2024-2025学年江苏省徐州三中高二（上）期末数学模拟试卷（1月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省徐州三中高二（上）期末数学模拟试卷（1月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.直线过圆：的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
3.已知是等差数列，，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度为( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆：，为坐标原点，直线与椭圆交于，两点．若为直角三角形，则的离心率为( )
A. B. C. D.
6.如图，四边形中，，现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
7.已知数列的前项和，若，且数列满足，若集合中有三个元素，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
8.设椭圆：的左、右焦点分别为，，直线过点若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列和的前项和分别为和，且，，则下列结论正确的有( )
A. 数列是递增数列 B.
C. 使为整数的正整数的个数为 D. 的最小值为
10.若圆：与圆：的交点为，，则( )
A. 公共弦所在直线方程为
B. 线段中垂线方程为
C. 过点作圆：的切线方程为
D. 若实数，满足圆：，则的最大值为
11.如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是( )
A.
B. 若为直线上的动点，则为定值
C. 点到平面的距离为
D. 过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线与直线平行，则实数的值为 ．
13.记为等比数列的前项的和，若，，则 ．
14.已知椭圆与双曲线的左、右焦点相同，分别为，，与在第一象限内交于点，且，与的离心率分别为，，则的
取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，分别为椭圆：的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率．
求椭圆的方程；
若倾斜角为的直线经过点，且与交于，两点点在点的上方，求的值．
16.本小题分
已知数列的前项和为，，．
证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
求数列的前项和为；
若对任意恒成立求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．
求证：平面；
若平面与平面的夹角的正弦值为，
求长；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆的焦点为，，且该椭圆经过点．
求的标准方程
若为上一点，且，求的面积．
19.本小题分
数列满足，，数列的前项和为；数列的前项和为且满足．
分别求，的通项公式；
若，求数列的前项和；
证明：．
参考答案
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15.解：为椭圆的离心率，即，椭圆：经过点和点，
可得，解得，
椭圆的方程为．
由得，直线的斜率为，
倾斜角为的直线经过点，
直线的方程为，即，
联立，解得或，
则，
．
16.解：证明：数列的前项和为，，，
由，两边同时除以，
可得，又，
所以数列是首项、公差均为的等差数列，
由等差数列的通项公式可得，
所以．
由，
可得，
所以，
所以．
若对任意恒成立，
即有，整理得恒成立，
令，则，
当时，，当时，，当时，，
所以，即的最小值为，
综上，，即实数的取值范围是．
17.解：证明：在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，
，是的中点，作交于点，
以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图，
设，则．
，
，．
，且，，平面．
由线面垂直的判定定理得平面．
设平面的法向量为，，
，令，得，
设平面的法向量，
，令，得，
设平面与平面的夹角为，
平面与平面的夹角的正弦值为，
则，
，，，
解得舍去负值，长为．
由知，
由线面角定义得是直线与平面所成角的一个平面角，
在直角中，由题意得，
又由题意得，与互为余角，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：设的标准方程为，
因为椭圆经过点，所以，
因为椭圆的焦点为，，
所以，
联立方程组，解得，，
所以椭圆的标准方程为；
设，，
则，
又，
则，
所以，
所以的面积．
19.解：数列满足，，数列的前项和为；
数列的前项和为且满足．
由可得，则．
又，，则．
故为奇数时，是以为首项，公差为的等差数列，，
为偶数时，是以为首项，公差为的等差数列，．
综上有，．
又，则当时，，解得；
当时，，，两式相减可得，
即，故是以为首项，为公比的等比数列，故．
若，
即有，
故数列的前项和；
证明：，．
故．
则，
设，
，
错位相减可得，
则．
设，
则，
相减可得，
则，
故
故，即得证．
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