2024-2025学年上海虹口区高三数学0.5模试卷及答案（2024.11）（含答案）

虹口区2024学年第一学期高三年级数学0.5模
2024.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．不等式的解集是________．
2．表面积为的球的体积是________．（结果保留）
3．已知向量和向量平行，则实数________．
4．的展开式中，项的系数是________．
5．已知，且，则________．
6．在中，已知角，，所对的边分别为，，，若，则________．
7．已知定义域为的奇函数，满足，且，则函数在区间上零点个数的最小值为________．
8．函数，的最小值为________．
9．若，则实数的取值范围是________．
10．已知在一个平面上过点作单位圆的两条切线和，点和点分别为切点，则的最小值是________．
11．现有10个完全相同、尺寸为的长方体箱子，将第一个箱子平放在地面上，其余的9个箱子的每一个箱子都平放在前面的箱子上，可以任意旋转箱子，那么使得这10个箱子堆放高度为的堆放方式共有________种．
12．已知（且），设函数的导函数为，且，当，时，实数的取值范围是________．
二、选择题（本大题共4题，满分18分；第13-14题4分；第15-16题5分）
13．对于实数，“”是“”的（ ）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
14．已知直线，及平面，其中，且和之间的距离为2，那么在平面内到直线和距离之和为3的点的集合不可能是（ ）．
A．一个点 B．一条直线
C．两条直线 D．空集
15．设、分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）．
A． B．
C． D．
16．已知两个各项均不为零的无穷数列和，若对于数列中的任意一项，总在数列中存在一项，使得，则称数列是数列的“数列”．对于以下两个命题，说法正确的是（ ）．
①对于任意等比数列，总存在等比数列是其“数列”；
②存在公差不为零的等差数列，使其“数列”是等差数列．
A．①真②真 B．①真②假
C．①假②真 D．①假②假
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17．（本题14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）
已知数列的前项和为，．
（1）若数列为等差数列，，求数列的通项公式；
（2）若数列为等比数列，，求的值，并求满足时，正整数的最小值．
18．（本题14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）
已知，．
（1）若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围；
（2）设的三边分别是，，，若，，求的取值范围．
19．（本题16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
在边长为2的正方体中，已知点是棱上的动点（包含端点）．
（1）若为的中点（图1），求点到平面的距离；
（2）若点与点重合（图2），求证：与平面的交点为等边的中心；
（3）是否存在点使得与平面的所成角是，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由．
20．（本题16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
已知甲和乙分别依次各抛掷次和次同一枚质地均匀的硬币，甲和乙每次抛硬币均互不影响．
（1）若，设事件：甲抛掷的3次硬币中至少1次正面；事件：甲抛掷的3次硬币中有且仅有第二次是反面，判断事件和事件是否是独立的，并说明理由；
（2）若，若甲在第次抛掷的结果与乙在第次抛掷的结果相同，则称甲和乙“心有灵犀”，求在此情况下，甲和乙“心有灵犀”有且仅有2次的概率；
（3）若，求甲抛掷次硬币的正面数比乙抛掷次硬币的正面数多的概率．
21．（本题18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
已知为实数，记．
（1）当时，定义在上的奇函数满足；当时，，求的解析式；
（2）若函数为偶函数，若对于任意，关于的不等式均成立，求实数的取值范围；
（3）求证：“”是“存在正数，使得函数在处取到最小值”的充要条件．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
二、选择题
13.B 14.A 15.C 16.B
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）证明略 （3） 存在，
20．（本题16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
已知甲和乙分别依次各抛掷次和次同一枚质地均匀的硬币，甲和乙每次抛硬币均互不影响．
（1）若，设事件：甲抛掷的3次硬币中至少1次正面；事件：甲抛掷的3次硬币中有且仅有第二次是反面，判断事件和事件是否是独立的，并说明理由；
（2）若，若甲在第次抛掷的结果与乙在第次抛掷的结果相同，则称甲和乙“心有灵犀”，求在此情况下，甲和乙“心有灵犀”有且仅有2次的概率；
（3）若，求甲抛掷次硬币的正面数比乙抛掷次硬币的正面数多的概率．
【答案】（1）见解析; （2）; （3）.
【解析】法一：（1）事件A的发生的情况包括第一第三次正面，第二次反面,
即事件A包括事件B,故事件A和事件B不是独立的.
法二：
,故事件和事件不是独立的.
（2）法一：由题意知每次抛硬币的结果相互独立，且正反面概率均为,
则每次抛掷结果中，甲和乙"心有灵犀"的概率为.
则甲和乙"心有灵犀"有且仅有2次的概率为
法二：设事件C：甲和乙"心有灵犀"有且仅有2次，则.
（3）记事件C为"甲抛掷次硬币的正面数比乙抛掷次硬币的正面数多",
事件为"甲抛掷次硬币的正面数比乙抛掷次硬币的正面数多".
则根据对称性，由抛掷的正反面概率均为，可知,
从而由得.
则当事件D发生时，无论甲第次抛掷结果如何，事件C均成立.
若抛掷次后甲抛掷硬币正面数少于乙，则乙至少比甲多抛一次正面，
从而无论甲第次抛掷结果如何，事件C均不发生.
故.即所求概率为.
21．（本题18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
已知为实数，记．
（1）当时，定义在上的奇函数满足；当时，，求的解析式；
（2）若函数为偶函数，若对于任意，关于的不等式均成立，求实数的取值范围；
（3）求证：“”是“存在正数，使得函数在处取到最小值”的充要条件．
【答案】（1） （2） （3）见解析
【解析】（1）当时，,所以当时,.
所以.
（2）当函数为偶函数时，必有，解得，
经检验，此时确为偶函数.此时,令,解得,
故当时,,函数是严格减函数;
当时,,函数是严格增函数,
结合函数为偶函数,所以等价于.
化简得,即对恒成立.
令,则有当时,为严格减函数,
当时,为严格增函数,结合,
可知,解得.
（3）充分性：当时，在上是严格增函数，
且,,
设在时恒大于零,故在上是严格增函数,故,故.
又由于的图像是连续曲线,由零点存在性定理,可知存在,使得,由在上是严格增函数,可知函数有且只有一个零点,
且当时,是严格减函数,当时,是严格增函数，故函数在处取到最小值.
必要性:
当存在正数，使得函数在处取到最小值，必有
当时,在R上是严格增函数,不存在最小值,故,
所以在上是严格增函数,
由于,所以,即,故.
因此,""是"存在正数,使得函数在处取到最小值"的充要条件.
注：
1.若通过函数与函数的图像进行观察得到结论,相应给分,但不能得满分.
2.充分性证明另解:令可得,解得,
当时,,所以,当时,是严格减函数,
当时,是严格增函数.