2024-2025学年甘肃省庆阳市华池一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年甘肃省庆阳市华池一中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.等差数列的前项和为，公差，，则( )
A. B. C. D.
2.抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
3.从个男生个女生中任选个人参加一个活动，所有选择的方法有种．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.圆的圆心到直线的距离为( )
A. B. C. D.
5.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
6.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆在左、右焦点分别为，，倾斜角为且过原点的直线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.过抛物线：的焦点作两条互相垂直的弦，，设为抛物线上的一动点，若，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：与圆：，则下列说法正确的是( )
A. 直线恒过定点 B. 圆的圆心坐标为
C. 存在实数，使得直线与圆相切 D. 若，直线被圆截得的弦长为
10.数列的前项和为，且，下列说法正确的是( )
A. 若数列为等差数列，则的公差为
B. 若数列为等差数列，则的首项为
C.
D.
11.我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法就给出著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的猜想中正确的是( )
A. 由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想
B. 由“在相邻两行中，除以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和猜想
C. 第条斜线上各数字之和为
D. 在第条斜线上，各数从左往右先增大后减少
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，从广州到深圳一天中动车组有个班次，特快列车有个班次，汽车有个不同班次则小明乘坐这些交通工具去深圳不同的方法有______．
13.已知，且，则 ______．
14.点是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线过点．
若直线在轴上的截距为，求直线的方程；
若直线与直线平行，且两条平行线间的距离为，求．
16.本小题分
用，，，，，可以组成多少个无重复数字的五位数？
用，，，，，这六个数字组成无重复数字的六位数，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列，则是第几项．
17.本小题分
已知数列的前项和为，满足，”．
求的通项公式；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
已知椭圆：，的左焦点，右顶点．
求的方程；
设为上一点异于左、右顶点，为线段的中点，为坐标原点，直线与直线：交于点，求证：．
19.本小题分
设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，满足．
求的离心率；
若，点在双曲线上，点在直线上，满足，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由．
参考答案
1.
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4.
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9.
10.
11.
12.种
13.
14.
15.解：由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，
直线过点，，求得，直线的方程为，即．
若直线与直线平行，可设直线的方程为，
两条平行线间的距离为，，求得，
故直线的方程为．
16.解：由于是五位数，首位数字不能为，
首位数字有种排法，
其它位置有种排法，
所以用，，，，，可以组成个无重复数字的五位数．
由于是六位数，首位数字不能为，
首位数字为有个数，
首位数字为，万位上为，，中的一个有个数，
所以从小到大排列，是第个，
即所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列，是数列的第项．
17.解：数列的前项和为，满足，，
，而，
，即，
当时，，显然也满足上式，
．
由知，，，
，
．
18.解：设椭圆的半焦距为，，
因为椭圆：的左焦点，右顶点，
所以，，，
故C的方程为：；
证明：设点，且，
因为为线段的中点，所以，
所以直线的方程为：，
令，得，所以，
此时，，
所以，
所以，
所以．
19.解：设与轴交于点，由对称性可知轴，
又因为，
所以，
所以为以为直径的圆的半径，
所以为圆心，，
所以，
又点在圆上，
所以，
即，
所以．
所以；
若，则，所以，
所以双曲线方程为，
因为，
所以在以为直径的圆上，
设，，
所以，即，
又，
则，即有，
直线的方程为，
可得圆心到直线的距离为
，
的分母为，
分子为，
所以，
则直线与圆相切．
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