2024-2025学年山东省临沂市蒙阴一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省临沂市蒙阴一中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为抛物线：上一点，则抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
2.已知递增的等差数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.两个等差数列和的前项和为，，且则( )
A. B. C. D.
5.已知圆：，点，若圆上存在点使得，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程即平面上任意一点的坐标满足的关系是：”如果给出平面的方程是，平面的方程是，则由这两平面所成的二面角的正弦值是( )
A. B. C. D.
7.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是( )
A. 的方程为
B. 在上存在点，使得到点的距离为
C. 在上存在点，使得
D. 上的点到直线的最小距离为
8.如图，双曲线的左、右焦点分别为，，是上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆：，直线：，则( )
A. 直线恒过定点
B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于
C. 直线与圆有两个交点
D. 圆与圆恰有三条公切线
10.已知数列的前项和为，且，则下列命题正确的是( )
A. 若是递增数列，则数列的前项和为
B. 若是递增数列，则数列的前项和为
C. 若各项均为正数，则
D. 存在无穷多个不同的数列，使得
11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体如图，半正多面体的棱长为，棱数为，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有( )
A. 平面
B. 若是棱的中点，则与平面平行
C. 若四边形的边界及其内部有一点，，则点的轨迹长度为
D. 若为线段上的动点，则与平面所成角的正弦值的范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点，点，则点到直线的距离为______．
13.某集团公司有一下属企业从事一种高科技产品的生产企业第一年年初有资金万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同集团公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元则 ______．
14.已知离心率为的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知：与两坐标轴均相切；且过点，直线过点交圆于，两点．
求圆的方程；
若，求直线的斜率．
16.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
若，令，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，是斜边为的等腰直角三角形，．
求证：平面；
求与平面所成角的正弦值；
在棱上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知数列满足，．
求数列的通项公式；
若数列的前项和为，求．
设，求的值其中表示不超过的最大整数．
19.本小题分
已知双曲线的离心率，虚轴在轴上且长为．
求双曲线的标准方程；
已知椭圆，若，分别是，上的动点，且，求的值，以及的最小值．
参考答案
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15.解：由题意，可知圆心在第一象限，若圆与两坐标轴均相切，则，
根据圆过点，可得，
即，解得或，结合，可得．
所以圆方程为．
由，可得，即点为中点，
设弦中点为，则，设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
由联立方程组，解得，即圆心到直线的距离的平方为，
设直线：，即，则，解得．
16.解：设等差数列的公差为，
由题意知，，，
即，化简得．
所以数列的通项公式．
令，
则 ，
，
．
．
17.解：因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，、平面，所以平面；
取中点为，连接、，
又因为，所以，
则，
因为，所以，，则，
以为坐标原点，以所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，
设平面的法向量为，则，
所以，得，令，则，
设与平面所成角的角为，
所以．
假设在棱上存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为，
由可知，，，，
所以，
设．
所以
设平面的法向量为，则，，
所以由，得，
令，则，
由题知，平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为．
所以，
所以，即．
18.解：由，，
，，可得，
由，可得，
两式相减得，，
所以数列的奇数项和偶数项均为公差为的等差数列，
，，
则．
由题意，
所以
．
由知，则，
由，，
得，，
故，，，，
以上各式相加，得，
则；
又由，，得，，
故，，，，
以上各式相加，得．
综上所述，则．
19.解：因为双曲线的离心率，虚轴在轴上且长为，
所以，
解得，，，
则双曲线的方程为；
因为双曲线的渐近线方程为，
所以直线的斜率，
当时，由对称性，不妨取右顶点，
点在轴上，妨取，
此时，
则；
当时，
联立，
解得，
因为，
所以直线方程为，
联立，
解得，
所以
，
综上所述，为定值，定值为，
，
令，
此时，
因为，
所以，
所以，
可得，
所以，
解得，
综上所述，．
故最小值为．
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