2024-2025学年上海七宝中学高三上学期数学月考试卷及答案（2024.11）（含答案）

七宝中学2024学年第一学期高三年级数学月考
2024.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第题每题4分,第7~12题每题5分）
1.若直线与互相垂直，则______.
2.双曲线的离心率为______.
3.记为等差数列的前项和，若，则_______.
4.学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩(单位：分)分别65,60,75,78,86,84,90,94，
则这8名学生成绩的分位数是______.
5.不等式的解集为_______.
6.若对任意，，则实数的取值范围为________.
7.设是方程的两根，则________.
8.已知函数在区间上单调递减，则的最大值为________.
9.把这五个数排成一数列，要求该数列恰好先严格减后严格增，则这样的数列
有_____个.
10.我们知道“给定两个平面向量，则”.若给两
个空间向量，则__________.(请用仅含
的关系式表示结果)
11.设数列满足，则的个位数字为________.
12.已知水平面上的圆的斜二测直观图为椭圆，则该椭圆的离心率为________.
二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)
13.已知函数是定义在上的偶函数，当时，则( ).
A. B. C. D.
14.已知事件互斥，，且，则( ).
A. B. C. D.
15.已知为两条不同直线，是两个不同平面.( ).
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
16.已知复数满足，则下列三个等式中恒立
的有( )个.
①；②；③.
A. B. C. D.
三、解答题(共5道大题,其中17题14分,18题14分,19题14分,20题16分,21题18分,共计76分)
17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
如图，四边形是圆柱的轴截面，C是下底面圆周上一点，D是线段BC中点.
(1)求证：直线平面；
(2)若，求到平面距离.
18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
已知分别为三个内角的对边，且.
(1)求的大小；(2)若，且为边的中点，求长的最大值.
19.(本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分4分)
一种微生物群体可不断经过自身繁殖生存下来.设一个这种微生物为第代，经过一次繁殖后为第代，再经过一次繁殖后为第代，….设每个该种微生物每代繁殖个数相互独立且同分布，记为每个该种微生物每代繁殖个数，.
(1)已知，求；
(2)设表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，并已知是关于的方程
的最小正实根，求证：当时,，当时,；
(3)请根据你的理解说明(2)中结论的实际含义.
20.(本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分4分，第3小题满分8分)
如图，直线与抛物线相交于不同的两点，记为，线段中点为.设是与直线平行且与抛物线恰有唯一交点的直线，记该交点为.
(1)用表示点的坐标，并证明垂直于轴；
(2)求的面积(用仅含的式子表示结果)；
(3)张三同学在完成上述两小题后，分别连接，再做与分别平行且与抛物线交点唯一的直线，交点分别为，他立即写出了的面积，并认为由此可最终求出直线与抛物线所围成图形的面积.你认为张三能做到吗？若能，请你也求出该图形的面积；若不能，请说明理由.
21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
设，若数列满足：对所有,，且当时，，则称为"数列"，设，函数,数列满足
(1)若,而是数列,求的值;
(2)设,证明：存在，使得是数列，但对任意都不是数列;
(3)设,证明：对任意，都存在,使得是数列.
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.；
二、选择题
13.B； 14.C； 15.B； 16.C
15..已知为两条不同直线，是两个不同平面.( ).
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
【答案】B
【解析】若,则或或与相交，相交也不一定垂直,故错误;
若,则,故正确;
若,则或,故错误;
若,则或，故错误.故选:B.
三、解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1） （2）
19.（1）1 （2）证明略 （3）当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝；当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能。
20.如图，直线与抛物线相交于不同的两点，记为，线段中点为.设是与直线平行且与抛物线恰有唯一交点的直线，记该交点为.
(1)用表示点的坐标，并证明垂直于轴；
(2)求的面积(用仅含的式子表示结果)；
(3)张三同学在完成上述两小题后，分别连接，再做与分别平行且与抛物线交点唯一的直线，交点分别为，他立即写出了的面积，并认为由此可最终求出直线与抛物线所围成图形的面积.你认为张三能做到吗？若能，请你也求出该图形的面积；若不能，请说明理由.
【答案】（1）见解析 （2） （3）能，理由见解析
【解析】（1）由题知直线与抛物线相交于不同的两点,
联立方程,消去整理后得:
则
因为为线段中点，所以,设切线方程为,与联立可得:,对称轴为,所以有,且,综上,,即证得垂直于轴;
（2）由（1）可得：
所以
点到直线的距离,
因此
(3)由（2）知，即过抛物线割线中点平行于对称轴的直线与抛物线交点，
和割线端点连线的三角形面积等于3(2分)之割线端点横坐标之间距离的三次方，
循环做张三的方法（割圆术）能求出图形面积，具体计算如下:
设第1次作出1个,第2次作出2个,,
第次作出个个三角形，...,
第1次作出的单个割线端点横坐标之间距离为:所以单个三角形面积为
第2次作出的单个割线端点横坐标之间距离为:
所以单个三角形面积为,
第3次作出的单个割线端点横坐标之间距离为:
所以单个三角形面积为
第4次作出的单个割线端点横坐标之间距离为:
所以单个三角形面积为,
第次作出的单个割线端点横坐标之间距为:
所以单个三角形面积为,
则总面积
,故该图形的面积为.
21.设，若数列满足：对所有,，且当时，，则称为"数列"，设，函数,数列满足
(1)若,而是数列,求的值;
(2)设,证明：存在，使得是数列，但对任意都不是数列;
(3)设,证明：对任意，都存在,使得是数列.
【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析
【解析】(1),当,;
当,不符题意,综上,.
(2)当,,既不是数列，也不是数列;既不是数列，也不是数列;，既不是数列，也不是数列;
，,，只需，
即满足且当是数列，不是数列;
当,,只需
即满足且当是数列，不是数列;
综上，存在，使得是数列，但对任意都不是数列。
(3)，当有解,存在.,当,有解，存在,当,有解，存在,当,有解，存在....,
当为奇数,在,有解，存在;
当为偶数,在,有解，存在
结合函数映射性质可知，当时，，
对任意，都存在，使得是数列。