度数为 .
10．既是矩形又是菱形四边形是 ．
11．如图，点E在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是 ．
三、解答题
12．如图，对正方形纸片进行如下操作：
（i）过点任作一条直线与边相交于点（如图①），记；
（ii）作的平分线交边于点（如图②），记；
（iii）作的平分线交边于点（如图③），记；
按此作法从操作（2）起重复以上步骤，得到，现有如下结论：①当时，；②； ③当时，；④当时， ．其中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
四、计算题
13．在四边形中，．
（1）如图1，若，，，求四边形的面积；
（2）如图2，若，连接，，，直接写出的长度为______；
（3）如图3，在（2）的条件下，求四边形的周长______．
14．在菱形中，，点E、F分别为上一点．
（1）如图1，当，时，直接写出三条线段和之间满足的等量关系式为________；
（2）当时，
①如图2，若，若，，求的长；
②如图3，E为中点，交于点G，交于点H，和交于点O，若，，，则________．
五、作图题
15．如图，已知正方形，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使.（保留作图痕迹，不写作法）
六、综合题
16．《九章算术》勾股章[一五]问“勾股容方”描述了关于图形之间关系的问题：如图，知道一个直角三角形较短直角边（“勾”）与较长直角边（“股”）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得．（我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“所容正方形”）
其文如下：
问题：一个直角三角形两直角边的长分别为和，它的“所容正方形”的边长是多少？
答案：．
解：
（1）已知：如图，在中，，若，，求“所容正方形”的边长．
（2）应用（1）中的结论解决问题：如图，中山公园有一块菱形场地，其面积为，两条对角线长度之和为．现要在这个菱形场地上修建一个正方形花圃，并且要使正方形花圃的四个顶点分别落在菱形场地的四条边上，则该正方形花圃的边长为多少？
17．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由
18．如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）求∠AED的度数．
七、实践探究题
19．如图1，当时，与的面积相等．理由：因为，所以．又因为，所以．
（1）【类比探究】如图2，在正方形的右侧作等腰三角形，，连接，求的面积．
（2）【综合应用】如图3，在正方形的右侧作正方形，点B、C、E在同一直线上，，连接，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正方形的判定
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
3．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
4．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
5．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质
6．【答案】AC⊥BD（答案不唯一）
【知识点】正方形的判定
7．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；正方形的性质
8．【答案】
【知识点】正方形的性质
9．【答案】22.5°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正方形的性质
10．【答案】正方形
【知识点】正方形的判定
11．【答案】76
【知识点】勾股定理；正方形的性质
12．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质
13．【答案】（1），
（2）
（3）
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质
14．【答案】（1）
（2）；
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
15．【答案】解：如图，点即为所求.
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的性质
16．【答案】（1）正方形边长为；
（2）该正方形花圃的边长为．
【知识点】菱形的性质；正方形的判定与性质
17．【答案】（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形
（2）解：当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形
【知识点】正方形的判定
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，△ABC是等边三角形，
∴BA=BC=CD=BE=CE，∠ABC=∠BCD=90°，∠EBC=∠ECB=60°，
∴∠ABE=∠ECD=30°，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
（2）∵BA=BE，∠ABE=30°，
∴∠BAE= （180°﹣30°）=75°，
∵∠BAD=90°，
∴∠EAD=90°﹣75°=15°，同理可得∠ADE=15°，
∴∠AED=180°﹣15°﹣15°=150°．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质
19．【答案】（1）4
（2）8
【知识点】正方形的性质
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 9