2024-2025学年上海市西中学高三上学期数学月考试卷及答案（2024.11）（含答案）

市西中学2024学年第一学期高三年级数学月考
2024.11
一、填空题
1.已知集合,则____________.
2.如图所示,弧长为,半径为1的扇形(及其内部)绕所在的直线旋转一周,所形成的几何体的表面积为____________.
3.设是虚数单位,复数为纯虚数,则实数____________.
4.已知平面向量,则在方向上的投影坐标为____________.
5.设，则方程的解集为____________.
6.某校的"希望工程"募捐小组在假期中进行了一次募捐活动。他们第一天得到15元，从第二天起，每一天收到的捐款数都比前一天多10元。要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要天______.（结果取整）
7.已知集合.若""是""的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________.
8.奇函数满足对任意都有，且，则_________.
9.直角三角形中,,点是三角形外接圆上任意一点,则的最大值为_________.
10.已知,若命题:"存在,使得"为假命题,则的最小值为_________.
11.如图所示,在平面直角坐标系中,动点以每秒的角速度从点出发,沿半径为2的上半圆逆时针移动到，再以每秒的角速度从点沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点，则上述过程中动点的纵坐标关于时间的函数表达式为_________.
12.已知定义在R上的函数存在导数，对任意的实数，都有，且当时，恒成立，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_________.
二、选择题
13.已知是三条不重合的直线，是三个不重合的平面，下列命题中的真命题
是（ ）
A.若，则 B.若,则
C.若,则 D.若，则
14.已知四条双曲线,,
关于下列三个结论的正确选项为（ ）
(1)的开口最为开阔；(2)的开口比的更为开阔；(3)和的开口的开阔程度相同.
A.只有一个正确 B.只有两个正确 C.均正确 D.均不正确
15.已知与都是定义在上的奇函数,且当时,，若恰有4个零点，则正实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
16.如图,是椭圆与双曲线的公共焦点,分别是在第二、四象限的交点，若,则与的离心率之积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
三、解析题
17.记为数列的前项和，已知是公差为的等差数列。
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求的值.
18.如图所小,等腰梯形是田正方形和两个全等的Rt和Rt组成，.现将Rt沿所在的直线折起,点移至点,使二面角的大小为.
(1)求四棱锥的体积;
(2)求异面直线与所成角的大小.
19.某商场零食区改造,如图,原零食区是区域,改造时可利用部分为扇形区域,已知米,米,区域为三角形,区域是以为半径的扇形，且。
(1)若需在区域外轮廓地面贴广告带,求广告带的总长度;
(2)在区域中,设置矩形区域作为促销展示区,若设,求当取何值时,促销展示区的面积s取到最大值，并求出s的最大值。
20.在双曲线中,分别为双曲线的左右两个焦点,为双曲线上且在第一象限内的点,的重心为，内心为。
(1)求内心的横坐标;
(2)已知为双曲线的左顶点，直线1过右焦点与双曲线交于两点，若的斜率、满足,求直线的方程;
(3)若,求点的坐标.
21.已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)求的单调区间;
(3)若方程有解，求的取值范围。
参考答案
一、填空题
1.已知集合,则_________.
【答案】
【解析】,则
2.如图所示,弧长为,半径为1的扇形(及其内部)绕所在的直线旋转一周,所形成的几何体的表面积为__________.
【答案】
【解析】如图，弧长为，半径为1的扇形，则扇形的圆心角为，则该扇形绕所在直线旋转一周得到的几何体是半径为1的半球体,该扇形绕所在直线旋转一周得到的几何体的表面积:.故答案为:.
3.设是虚数单位,复数为纯虚数,则实数__________.
【答案】2
【解析】因为，是纯虚数，所以.
故答案为:2.
4.已知平面向量,则在方向上的投影坐标为_____.
【答案】
5.设，则方程的解集为__________.
【答案】
6.某校的"希望工程"募捐小组在假期中进行了一次募捐活动。他们第一天得到15元，从第二天起，每一天收到的捐款数都比前一天多10元。要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要天__________（结果取整）
【答案】14
【解析】由题意可知，捐款数构成一个以15为首项，以10为公差的等差数列，设要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要天，
则,整理得:,
又为正整数，当时,；
当时，，的最小值为14,
即这次募捐活动至少需要14天。故答案为:14.
7.已知集合.若""是""的必要不充分条件，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】解不等式即解,
因为是减函数，所以即，解得或，
所以或,
解不等式即解，
因为是增函数，所以，解得，
所以.
因为""是""的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，
所以，所以实数的取值范围是.故答案为:.
8.奇函数满足对任意都有，且，则_________.
【答案】-e
【解析】因为,所以,
又因为为奇函数，所以，
即，则有，
所以函数是以4为周期的周期函数，
所以,
因为奇函数的定义域为，所以，
在中，令，则有，所以，
在中,令,则有,所以,
所以,故答案为：-e.
9.直角三角形中,,点是三角形外接圆上任意一点,则的最大值为__________.
【答案】12
【解析】如图建立平面直角坐标系，，
三角形外接圆,设,
则,，故答案为:12.
10.已知,若命题:"存在,使得"为假命题,则的最小值为____________.
