2024-2025学年黑龙江省新时代高中教育联合体高三（上）期末数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年黑龙江省新时代高中教育联合体高三（上）期末数学试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { ∈ | 3 < < 3}， = { | ≥ 1}，则 ∩ =( )
A. {0,1,2} B. {2} C. {0,1} D. {1,2}
2.已知随机变量 服从正态分布 (2.3, 2)，且 (2.3 < ≤ 4.2) = 0.23，则 ( > 0.4) =( )
A. 0.46 B. 0.73 C. 0.23 D. 0.27
3.伊丽莎白塔，俗称“大本钟”是英国伦敦的标志性建筑，其上面镶嵌着世界上最大的“钟”，且其分针
长约为4米，则经过25分钟，其分针的端点所转过的长为( )
7 4 10 5
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
6 3 3 6
4.圆 ： 2 + 2 = 4与圆 ′：( 2)2 + ( + 2)2 = 20的 公切线条数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2 √ 3
5.设函数 ( ) = sin (2 + )，则曲线 = ( )在(0, )处的切线方程为( )
3 2
A. 2 + 2 + √ 3 = 0 B. + 2 √ 3 = 0
C. + 2 + √ 3 = 0 D. 2 + 2 √ 3 = 0

6.已知| 3| = | 3 |( ≠ 0)，则在复平面内 2所对应的点位于( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7.数列{ }中， 1 = 2， + = .若 +1 + +2 + + = 2
15 25 +10 ，则 =( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8.已知三棱锥 的四个顶点满足： ， 分别是圆柱 1 的上，下底面的两条直径，且该三棱锥体
积的最大值为6，则圆柱 1 的体积为( )
A. 2 B. 6 C. 9 D. 12
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.平面直角坐标系中，( , )为第一象限内且位于直线 + 1 = 0上的一点，则( )
1
A. 2√ ≤ 1 B. 2 + 2 >
2
C. 2025
1 1
> 3 D. ( + 2) ( + 2) ≥ 16

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10.现有5个按照从小到大排成的数据： 1， 2， 3， 4， 5，下列关于这组数据的样本数字特征的描述，
一定可以使这组数据均小于10的有( )
A. 中位数为7，众数为9 B. 平均数为3，极差为2
C. 众数为5，极差为6 D. 平均数为4，方差为2
11.已知函数 ( ) = ， ( ) = ( ) + (2 )，则( )
A. 曲线 = ( )是中心对称图形 B. ( )有极小值为2
C. 若 + = 2，则 ( ) + ( ) ≥ 4 D. 若 + < 2，则 ( ) < (2 )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (2,5)， = (1, 3)，则| + 2 | = ．
13.(2 + 1)7的展开式中 2 3的系数为 . (用数字作答)
14.已知椭圆 和双曲线 的对称中心均为坐标原点，左、右焦点均为 1， 2， 与 在第一象限有交点 ，若
| 1 2| = 2| 2|，则 与 的离心率之差的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知sin cos = 2sin cos sin cos ．
(1)求 ；
(2)若 = 2， = 3，求 和sin 的值．
16.(本小题12分)
如图，多面体 中， 是以 为顶角的等腰直角三角形， = 2， 是等边三角形， 是空间
中一点，满足 = 2 ，平面 ⊥平面 ．
(1)求异面直线 与 所成的角的余弦值；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
17.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 ( + 3) + ln .
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(1)若 = 3，求 ( )的单调区间;
(2)若 ( )既有极大值，又有极小值，求实数 的取值范围．
18.(本小题12分)
设抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)，过其焦点 ( , 0)作两条相互垂直的直线 1、 2， 1与 交于 、 两点， 2与
交于 、 两点，记 中点为 、 中点为 ，设 与 轴交于点 ( , 0)．

(1)证明： = 3；

(2) = 2时，设直线 ： = 与 交于点 (异于原点 )，设 中点为 ，记 的面积为 ，求 的最小值．
19.(本小题12分)
定义：若正项数列{ }满足2ln +1 > ln + ln +2，则称数列{ }为“对数中值数列”．
(1)已知 = 2 1，证明：数列{ }为“对数中值数列”；
(2)已知正项数列{ }的前 项和为 ，且

2 > 1， 1, 2, 3 ∈ ，当 1， 2， 3互不相等时，存在唯一实
1 数 ，使得 2
2 + 3

+
3 1 = 成立．
3 3

1 1

2 2
( )求数列{ }的通项公式；
( )探究数列{ }是否为“对数中值数列”．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】√ 17
13.【答案】 840
1
14.【答案】( ,+∞)
2
15.【答案】解：(1)因为sin cos = 2sin cos sin cos ，
则sin( + ) = 2sin cos ，
因为在 中， + + = ，
所以sin( + ) = sin( ) = sin ，
则有sin = 2sin cos ，
因为 , ∈ (0, )，
1
所以sin ≠ 0，cos = ，
2

