18.2特殊的平行四边形（含答案）
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18.2特殊的平行四边形
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，点C为线段的中点，则的长等于（ ）
A． B． C．10 D．20
2．如图，矩形 ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O，∠AOB=60°，已知 AB=1，则该矩形的面积是（ ）
A． B．2 C． D．3
3． 如图，三位同学分别站在一个直角三角形的三个直角顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边的中点处，已知，则点到点的距离是（ ）
A． B． C． D．
4．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方形ABCD中，AB＝4，M为AD的中点，延长MD至E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（ ）
A．2﹣1 B．2﹣2 C．2+2 D．2﹣2
7．如图，在正方形中，点在边上，点在边上，连接、、，有，，若，求的长为（ ）
A．8 B． C． D．
8．如图所示，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上点在点左侧，且，则点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知正方形的面积为4．它的两个顶点B，D是反比例函数（，）的图象上两点，若点D的坐标是，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
10．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，分别取AC，BC边的中点D，E，连接DE，作EF∥AC得到四边形EDAF，它的周长记作C1；分别取EF，BE的中点D1，E1，连接D1E1，作E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2照此规律作下去，则C2019等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若菱形ABCD的边长为13cm，对角线BD长10cm，则菱形ABCD的面积是 cm2.
12．如图，在平行四边形ABCD中，过AC中点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF．只需添加一个条件即可证明四边形AECF 是菱形，这个条件可以是________（写出一个即可）．
13．将张宽为的小长方形按如图摆放在中，则的面积为 ．
14．如图，在 中， ，点 、 、 分别是三边的中点，且 ，则 的长度是 .
15．如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为 ．
16．如图，在长方形中，，，E、F分别是、上的一点，，将沿翻折得到，连接．若是以为腰的等腰三角形，则 ．
三、计算题
17．在直角三角形中，是边上的高，
（1）求的面积；
（2）求的长；
（3）若的边上的中线是，求出的面积．
18．【问题背景】
如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形进行如下操作：①分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点．
【问题提出】
在矩形中，，求线段的长．
【问题解决】
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接，如图2．经过推理、计算可求出线段的长；
方案二：将绕点旋转至处，如图3．经过推理、计算可求出线段的长．
请你任选其中一种方案求线段的长．
19．在菱形中，，点E、F分别为上一点．
（1）如图1，当，时，直接写出三条线段和之间满足的等量关系式为________；
（2）当时，
①如图2，若，若，，求的长；
②如图3，E为中点，交于点G，交于点H，和交于点O，若，，，则________．
四、解答题
20．已知直角三角形的两条直角边长分别为和．
（1）求这个三角形的面积和斜边长；
（2）求斜边上的高和中线的长．
21．某海上有一小岛，为了测量小岛两端A，B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图，已知B是CD的中点，E是BA延长线上的一点，且∠CED＝90°，测得AE＝16.6海里，DE＝60海里，CE＝80海里．
（1）求小岛两端A，B的距离．
（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求值．
22．如图，在矩形中，，，点P从点A沿边向点B以的速度移动；同时，点Q从点B沿边向点C以的速度移动．有一点到终点运动即停止．问：
（1）几秒后的面积等于；
（2）几秒后．
23．如图， 正方形 中， 对角线 相交于点 为 上一点， 延长 到点 ， 使 ， 连结 ．
（1） 求证： ．
（2）求证： 为直角三角形．
（3） 若 ， 正方形的边长为 6 ， 求 的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；直角三角形斜边上的中线
2．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的应用；矩形的性质
3．【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；线段的中点
7．【答案】C
【知识点】分母有理化；三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
8．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；正方形的性质
9．【答案】B
【知识点】正方形的性质
10．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
11．【答案】120
【知识点】菱形的性质
12．【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
13．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质
14．【答案】4cm
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
15．【答案】8 或2 或2
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质
16．【答案】或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；等腰三角形的概念
17．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；直角三角形斜边上的中线
18．【答案】线段的长为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
19．【答案】（1）
（2）；
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
20．【答案】（1）5；
（2）；
【知识点】二次根式的混合运算；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
21．【答案】（1）33.4海里
（2）
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
22．【答案】（1）1秒后或5秒后的面积等于
（2）秒或6秒后
【知识点】勾股定理；矩形的性质
23．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABD=∠CBD=45°，AB=CB．
在△ABE和△CBE，
∴△ABE≌△CBE(sAs)，
∴AE=CE．
（2）证明：∵AE=EN，AE=CE，
∴∠EAC=∠ECA，CE=EN，
∴∠ECN=∠N．
∵∠EAC+∠ECA+∠ECN+∠N=180°，
∴ACE+∠ECN=90°，即∠ACN=90°，
∴△CAN为直角三角形．
（3）解：∵正方形的边长为6，
∴．
∵∠ACN=90°，AN=，
∴．
∵OA=OC，AE=EN
∴OE=CN=：
∴OB=BD=，
当E在线段OD上时，
当E在线段OB上时，
综上， BE 的长为 或 ．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
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18.2特殊的平行四边形
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，点C为线段的中点，则的长等于（ ）
A． B． C．10 D．20
2．如图，矩形 ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O，∠AOB=60°，已知 AB=1，则该矩形的面积是（ ）
A． B．2 C． D．3
3． 如图，三位同学分别站在一个直角三角形的三个直角顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边的中点处，已知，则点到点的距离是（ ）
A． B． C． D．
4．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方形ABCD中，AB＝4，M为AD的中点，延长MD至E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（ ）
A．2﹣1 B．2﹣2 C．2+2 D．2﹣2
7．如图，在正方形中，点在边上，点在边上，连接、、，有，，若，求的长为（ ）
A．8 B． C． D．
8．如图所示，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上点在点左侧，且，则点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知正方形的面积为4．它的两个顶点B，D是反比例函数（，）的图象上两点，若点D的坐标是，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
10．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，分别取AC，BC边的中点D，E，连接DE，作EF∥AC得到四边形EDAF，它的周长记作C1；分别取EF，BE的中点D1，E1，连接D1E1，作E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2照此规律作下去，则C2019等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若菱形ABCD的边长为13cm，对角线BD长10cm，则菱形ABCD的面积是 cm2.
