2024-2025学年上海南洋模范中学高三上学期数学月考试卷及答案（2024.11）（含答案）

南模中学2024学年第一学期高三年级数学月考
2024.11
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．若集合，则________．
2．已知向量,，若，则________．
3．若一元二次不等式的解集是，则的值是________．
4．直线与圆相交，所得的弦的长为________．
5．设事件,是互斥事件，且，则________．
6．设,，若，则的最大值为________．
7．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种，（用数字填写答案）
8．设，若
，则________．
9．容量为的一组数据，它的第百分位数（为1到99之间的整数）各不相同，则的最小值为________．
10．若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是________．
11．已知，且是复数，当的最大值为3，则________．
12．已知平面向量，，满足与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，向量的取值范围是________．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
14．2024年3月，树人中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛、经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（ ）
A．成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30人
B．成绩第1-100名的100人中，高一人数不超过一半
C．成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人
D．成绩第51-100名的50人中，高二人数比高一的多
15．如图，已知正三棱柱，，，分别是棱，上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A． B． C． D．
16．已知数列满足（为正整数），，设集合．有以下两个猜想：①不论取何值，总有；②若，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，则的可能取值有6个．其中（ ）．
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
三、解答题
17．如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆的半径为1，圆锥的高，三棱锥的底面是以圆锥的底面圆的直径为斜边的等腰直角三角形，且与圆锥底面在同一个平面上．
（1）求直线和平面所成角的大小；
（2）求该几何体的体积．
18．在三角形中，内角，，所对边分别为，，，已知．
（I）求角的大小；
（2）若，三角形的面积为，求三角形的周长．
19．汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车、某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、．当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，）
阶段 0、准备 1、人的反应 2、系统反应 3、制动
时间 秒 秒
距离 米 米
（I）请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间。（精确到0.1秒）
（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时（精确到1千米/小时）？
20．如图所示，由椭圆和椭圆组合而成的曲线，由图形特点，这里称曲线为“猫眼曲线”，特别地，若两个椭圆的离心率相等，则称其为“优美猫眼曲线”．
（1）已知猫眼曲线满足，，成等比数列，试判断该曲线是否为“优美猫眼曲线”；
（2）在曲线中，若，，，斜率为的直线不经过坐标原点，且与椭圆相交所得弦的中点为，与椭圆相交所得弦的中点为，证明：直线，的斜率之比为定值；
（3）在（2）的条件下，若直线的斜率，且与椭圆相切，与椭圆相交于，两点，为椭圆上异于，的任意一点，求面积的最大值．
21．对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，称是“青峰”函数，并称是的“青峰值”．
（1）试分别判断函数，和，是不是“青峰”函数？并说明理由；
（2）若是“青峰”函数，且“青峰值”为2，求实数的取值范围；
（3）证明：是“青峰”函数，并求出该函数“青峰值”的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.；
11.已知，且是复数，当的最大值为3，则________．
【答案】
【解析】设是实数,则，,
综上,勺最大值为,即有.故答案为:.
12．已知平面向量，，满足与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，向量的取值范围是________．
【答案】
【解析】设与的夹角为,则，
当,上式有最小值为,的最小值为
的最小值为3,,解得.
又,此时，，
与的夹角为,且
不妨设,
向量的取值范围是故答案为:
二、选择题
13.C； 14.D； 15.A； 16.A
15．如图，已知正三棱柱，，，分别是棱，上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】正三棱柱中,正三棱柱的所有棱长相等,设棱长为1,如图，过作,垂足点为,连接,则,
与所成的角为,且,
又,与平面所成的角为,
且①
再过点作,垂足点为,连接,又易知底面底面,
,又平面
二面角的平面角为,且,
②,又,③
由①②③得,又在单调递增,
故选:.
