2024-2025学年黑龙江省六校高三（上）期末数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年黑龙江省六校高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“ = 0”是“复数 + ( , ∈ )是纯虚数”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2.设集合 = { | = + 1}， = { | = 2( 2)}，则集合 与集合 的关系是( )
A. = B. ∈ C. D.
3.记 为等差数列{ }的前 项和．若 2 + 6 = 8， 12 = 16，则 15 =( )
A. 140 B. 150 C. 160 D. 180
4.已知 为坐标原点， 为抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点， 为 上的一点， 垂直于 轴， 为 轴上一
点，且∠ = 90 ，若| | = 4√ 3，则 =( )
A. √ 3 B. 2√ 3 C. 4√ 3 D. 8√ 3
1
5.已知cos sin = , tan = 3tan ，则sin( ) =( )
6
7 1 7 1
A. B. C. D.
9 3 9 3
, ≥ 1,
6.已知函数 ( ) = { 2 ( > 0且 ≠ 1)在定义域内是增函数.则 的取值范围是 + 2( 1) + 6, < 1
( )
A. [2,3] B. (2,3) C. (2,+∞) D. (1,4)
2 1
7.已知( 2) 的展开式中第9项是常数项，则展开式中系数的绝对值最大的项是( )
2
A. 第6项 B. 第7项 C. 第8项 D. 第9项
8.中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构
示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形 为矩形， // ， = 2 = 2， 与 都
是边长为1的等边三角形，若点 ， ， ， ， ， 都在球 的球面上，则球 的表面积为( )
11 11 11 11
A. B. C. D.
8 6 4 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.维生素 又叫抗坏血酸，是种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素，现从猕猴
桃、柚子两种食物中测得每100克维生素 的含量(单位： )，得到数据如下：
猕猴桃：102 104 106 107 113 116 119 121 132 134
柚 子：109 113 114 116 117 121 121 122 131 132
则下列说法正确的是( )
A. 每100克柚子维生素 含量的众数为121
B. 每100克柚子维生素 含量的75%分位数为122
C. 每100克猕猴桃维生素 含量的极差高于每100克柚子维生素 含量的极差
D. 每100克猕猴桃维生素 含量的平均数高于每100克柚子维生素 含量的平均数
2
10.已知 1， 2分别是双曲线
2 = 1的左、右焦点， 是左支上一点，且在 在上方，过 2作∠ 2 1 2角
平分线的垂线，垂足为 ， 是坐标原点，则下列说法正确的是( )

A. 若∠ 1 2 = ，则直线 的斜率为 √ 3 2

B. 若∠ 1 2 = ，则 2 2 = 2 2
C. 若∠ 1 2 = ，则| | = 1
D. 若∠ 1 2 = ，则| | = cos
11.已知函数 ( ) = 3 6 2 + 1( ≠ 0)有且仅有三个不同的零点分别为 1, 2, 3，则( )
1 1
A. 的取值范围是( ∞, ) B. 的取值范围是( , +∞)
32 32
C. 1 2 3 = 1 D. 1 + 2 + 3 = 6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.平面向量 ， 为单位向量，且( 2 ) ( + ) = 1，则| + 2 | = ．

13.已知函数 ( ) = cos( )( > 0)，将 ( )的图象向右平移 个单位长度得到函数 ( )的图象，若 ( )
3 6
是偶函数， ( )在(0, )上恰有4个零点，则 = ．
14.以 ( )表示数集 中最大(小)的数.设 > 0, > 0, > 0，已知 2 + 2 = 1，则
1 1 1
min {max { , , }} = ．

四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知 的内角 , , 的对边分别为 , , , = ( , )， = (sin + sin , sin + sin )且 // ．
(1)求角 ；
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3√ 3
(2)若 = 3√ 2, 的面积为 ，求 的周长．
2
16.(本小题12分)

