7.2.3 同角三角函数的基本关系式 课件（共18张PPT）2024-2025学年人教B版（2019）高中数学必修第三册

(共18张PPT)
7.2.3 同角三角函数的基本关系式
第七章 三角函数
1.理解并掌握同角三角函数的基本关系式.
2.掌握运用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简、证明的方法.
若P为单位圆，与角α终边的交点坐标为(x，y)，则sin α，cos α各为何值 x与y有什么关系
sin α=y，cos α=x，x2+y2=1
问题1：同一个角的正弦、余弦、正切之间有什么关系？
提示：（1）平方关系；（2）商数关系.
同角三角函数的基本关系式
如图，设点是角的终边与单位圆的交点，过作轴的垂线，交轴于点A，则△OAP是直角三角形，且.
利用勾股定理可知： ，
结合三角函数的定义可知： .
问题2：你可以从三角函数线得到第一个基本关系式吗？
注意：
1.公式中的角一定是同角，否则公式可能不成立. 如sin230 +cos260 ≠1.
2.同角不要拘泥于形式，α， ，6α等都可以.
3.商数关系中注意限制条件. 即cosα≠0. α≠kπ+ ，k∈Z.
1.平方关系的基本变形：
2.商数关系的基本变形：
例1 (1)若sin α＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值；
(2)若cos α＝，求tan α的值；
(3)若tan α＝－，求sin α的值．
解：(1)∵sin α＝－，α是第三象限角，
∴cos α＝－＝－，tanα＝＝－×(－)＝.
(2)∵cos α＝>0，∴α是第一、四象限角．
当α是第一象限角时，sin α＝＝＝，
∴tan α＝＝；
利用同角三角函数基本关系式求值
(2)若cos α＝，求tan α的值；
(3)若tan α＝－，求sin α的值．
当α是第四象限角时，sin α＝－＝－＝－，
∴tan α＝－.
(3)∵tan α＝－<0，∴α是第二、四象限角．
由可得sin2α＝()2.
当α是第二象限角时，sinα＝；
当α是第四象限角时，sin α＝－.
方法归纳
利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：
(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系；
(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果
例2 已知 ，求下列各式的值．
例2 已知 ，求下列各式的值．
已知角α的正切值，求由sin α和cos α构成的代数式的值
(1)对分式齐次式，因为cos α≠0，一般可在分子和分母中同时除以cosnα，使所求代数式化成关于tan α的代数式，从而得解;
(2)对整式(一般是指关于sin2α，cos2α)齐次式，把分母看为“1”，用sin2α+cos2α替换“1”，从而把问题转化成分式齐次式，在分子和分母中同时除以cos2α，即可得关于tan α的代数式，从而得解.
方法归纳
利用同角三角函数关系式化简
例3 化简下列各式.
利用同角三角函数关系式证明
例4 求证2(sin6θ+cos6θ)-3(sin4θ+cos4θ)+1=0
解：左边=2[(sin2θ)3+(cos2θ)3]-3(sin4θ+cos4θ)+1
=2(sin2θ+cos2θ)(sin4θ-sin2θcos2θ+cos4θ)-3(sin4θ+cos4θ)+1
=(2sin4θ-2sin2θcos2θ+2cos4θ)-(3sin4θ+3cos4θ)+1
=-(sin4θ+2sin2θcos2θ+cos4θ)+1
=-(sin2θ+cos2θ)2+1=-1+1
=0
=右边.
1.已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)
A.－　　 B.－ C.　　 D.
2.已知α是第四象限角， ，则sin α等于(　　)
B
B
B