16.已知数列满足（为正整数），，设集合．有以下两个猜想：①不论取何值，总有；②若，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，则的可能取值有6个．其中（ ）．
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
【答案】
【解析】不妨设出数列中的一项,
①若被3除余1，则由已知可得，,
若被3除余2,则由已知可得,,
若被3除余0,则由已知可得,,
所以对对任意的,则,
所以对数列中的任一项,若,则,因为，所以，
所以数列中必存在某一项(否则与上述结论矛盾),若,结论得证,
若,则,,结论得证,若,则,得证,
所以，不论取何值，总有；故①正确;
②若是3的倍数,则,
若被3除余1,则由已知可得,，
若被3除余2，则由已知可得，,
所以连续的7项构成等比数列的公比为,
因为，所以这7项中前6项一定都量3的倍数，
而第七项一定不是3的倍数（否则构成等比数列的连接项数会多于7项)，
设第7项为,则是被3除余1或余2的正整数，则可推得,
因为,所以,或,
由递推关系式可知，在该数列的前项中，满足小于等于2022的项只有;,或，或，
所以首项的有可能取值的集合为,,
故的可能取值有6个.故②正确.故选:.
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1）；3.1秒 （2）20米/秒；72千米/小时
20．如图所示，由椭圆和椭圆组合而成的曲线，由图形特点，这里称曲线为“猫眼曲线”，特别地，若两个椭圆的离心率相等，则称其为“优美猫眼曲线”．
（1）已知猫眼曲线满足，，成等比数列，试判断该曲线是否为“优美猫眼曲线”；
（2）在曲线中，若，，，斜率为的直线不经过坐标原点，且与椭圆相交所得弦的中点为，与椭圆相交所得弦的中点为，证明：直线，的斜率之比为定值；
（3）在（2）的条件下，若直线的斜率，且与椭圆相切，与椭圆相交于，两点，为椭圆上异于，的任意一点，求面积的最大值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）
【解析】（1）因为成等比数列,所以,
此时椭圆的离心率,
所以椭圆的离心率,因为,所以,
则该曲线是"优美猫眼曲线";
(2)证明：设直线的方程为，联立，消去
并整理得此时,
所以,则,
所以,同理得,所以为定值;
(3)设直线的方程为,联立,消去
并整理得因为直线与椭圆相切,
所以,解得,不妨取,
此时直线的方程,联立,消去并整理得
设,由韦达定理得,
所以，设,
设点到直线的距离为,则当,即时，取得最大值，最大值为.
则面积最大值
21．对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，称是“青峰”函数，并称是的“青峰值”．
（1）试分别判断函数，和，是不是“青峰”函数？并说明理由；
（2）若是“青峰”函数，且“青峰值”为2，求实数的取值范围；
（3）证明：是“青峰”函数，并求出该函数“青峰值”的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析
【解析】（1）函数是"卓然"函数,因为,
当时,则有,,满足;
因为,,当时,,而,
所以不可能成立,即不存在实数和，使得成立，
所以不是"卓然"函数；
(2)由题意可得,所以有解，
即有解，对于函数，
因为
所以,)
令,则,解得,,
单调递减区间:,故值域为：。
所以实数的取值范围是.
(3)证明:因为,
设,,,
当时，恒成立，此时不存在使得成立，不合题意;
当时,因为与在上均单调递减,
所以在上单调递减，所以在上单调递增，
因为，,
所以存在使,,
当时,单调递减,
当时,单调递增,
所以
由,所以,所以
此时不存在使得成立，不合题意；
当时,若,则,从而，所以在上单调递增,
当时,设,则，
设,当时，在上单调递增，且,
所以,从而,所以,从而,
所以在上单调递增,所以，
从而,所以在上单调递增,又,
由零点存在性定理可知，存在使得,
即成立，符合题意；当时,,显然存在零点符合题意;
当时，在上单调递减，
且,所以,从而,所以,从而,
所以在上单调递减，趋于时，趋于,
存在,使得,即,
当时,上单调递增,
当时,上单调递减,
又，当趋于时，趋于,由零点存在性定理,
存在使得，即成立,符合题意;
综上所述，为"卓然"函数，该函数"卓然"取值范围是.