2024-2025学年上海高桥中学高三上学期数学月考试卷及答案（2024.11）（含答案）

高桥中学2024学年第一学期高三年级数学月考
2024.11
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．集合且的真子集的个数是________．
2．函数在上的平均变化率为________．
3．已知，，如果，那么实数的值为________．
4．已知某校高三年级共480名同学，其中男生一共288人，现在为了了解该年级学生对于该校95周年校庆活动安排的想法，按照性别进行分层随机抽样，需要抽取一个容量为40的样本进行调查，则抽取的男生人数为________．
5．已知圆锥的底面半径为3，母线长为6，则该圆锥的表面积为________．
6．展开式中的系数为________．
7，已知平面向量，满足，则________．
8．已知角，均为锐角，，，则________．
9．已知函数，则________．
10．某校需要选拔4名同学参与该校95周年校庆活动的引导工作，现在有3位高一同学、2位高二同学和1位高三同学报名参加，则每个年级都有同学被选中的概率为________．
11．已知函数，，若函数有6个不同的零点，则实数的取值范围为________．
12．已知，，…，是1，2，…，（，）满足下列性质的一个排列，性质：排列，，…，中有且仅有一个，满足性质的数列，，…，一的个数________．
二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分）
13．，中至少有一个不为零的充要条件是（ ）．
A． B． C． D．
14．在复平面内，复数对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
15．在中，已知，，点在线段上，且满足，当取最小值时，的外接圆面积为（ ）．
A． B． C． D．
16．中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”形对应着数学曲线中的双纽线．在平面上，把到两个定点，距离之积等于的动点轨迹称为双纽线，是曲线上的一个动点．则下列结论正确的个数是（ ）．
①曲线关于原点对称；
②曲线上满足的有且只有一个；
③动点到定点距离之和的最小值为；
④若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三、解答题
17．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）
已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
18．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）
如图，长方体中，，，点为的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值．
19．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）
某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改造．如图所示平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．
（1）当时，求停车场的面积（精确到0.1平方米）；
（2）写出停车场面积关于的函数关系式，并求当为何值时，停车场面积取得最大值.
20．（本题满分18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分）
给定椭圆，将圆心在坐标原点，半径为的圆称为椭圆的“伴随圆”，已知椭圆的两个焦点分别是，．
（1）若椭圆上一动点满足，求椭圆的方程与离心率；
（2）在（1）的条件下，过点作直线与椭圆只有一个交点，且截椭圆的“伴随圆”所得弦长为，求点的坐标；
（3）已知，，椭圆的“伴随圆”上的点到过两点，的直线的最短距离为，是否存在实数，，使得为．若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分）
已知函数，直线是函数在处的切线．
（1）当时，求函数的单调减区间；
（2）求证：直线不经过原点；
（3）当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示和的面积．是否存在点使得成立，若存在，这样的点有几个？若不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.；
11.已知函数，，若函数有6个不同的零点，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】作函数的图象如下,
是开口向上的二次函数，其零点个数最多为2个，
①若只有一个解，则函数最多只有4个零点，不合题意；
②若有两个解，要使函数有6个零点，
则需两个零点满足或，
(i)若为,则,此时无解;
(ii)若为,则需,即
综上,实数的取值范围为.故答案为:
12．已知，，…，是1，2，…，（，）满足下列性质的一个排列，性质：排列，，…，中有且仅有一个，满足性质的数列，，…，一的个数________
【答案】
【解析】当时,所有的排列有:,,
其中满足仅存在一个,使得的排列有:;
同理可得：；归纳出.
证明:在的所有排列,..中,若，
从个数1，中选个数从小到大排列为：,,
其余的则按从小到大的顺序排列在余下位置;满足题意的排列个数为;
若,则满足题意的排列个数为
综上
故答案为:.
二、选择题
13.D； 14.A； 15.D； 16.D
15.在中，已知，，点在线段上，且满足，当取最小值时，的外接圆面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以为坐标原点,所在的直线为轴,过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则,又,
所以所在的直线为,设,则
所以当时,最小,此时点,
因为,所以,所以点的坐标为,则,
设外接圆的半径为,由正弦定理得,
所以,所以.故选:.
16.中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”形对应着数学曲线中的双纽线．在平面上，把到两个定点，距离之积等于的动点轨迹称为双纽线，是曲线上的一个动点．则下列结论正确的个数是（ ）．
①曲线关于原点对称；
②曲线上满足的有且只有一个；
③动点到定点距离之和的最小值为；
④若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】设,则根据双纽线的定义有
故,即曲线的轨迹方程为。
用替换方程中的,原方程不变，曲线关于原点中心对称，故①正确;
若曲线上点满足,则点在的垂直平分线，即轴上，故，
代入曲线方程得,解得,所以这样的点仅有一个,故②正确;
，当且仅当时，等号成立，,故③正确;
由题意知直线与曲线一定有公共点,若直线与曲线只有一个交点,
将代入曲线方程中,方程无非零解，
则，解得或，故④正确。故选：D.
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1）证明略 （2）
19.（1）2338.3平方米 （2）
（3）当为时，停车场面积取得最大值
20.给定椭圆，将圆心在坐标原点，半径为的圆称为椭圆的“伴随圆”，已知椭圆的两个焦点分别是，．
（1）若椭圆上一动点满足，求椭圆的方程与离心率；
（2）在（1）的条件下，过点作直线与椭圆只有一个交点，且截椭圆的“伴随圆”所得弦长为，求点的坐标；
（3）已知，，椭圆的“伴随圆”上的点到过两点，的直线的最短距离为，是否存在实数，，使得为．若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2） （3）存在，理由见解析
【解析】(1)依题意,
,椭圆的方程为:,其"伴随圆"的方程为:;
(2)设直线的方程为:,联立,消去
整理得:令
解得:,直线截椭圆的"伴随圆"所得弦长为,
解得:,
点的坐标为:;
(3)结论：存在满足题意。理由如下:
过两点的直线的方程为:整理得：，
),
即
圆心到直线的距离
当时,,但,故等式不能成立;
当时,
又解得:或(舍),
综上所述,存在满足题意.
21.已知函数，直线是函数在处的切线．
（1）当时，求函数的单调减区间；
（2）求证：直线不经过原点；
（3）当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示和的面积．是否存在点使得成立，若存在，这样的点有几个？若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析
【解析】（1）当时，，定义域,,
当时,单调递减;当时,单调递增,
的单调递减区间为,单调递增区间为.
(2)依题意,,切线的斜率为,
则切线的方程为,假设切线过原点，
将代入，得，即,
则,即,令,
求导得,则在上单调递增，
于是，函数在上无零点，即假设不成立，切线不过.
(3)当时,
由(2)知,,
由,得,即,
即,整理得,
令,
求导得
当或.时,；当时，,
函数在上单调递增,在上单调递减,
函数极大值
极小值
又,,
因此函数在上有两个零点,存在点使得且有两个