如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ，底面 是菱形， = = 2，∠ = 60 ．
(1)求证：直线 ⊥平面 ；
(2)若点 为线段 的中点，求二面角 的正弦值．
17.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 1．
(1)讨论 ( )的单调区间；
(2)若 ( )在区间(0,+∞)上存在唯一零点 0，证明： 0 < 2．
18.(本小题12分)
某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手来自于3个不同的班级，三个班级
的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采
取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同
分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以3: 0或3: 1取胜的选手积3分，失败的选手积0分；而在比赛
中以3: 2取胜的选手积2分，失败的选手积1分．已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率
为 (0 < < 1)．
(1)若进入决赛的9名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多
少？
2
(2)在第6场比赛中，当 = 时，设甲所得积分为 ，求 的分布列及期望；
3
(3)在第6场比赛中，记甲3: 1取胜的概率为 ( )，求 ( )的最大值．
19.(本小题12分)
2 2 √ 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率 = ． 2
(1)若椭圆 过点(2, √ 2)，求椭圆 的标准方程．
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(2)若直线 1， 2均过点 ( , 0)(0 < < , ∈
)且互相垂直，直线 1交椭圆 于 , 两点，直线 2交椭圆
1
于 , 两点， , 分别为弦 和 的中点，直线 与 轴交于点 ( , 0)，设 = ． 3
(ⅰ)求 ；
1
(ⅱ)记 = | |，求数列{ }的前 项和 ．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】√ 5
13.【答案】4
3
14.【答案】√2
15.【答案】解：(1)由 // 可知 (sin + sin ) = ( )(sin + sin )，
由正弦定理，得 ( + ) = ( )( + )，
即 2 + 2 2 = ．
2
2
+ 2 1
所以cos = = ，
2 2
又 ∈ (0, )，
2
所以 = ．
3
(2)由(1)知 2 + 2 2 = ．
所以( + )2 = 2 = 18，
1 √ 3 3√ 3
又 = sin = = ，
2 4 2
所以 = 6，
所以( + )2 = 18 + = 24，即 + = 2√ 6．
所以 的周长为 + + = 3√ 2 + 2√ 6．
16.【答案】解：(1)由 ⊥平面 , 平面 ，得 ⊥ ，
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由底面 是菱形，得 ⊥ ，又 ∩ = , , 平面 ，所以直线 ⊥平面 ．

(2)在菱形 中， = = 2，∠ = 60 ，则 为正三角形， = 2，
= 2 cos30 = 2√ 3，在平面 内作 ⊥ ，则直线 , , 两两垂直，
以点 为坐标原点，直线 , , 分别为 , , 轴建立空间直角坐标系，如图：
√ 3 3
则 (0,0,0), (√ 3, 1,0), (0,0,2), (√ 3, 3,0)， ( , , 1)，
2 2
√ 3 1 = ( , , 1), = (0, 2,0), = (√ 3, 1,0)，
2 2
√ 3 1
= = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ 2 2 ，令 = 2，得 = (2,0, √ 3)，
= 2 = 0
√ 3 1 = = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ 2 2 ，令 = 1，得 = (1, √ 3, √ 3)，
= √ 3 + = 0
| | 5 5
设二面角 的平面角为 ，|cos | = |cos , | = = = ，
| || | √ 7×√ 7 7
5 2√ 6 2√ 6
则sin = √ 1 2 = √ 1 ( )2 = ，所以二面角 的正弦值 ．
7 7 7
17.【答案】解：(1)由题意可知：
( )的定义域为 ，且 ′( ) = 2 2 ，
若 ≤ 0，
则 ′( ) = 2 2 > 0对任意 ∈ 恒成立，
可知 ( )的单调递增区间为( ∞,+∞)，无单调递减区间；
若 > 0，
1
令 ′( ) > 0，解得 > ln ，
2 2
1
所以 ( )在( ln ,+∞)上单调递增，
2 2
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1
令 ′( ) < 0，解得 < ln ，
2 2
1
所以 ( )在( ∞, ln )上单调递减，
2 2
1 1
即 ( )的单调递增区间为( ln ,+∞)，单调递减区间为( ∞, ln )；
2 2 2 2
综上所述：若 ≤ 0， ( )的单调递增区间为( ∞,+∞)，无单调递减区间，
1 1
若 > 0， ( )的单调递增区间为( ln ,+∞)，单调递减区间为( ∞, ln )；
2 2 2 2
(2)证明：
因为 ( )在区间(0,+∞)上存在唯一零点 0，
所以存在唯一的 0 ∈ (0,+∞)，
有 ( ) = 2 00 0 1 = 0，
2 0 1
化简得 = ，
0
若要证明 0 < 2，
2 0 1
则只需 0 < 2， 0
即只需 2 0 ( 0 + 1)
2 > 0, ( 0 > 0)，
不妨设 ( ) = 2 ( + 1)2, > 0，
求导得 ′( ) = 2 2 2( + 1), > 0，
令 ( ) = ′( ) = 2 2 2( + 1), > 0，
求导得 ′( ) = 4 2 2 > 4 2 = 2 > 0, > 0，
所以当 > 0时，
′( ) = 2 2 2( + 1)单调递增，
所以 ′( ) = 2 2 2( + 1) > ′(0) = 0，
所以当 > 0时，
( ) = 2 ( + 1)2单调递增，
所以 ( ) = 2 ( + 1)2 > (0) = 0，
即当 0 > 0时，
有不等式 2 0 ( 0 + 1)
2 > 0成立，
综上所述：若 ( )在区间(0,+∞)上存在唯一零点 0，则 0 < 2．
18.【答案】解：(1)记比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级为事件 ，
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2 2 2
则 ( ) = 2
+ 3+ 4 5
2 = ； 9 18
(2)依题意 的可能取值为0,1,2,3，
2 3 2 2 3 1
所以 ( = 0) = (1 )3 + 13 (1 )
3 = (1 ) + 13 × × (1 ) = ， 3 3 3 9
2 3
( = 1) = 2 2(1 )3 = 2
2 2 8
4 4 × ( ) × (1 ) = ， 3 3 81
2 2 2 2 2 16
( = 2) = 24
2(1 )2 = 24 × ( ) × (1 ) × = ， 3 3 3 81
2 33 2 2 2 2
2 2 2 16
( = 3) = + 3 (1 ) = ( ) + 3 ( ) × (1 ) × = ． 3 3 3 3 27
所以 的分布列为
0 1 2 3
1 8 16 16

