2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市东方红中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市东方红中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知是虚数单位，则复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为，，，为了了解学生的课业负担情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取人数分别是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为( )
A. B. C. D.
7.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆，双曲线，其中若与的焦距之比为：，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正方体中，下列命题是真命题的是( )
A.
B.
C. 与夹角为
D. 正方体的体积为
10.已知圆，圆，则下列结论正确的是( )
A. 若和外离，则或
B. 若和外切，则
C. 当时，和内含
D. 当时，有且仅有一条直线与和均相切
11.如图，已知棱长为的正方体，动点是内部一点含边界，则下列选项正确的是( )
A. 动点在运动的过程中，三棱锥的体积是定值
B. 对于任意，平面
C. 动点到直线的距离最小值为
D. 满足的的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则的取值范围是______．
13.如图，在长方体中，，，若为的中点，则点到平面的距离为______．
14.已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为______，若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
Ⅰ求；
Ⅱ求；
Ⅲ若，求的值．
16.本小题分
已知函数的最小正周期为．
求的值；
求函数的单调递减区间．
17.本小题分
圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦．
当时，求的长；
当弦被点平分时，写出直线的方程．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，在上，且．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
求点到平面的距离．
19.本小题分
在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为，过点且斜率为的直线与交于不同的两点，．
求轨迹的方程；
求斜率的取值范围；
当时，求，两点坐标．
参考答案
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14.
15.解：Ⅰ；
Ⅱ因为，，
所以，，
所以；
Ⅲ因为，
所以，
解得．
16.解：因为函数的最小正周期为，
所以，可得，可得，
所以；
由可得，
令，，解得，，
可得函数的单调递减区间为：，．
17.解：圆的圆心，半径，
因为，所以直线的斜率，
所以：，即：，
所以圆心到的距离，
所以；
因为弦被平分，所以，，
又因为，所以，
所以弦所在的直线方程为：，
即．
18.证明：由题意知，，，两两垂直，
故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
由，得，
所以，
易知平面的一个法向量为，
所以，即，
又平面，
所以平面．
解：由得，
设平面的法向量为，则，
令，得，所以，
而平面的一个法向量为，
所以，，
故平面与平面夹角的余弦值为．
解：由题意知，，
设平面的法向量为，则，
令，得，，所以，
所以点到平面的距离为．
19.解：设，
根据题意可知，
所以点的轨迹为以，为焦点的椭圆，
且，，
所以，，，
所以轨迹的方程为；
易知直线的方程为，
联立，可得，
根据题意可得，
解得或，
所以斜率的取值范围是；
当时，，联立得：
，解得或，
当时，，当时，，
故或．
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