2024-2025学年青海省西宁十四中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年青海省西宁十四中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
2.在等比数列中，若，则( )
A. B. C. D.
3.以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为( )
A. B. C. D.
4.如图所示，为正方体，给出以下四个结论：
平面；
直线与所成的角为；
二面角的正切值是；
与底面所成角的正切值是；
其中所有正确结论的序号为( )
A. B. C. D.
5.已知数列满足，，则数列前项的积为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的左右焦点分别为，，且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知直线和圆相交于，两点．若，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆：且，直线与椭圆相交于，两点，若是线段的中点，则椭圆的焦距为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的前项和为，若，，则下列选项正确的有( )
A. B.
C. 中绝对值最小的项为 D. 数列的前项和最大项为
10.已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，若，则( )
A. 的坐标为 B. C. D.
11.已知圆：，直线：则下列结论正确的是( )
A. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于
B. 对于任意实数，直线恒过定点
C. 若圆与圆恰有三条公切线，则
D. 若动点在圆上，点，则线段中点的轨迹方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若是与的等差中项，是与的等比中项，则 ______．
13.已知为圆上任意一点，，为直线上的两个动点，且，则面积的取值范围是______．
14.如图，在正四面体中，，分别为，的中点，则与的夹角的余弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，点、分别为、的中点．
证明：直线平面；
求点到平面的距离．
16.本小题分
已知圆：的圆心在直线上，直线：．
求的值；
求圆关于直线对称的圆的标准方程；
过中的点作圆的切线，求直线的一般式方程．
17.本小题分
已知椭圆：，为坐标原点，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，且，其离心率为，过点的动直线与椭圆相交于，两点．
求椭圆的标准方程；
当时，求直线的方程．
18.本小题分
设等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
若数列满足，，求的前项和．
19.本小题分
如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线．
证明：平面；
若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值．
参考答案
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15.解：证明：取中点，连接、，
中，点、分别为、的中点，且，
在正方形中，为中点，，，可得，，
四边形为平行四边形，可得，
又平面，平面，直线平面；
平面为正方形，且底面，、、两两互相垂直，
分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
可得，，，，
，
设平面的法向量为，
则，即，取，得平面的一个法向量为，
因此，点到平面的距离．
16.解：由已知圆：，则圆，
又圆心在直线上，即，解得；
由得圆：，即，即，半径，
设，则中点为且，
所以由对称可知，
解得，即，
所以圆；
根据题意可得直线的斜率存在，则可设直线的方程为，
即，
则，
解得或，
故直线的方程为或，
即一般式方程为或．
17.解：由题意可得，解得，，
所以椭圆的帮助方程为；
当直线的斜率不存在时，把代入椭圆方程可得，
所以，不符合题意，
所以直线的斜率存在，则可设直线的方程为，代入椭圆方程可得：
，
其判别式恒成立，
设，，则，，
所以
，即，
解得或，所以或，
所以直线的方程为或．
18.解：设等差数列的首项为，公差为．
由，，得
解得：，．
因此；
由已知，，
当时，；
当时，，
，当时也满足，
，．
由知，，
，．
又，
，
两式相减得
，
．
19.解：证明：如图，连接，由题意知为的直径，
所以因为，是圆柱的母线，
所以且，所以四边形是平行四边形．
所以，所以．
因为是圆柱的母线，所以平面，
又因为平面，所以．
又因为，、平面，所以平面．
由知是三棱锥底面上的高，
由知，，所以，
即底面三角形是直角三角形．
设，，
则在中有：，
所以，
当且仅当时等号成立，即点，分别是，的中点时，三棱锥的体积最大，
下面求二面角的正弦值：
法一：由得平面，因为平面，所以．
又因为，，所以平面．
因为平面，所以，所以是二面角的平面角，
由知为直角三角形，则．
故，所以二面角的正弦值为．
法二：由知，，两两相互垂直，
如图，以点为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则．
由知平面，故平面的法向量可取为．
设平面的法向量为，
由，
得，即，即，取，得．
设二面角的平面角为，
，
所以二面角的正弦值为．
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