9 81 81 27
1 8 16 16 184
所以 的期望为 ( ) = 0 × + 1 × + 2 × + 3 × = ;
9 81 81 27 81
(3)依题意 ( ) = 2 33 (1 ) = 3
3(1 )，(0 < < 1)，
则 ′( ) = 3[3 2(1 ) + 3 × ( 1)] = 3 2(3 4 )，
3
令 ′( ) = 0，得 = ，
4
3
当 ∈ (0, )时， ′
3
( ) > 0， ( )在(0, )上单调递增，
4 4
3 3
当 ∈ ( , 1)时， ′( ) < 0， ( )在( , 1)上单调递减，
4 4
3
所以 ( )在 = 处取得极大值，即最大值，
4
3 3 3 3 81
所以 ( )max = ( ) = 3 × ( ) (1 ) = ． 4 4 4 256
√ 2
19.【答案】解：(1)因为 = = ， 2 = 2 + 2，所以 2 = 2 2，
2
2 2
所以椭圆 的方程为 2 + 2 = 1，
2
4 2
因为椭圆 过点(2,√ 2)，所以 + = 1，解得 22 2 = 4，
2
2 2
所以椭圆 的方程为 + = 1；
8 4
(2)(ⅰ)当直线 1, 2中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，直线 与 轴重合，不符合题意．
故直线 1, 2的斜率均存在且不为0，
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设直线 1的方程为 = ( )( ≠ 0)，
( 1, 1), ( 2, 2), ( , ), ( , )，
2 2
联立方程{ 2
+ 2 = 1
2 ,
= ( )
消去 并整理得(1 + 2 2) 2 4 2 + 2
2 2 2
2 = 0，
因为直线与椭圆相交于两个不同的交点，所以 > 0，
2 2 2
4 2 2 2
根据韦达定理得， + = , 1 2 2 1 2 = 2 ，
1+2 1+2
2
2
=

2
则{ 1+2 ,

= 2
1+2
2
= 2
同理可得{ +2,

= 2
+2
因为 , , 三点共线，所以 ( ) = ( )( )，
易知 ≠ 0，
2 2 2

2 2 2 2
则 =
1+2 +2 +2 1+2 2 = = ， 32 2
+2 1+2
1 2
因为 = ，所以 =3 3 +1
；
1 2 1
(ⅱ)结合(ⅰ)可知 = | | = | | = | +1 | = +1， 3 3 3
1
所以 = 3 +1，

1
所以数列{ }是首项为9，公比为3的等比数列，

1 9(1 3 ) 9
所以数列{ }的前 项和 = = (3 1)． 1 3 2
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