故 = ．
3

(2)由(1)可知： = ，
3
在 中，因为 = 2， = 3，
1
由余弦定理可得： 2 = 2 + 2 2 cos = 4 + 9 2 × 2 × 3 × = 7，
2
则 = √ 7，
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2 √ 7
由正弦定理可得： = ，即 = ，
sin sin sin √ 3
2
√ 3 √ 21
所以sin = = ．
√ 7 7
16.【答案】解：(1)因为平面 ⊥平面 ，取 的中点为 ，
因为 是等边三角形，所以 ⊥ ，
因为平面 ∩平面 = ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，因为 是以 为顶角的等腰直角
三角形，所以 ⊥ ，
以点 为坐标原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (√ 2, 0,0)， (0, √ 2, 0)， (0,√ 2, 0)， (0,0, √ 6)，
因为 = 2
√ 2 √ 6
，所以 (√ 2, , )，
2 2
故
√ 2 √ 6
= (0,2√ 2, 0)， = (√ 2, , )，
2 2
√ 2
故cos , = = ，
| |×| | 4
√ 2
即异面直线 与 所成的角的余弦值为 ．
4
(2)易知平面 的一个法向量为 = (0,0,1)，
= (0, √ 2, √ 6)，
√ 2 √ 6
= (√ 2, , )，
2 2
设平面 的法向量为 = ( , , )，
√ 2 √ 6
则{ = 0
√ 2 + = 0
{ 2 2 ,
= 0 √ 2 + √ 6 = 0
令 = √ 3，可得平面 的一个法向量为 = (0,√ 3, 1)，
| | 1
故|cos , | = = ，
| |×| | 2
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1
故平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
2
17.【答案】解：(1) = 3时， ( ) = 2 3ln ， ∈ (0,+∞)，
3 2 2 3 (√ 2 +√ 3)(√ 2 √ 3)
′( ) = 2 = = ，

√ 6
令 ′( ) = 0，解得 = (负值舍去)，
2
√ 6
故当 ∈ (0, )时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
2
√ 6
当 ∈ ( ,+∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
2
√ 6 √ 6
故 ( )的单调递减区间为(0, )，单调递增区间为( , +∞).
2 2
2 2 ( +3) +
(2)依题意， ′( ) = 2 ( + 3) + = ，

令 ′( ) = 0，则问题转化为2 2 ( + 3) + = 0有两个不同的正根，
= ( + 3)2 8 > 0,
故{ + 3 > 0,
> 0,
解得 > 0，故实数 的取值范围为(0,+∞).
1
18.【答案】解：(1)由题意设 1： = + ， ： = + ， 2 2 2
2 = 2
联立{ ，得 2 2 2 = 0，
= +
2
= 4 2 2 + 4 2 > 0，
+ = 2
设 ( 1, 1)、 (
1 2
2, 2)，故有{ , 1 2 =
2
故 + 21 2 = ( 1 + 2) + = (2 + 1)，
2 2 +
故点 ( , )，
2
1 2 +2
同理用 替换 得点 ( 2 , )， 2
设 ( , )、 ( , )，
则 ：( )( ) = ( )( )，
3 2 2+3 2 3
令 = 0，得 = = = ，
= 3得证．
2 2 +2 2
=
(2)依题意，联立{
2
得 (4,4)，| | = 4 2．
= 4 √
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4+ 2+1 2 1
由(1)可得 ( 2 , )，
4
2 2
2+1
设 ( , )，则有 = 2 = 3，
即点 的轨迹是抛物线，
设直线 ′： = + 与抛物线 2 = 3相切．
= +
联立{ 2 得
2 + + 3 = 0，
= 3
11
令 = 0得 = ．
4
| | 11√ 2
故 与 ′之间的距离 = = ，
√ 1+1 8
1 11
此时 = | | = ，
2 2
13 1 11
当且仅当点 为( , )时， 取得最小值 ．
4 2 2
19.【答案】解：(1)易知 ∈ ， = 2 1 > 0，
要证数列{ }为“对数中值数列”，
即证ln(2 + 1)2 > ln[(2 1)(2 + 3)]，
即证(2 + 1)2 > (2 1)(2 + 3)，
即证4 2 + 4 + 1 > 4 2 + 4 3，显然成立，
故数列{ }为“对数中值数列”．

(2)( )将 1， 2互换可得， =
2 1 + 1 3 +
3 2 = ，
3 3 2 2

1 1
所以 = 0，

令 1 = 1， 2 = 2，得
3 = (2 3) 1 + ( 3 1)
2，
3 2

所以 3 = 1 + ( 3 1)(
2
2 1
)，故数列{ }是等差数列，
3
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2 = 2 1 > 0，
2 1 2
所以 = + ( 1) 2 11 ， 2
3
故 = 2 1 2 + 1 2 ． 2 2

( )记 = 2 1
, = 1,
> 0，又 = { 1
2 1, ≥ 2,
故 = 1 + 2 ( 1)，
故 +1 = 2 > 0，
故{ }是单调递增的等差数列，
( 1+ )故 +1 > > 0， +2 + = 2 +1， = 2
故4( 2 2 +1 +2) = ( + 1) ( 1 +
2
+1) ( + 2)( 1 + )( 1 + +2)
( 1 +
2
) + ( 1 + +2)
> ( + 1)2( 1 +
2
+1) ( + 2) [ ] 2
= ( + 1)2( + 2 21 +1) ( + 2)( 1 + +1)
= ( 1 +
2
+1) > 0，故2ln +1 > ln + ln +2．
故数列{ }为“对数中值数列”．
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