【答案】8
【解析】因为命题："存在，使得"为假命题，则"任意,都有"为真命题,
对于,所以,
要使"任意,都有"为真命题,则,即,
因为,所以,
当且仅当,即,上式取等.所以的最小值为8。故答案为：8。
11.如图所示,在平面直角坐标系中,动点以每秒的角速度从点出发,沿半径为2的上半圆逆时针移动到，再以每秒的角速度从点沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点，则上述过程中动点的纵坐标关于时间的函数表达式为_______.
【答案】
【解析】当在大圆上半圆上运动时，，
由任意角的三角函数的定义，可得的纵坐标为；
当点在小圆下半圆上运动时,,
可得点纵坐标为.动点的纵坐标关于时间的函数表达式为.
故答案为:.
12.已知定义在R上的函数存在导数，对任意的实数，都有，且当时，恒成立，若不等式恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由,得,
记，则有，即为偶函数，
又当时,恒成立,即在上单调递增,
由,得,
于是即，
因此,即,解得,所以实数的取值范围是.
故答案为:
二、选择题
13.已知是三条不重合的直线，是三个不重合的平面，下列命题中的真命题
是（ ）
A.若，则 B.若,则
C.若,则 D.若，则
【答案】D
【解析】对于D选项，由平行的传递性可知D选项成立；
对于B选项，直线不一定相交，根据面面平行的判定定理，面面平行不一定成立，错；
对于C选项，与也有可能相交，错；
对于D选项，直线不一定在平面外，也可能在面内，故不成立，错。故选:D.
14.已知四条双曲线,,
关于下列三个结论的正确选项为（ ）
(1)的开口最为开阔；(2)的开口比的更为开阔；(3)和的开口的开阔程度相同.
A.只有一个正确 B.只有两个正确 C.均正确 D.均不正确
【答案】
【解析】以双曲线的渐近线的夹角来衡量双曲线的开口大小，用来表示四条双曲线的开口大小，容易得出，，(1)，(2)，(3)判断都错误，所以选D.
15.已知与都是定义在上的奇函数,且当时,，若恰有4个零点，则正实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】若恰有4个零点，即和有4个交点,画出函数的图象，如图，
结合图象得:,解得：，故选:C.
16.如图,是椭圆与双曲线的公共焦点,分别是在第二、四象限的交点，若,则与的离心率之积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】
【解析】设椭圆方程为,
双曲线方程为,
如下图，连接，所以为平行四边形，
由得,设,
在椭圆中，由定义可知：，由余弦定理可知：
在双曲线中，由定义可知中：：，
由余弦定理可知:
,,
,，
当且仅当时取等号，所以,所以与的离心率之积的最小值为.
故答案为：
三、解析题
17.记为数列的前项和，已知是公差为的等差数列。
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由题意,所以,当时,,
两式作差得,
所以,则数列为常数数列,且,所以;
（2）由于,
所以，数列为首项为，公比为的等比数列，。
18.如图所示,等腰梯形是由正方形和两个全等的Rt和Rt组成，.现将Rt沿所在的直线折起,点移至点,使二面角的大小为.
(1)求四棱锥的体积;
（2）求异面直线与所成角的大小.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由已知，有，所以.连接,
由,有①；
,有平面,所以,②；
由①②知,平面,所以就是四棱锥的高,
在中,.
故四棱锥的体积为：
(2)取的中点,连接,则，故既是与所成角或其补角.
在中，，则.故异面直线与所成角的大小为.
19.某商场零食区改造,如图,原零食区是区域,改造时可利用部分为扇形区域,已知米,米,区域为三角形,区域是以为半径的扇形，且。
(1)若需在区域外轮廓地面贴广告带,求广告带的总长度;
(2)在区域中,设置矩形区域作为促销展示区,若设,求当取何值时,促销展示区的面积s取到最大值，并求出s的最大值。
【答案】(1)米(2)时,平方米
【解析】(1)因为,
所以,则,
所以弧长,
所以广告带的总长度为米;
(2)如图,连接,因为,所以,
因为,所以,所以,
所以
,
因为,当,即时取得最大值,所以,
所以S的最大值为平方米。
20.在双曲线中,分别为双曲线的左右两个焦点,为双曲线上且在第一象限内的点,的重心为，内心为。
(1)求内心的横坐标;
(2)已知为双曲线的左顶点，直线1过右焦点与双曲线交于两点，若的斜率、满足,求直线的方程;
(3)若,求点的坐标.
【答案】（1）2 （2） （3）
【解析】(1)依题意,双曲线的焦点,作出的内切圆,为圆心,切点分别为,,如图，
设点的横坐标为,显然轴,，
由双曲线定义知，
解得,所以内心的横坐标为2；
(2)点,显然直线不垂直于轴,否则由双曲线对称性得,
设直线的斜率为，则直线，
由，消去得：，
显然，设，
则
,
解得，即直线，所以直线1的方程为;
(3)设点,则的重心,
因，则，而，
,
又，联立解得，
从而有,解得,即点,所以点的坐标为.
21.已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)求的单调区间;
(3)若方程有解，求的取值范围。
【答案】（1） （2) (3)
【解析】(1)由题,所以,
所以,又,所以曲线在处的切线方程为:,
即；
（2）令得，所以，令得，
所以，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
（3）因为方程有解，即方程有解，令，
则方程有解，所以有解，
记，则函数与直线有公共点，,令,
令得,令得,
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以,
所以,所以函数在上单调递增,
记,令得,
令得,所以函数在上单调递增,在上单调递减,所以,所以,
作出图象，如图：由图可知，函数与直线有公共点时，即实数的范围为.