12．如图，在平行四边形ABCD中，过AC中点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF．只需添加一个条件即可证明四边形AECF 是菱形，这个条件可以是________（写出一个即可）．
13．将张宽为的小长方形按如图摆放在中，则的面积为 ．
14．如图，在 中， ，点 、 、 分别是三边的中点，且 ，则 的长度是 .
15．如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为 ．
16．如图，在长方形中，，，E、F分别是、上的一点，，将沿翻折得到，连接．若是以为腰的等腰三角形，则 ．
三、计算题
17．在直角三角形中，是边上的高，
（1）求的面积；
（2）求的长；
（3）若的边上的中线是，求出的面积．
18．【问题背景】
如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形进行如下操作：①分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点．
【问题提出】
在矩形中，，求线段的长．
【问题解决】
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接，如图2．经过推理、计算可求出线段的长；
方案二：将绕点旋转至处，如图3．经过推理、计算可求出线段的长．
请你任选其中一种方案求线段的长．
19．在菱形中，，点E、F分别为上一点．
（1）如图1，当，时，直接写出三条线段和之间满足的等量关系式为________；
（2）当时，
①如图2，若，若，，求的长；
②如图3，E为中点，交于点G，交于点H，和交于点O，若，，，则________．
四、解答题
20．已知直角三角形的两条直角边长分别为和．
（1）求这个三角形的面积和斜边长；
（2）求斜边上的高和中线的长．
21．某海上有一小岛，为了测量小岛两端A，B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图，已知B是CD的中点，E是BA延长线上的一点，且∠CED＝90°，测得AE＝16.6海里，DE＝60海里，CE＝80海里．
（1）求小岛两端A，B的距离．
（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求值．
22．如图，在矩形中，，，点P从点A沿边向点B以的速度移动；同时，点Q从点B沿边向点C以的速度移动．有一点到终点运动即停止．问：
（1）几秒后的面积等于；
（2）几秒后．
23．如图， 正方形 中， 对角线 相交于点 为 上一点， 延长 到点 ， 使 ， 连结 ．
（1） 求证： ．
（2）求证： 为直角三角形．
（3） 若 ， 正方形的边长为 6 ， 求 的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；直角三角形斜边上的中线
2．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的应用；矩形的性质
3．【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；线段的中点
7．【答案】C
【知识点】分母有理化；三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
8．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；正方形的性质
9．【答案】B
【知识点】正方形的性质
10．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
11．【答案】120
【知识点】菱形的性质
12．【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
13．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质
14．【答案】4cm
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
15．【答案】8 或2 或2
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质
16．【答案】或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；等腰三角形的概念
17．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；直角三角形斜边上的中线
18．【答案】线段的长为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
19．【答案】（1）
（2）；
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
20．【答案】（1）5；
（2）；
【知识点】二次根式的混合运算；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
21．【答案】（1）33.4海里
（2）
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
22．【答案】（1）1秒后或5秒后的面积等于
（2）秒或6秒后
【知识点】勾股定理；矩形的性质
23．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABD=∠CBD=45°，AB=CB．
在△ABE和△CBE，
∴△ABE≌△CBE(sAs)，
∴AE=CE．
（2）证明：∵AE=EN，AE=CE，
∴∠EAC=∠ECA，CE=EN，
∴∠ECN=∠N．
∵∠EAC+∠ECA+∠ECN+∠N=180°，
∴ACE+∠ECN=90°，即∠ACN=90°，
∴△CAN为直角三角形．
（3）解：∵正方形的边长为6，
∴．
∵∠ACN=90°，AN=，
∴．
∵OA=OC，AE=EN
∴OE=CN=：
∴OB=BD=，
当E在线段OD上时，
当E在线段OB上时，
综上， BE 的长为 或 ．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
2 / 9