4.已知向量a,b满足(a-2b)·(a+b)=3,且a=2b|=1,则a与b的夹角为
2024~2025学年第一学期高三年级期末学业诊断
A.30
B.60°
C.1209
D.150
数学试卷
5.已知等比数列{a}的公比为g,且a,>0,则“0
(考试时间：上午8：00一10：00)
说明：本试卷为闭卷笔客，答题时间120分钟，满分150分
A.充要条件
B.充分不必要条件
四
总分
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
题号
16
17
18
19
6.已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里贝有艰球，丁袋里这三种球都有.现从这四个
得分
袋子中随机抽取一个袋子，设事件A为“所抽袋子里有红球”，事件B为“所抽袋子里有白
球”，事件C为“所抽袋子里有黑球”，则下列说法正确的是
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
A.事件A与事件B互斥
是符合题目要求的)
B.事件A与事件B相互独立
1.已知集合A={1,2,3,4J,B={2,3,5,6,则A∩B=
C.事件A与串件BUC相互对立
A.{2,3}
B.{12,3.4,5,6}
D.事件A与事件B∩C相互独立
7.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线y=k(x-1)交该地物线于A,B两点，
C.I2,3]
D.I1,6]
若|AB|=8,则△0AB(0是坐标原点)的面积为
病
2.已知复数x满足(1+)z=2,则z的共轭复数为
A.2
B.2V2
A.-1+i
B.-1-i
C.4V1a
D.8v7
7
C.1+i
D.1-i
8.已知函数闲对于任意实数，y都有f闭+f0)=2(色生)（产2之），且f2)=-1,
3.椭圆
4+少=1的熊距为
则下列结论正确的是
A.2
B.2V3
A.f(-2)=1
B.f(0)=0
C.4
D.2V5
Cf)=1
D.f(3)=0
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高三数学第2页（共10页）
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9已知函数()=血2x+)0A,f(x)的最小正周期T=m
B回的图象关于点(-臣0)对称
Ca在(-行写)上道增
D在(-石石)上遥减
10.棱长为2的正方体ABGD-A,B,C,D,中，E为棱CC,的中点，F为正方形BCC,B,内一个
动点（包括边界），且A,F∥平面AD,E,则下列结论正确的是
A.动点F的轨迹的长度为V2
B.A,F的最小值为3V2
2
C三被锥A,-CC,F体积的最小值为号
D.当三棱锥A,-CC,F体积取最小值时，其外接球的表而积为14π
够
11.已知曲线C:x+y=1(meR,neR),点A,BEC,点O是坐标原点，则下列结论正确的是
A.当m=-1,n=1时，曲线C关于点(0,1)对称
B,当a=方a=时0A的最小值为1
1
C.当m=4,n=2时，曲线C围成的面积大于m
D.当m=4,n=4时，AB的最大值是2
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数学参考答案及评分建议
一.选择题：
A
0
B C A
B
B
二.选择题：
9.AB
10.ABD
11.ACD
三.填空题：
7
12.
13.2m2-n-4
14.108
25
四.解答题：
15.(1).A=2B,.sin A sin 2B =2sin Bcos B,
由正弦定理可得a=2 bcos B,
…2分
由余弦定理符a=2bc0sB=2b×+c2-b
-,∴(a2-b2-bcc-b)=0,
2ac
.b=c或a2=b2+bc,
…4分
当b=c时，则B=C,A=2B,.A=90°，B=C=45°，∴a2=bb+c)成立：
综上所述，a2=b(b+c)成立.
…6分
(2)由()得a2=bb+c0),a2-b2=bc,c=+=+1,
…8分
a-b bb
由正弦定理可得C=sn
+1=2cosB+1,
…10分
a-b sin B
A=2B,△ABC是锐角三角形，.30°√+1<2cosB+1<√5+1，C的取值范围为(W2+1,√5+).
…13分
a-b
11-ax
16.解(1)由题意得f'(x)=--a=
-,xE(0,十0，
…2分
当a≤0时，则/)=1->0，f在(0，+四上单增，的递增区间为(0，+四)：
当u>0时，令/)<0，则x>:令f)>0,则0“f)的递增区间为(0，)，递减区间为（仁，+w).
…6分
a
11
1
(2)当a>0时，令M=g-f-22a+a-r-ln-2xe0+,
22
则H)=a-+D,令<0，则00，则x>,
a
“()在(0，)上递减，在（亡，+o)上递增，h(x)≥h(白）=。
占=1-1+lna,…11分
a 2 2a
211
'1(a)=
+lna在(0，+∞)上递增，且t)=0,.a≥1，
22a
.实数a的取值范围为[山，+).
…15分
17.(1)证明：四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD,∴∠BAD+∠BCD=180P,
在△ABD中，BD2=AB2+AD2-2AB·AD-coS∠BAD=20-16cOS∠BAD,①
在△BCD中，BD2=BC2+CD2-2BC.CD.cos∠BCD=8+8cos∠BAD,②
①+②×2得3BD2=36,BD2=12,AB2=AD2+BD2=16,.AD⊥BD,4分
PB=2,PA L PB,.PA2=AB2-BP2=12,
.PD=22,..PA2=AD2+PD2=12,..ADL PD.
D
:BD∩PD=D,.AD⊥平面PBD.…6分
(2)过D作DO⊥AB,垂足为O,平面PAB⊥平
面ABCD,∴.DO⊥平面PAB,以O为原点，OA,OD
所在直线分别为x轴、z轴，建立如图所示的空间直角
P
坐标系，则A1,0,0),B(-3,0,0),C(-2,0,V3),D0,0,√3)，
i设Pa,b,0)(-30,DA=(1,0,-√3)，PA=1-a,-b,0,
显然m=(0,1,0)是平面ABD的一个法向量，
…7分
设n=(x,,2)是平面PAD的一个法向量，则
n L DA,.x=0.
n⊥PA,(1-a)x-by=0,
取x=√3b,则=√3(1-a),3=b,n=(W3b,V3(1-a),b),
…8分
:二面角P-AD-B的余弦值为
V21
7
..cos=
11
V31-a)
√21
…10分
Imn
V3b+30-a2+b=7,0-a2=b,
PA⊥PB,AB2=PA2+PB=1-a)2+b2+(a+3)2+b2=16,
a=-1或a=1(舍去)，b=2,P(-1,2,0),n=(2√3,2√3,2)，
…12分
设k=(,2)是平面PBC的一个法向量，则1BC,+52,=0,
k⊥PB,-2x-2y2=0,
取x2=V3,则2=-V3,22=-1,k=(W3,-3,-),
…13分
nk-21
.C0s=
三一一
kV28√万7
.平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为二
…15分
33
、18.解DP3)-=,P42=习
Pu,m）=C
63
…5分
8
，P(n+l,m)=
C-
(2)由(1)得P(n,m)=
…7分