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5.1 从实际问题到方程
第5章 一元一次方程
情景导入
一本笔记本1.2元.小红有6元钱，那么她最多能买到几本这样的笔记本呢
解：设小红能买到x本笔记本
那么根据题意，得：
因为1.2×5＝6，
所以小红能买5本这样的笔记本.
问题1
课外活动中，张老师组织同学们进行“猜年龄”游戏，她首先提出如下问题：
从实际问题到方程
同学们今年的年龄是13岁，我今年的年龄是45岁，经过几年我的年龄正好是你们的3倍？
（1）请尝试用自己的方法解决此问题；
问题2
从实际问题到方程
尝试—检验：
方法一
经过1年，同学们的年龄是14岁，老师的年龄是46岁，不是同学们年龄的3倍.
经过2年，同学们的年龄是15岁，老师的年龄是47岁，不是同学们年龄的3倍.
经过3年，同学们的年龄是16岁，老师的年龄是48岁，是同学们年龄的3倍.
分析—列算式
从实际问题到方程
方法二
不管过了多少年，张老师与同学们的年龄差是不变的，
根据他们现在的年龄可知，这个年龄差为45-13=32（岁）.
当张老师的年龄是同学们年龄的3倍时，他们的年龄差应该
是同学们的2倍，这时同学们的年龄是（45-13）÷2＝32÷
2＝16（岁），所以要求的年数是16-13＝3（年）.
课外活动中，张老师组织同学们进行“猜年龄”游戏，她首先提出如下问题：
从实际问题到方程
思考
同学们今年的年龄是13岁，我今年的年龄是45岁，经过几年我的年龄正好是你们的3倍？
（2）我们学习了“用字母表示数”，在这个问题中，如果用字母（例如x）表示未知数的年数，你能发现什么？
解：经过x年，老师的年龄是
（45+x）岁，
同学们的年龄是
（13+x）岁，
这时老师的年龄是同学们年龄的3倍，即老师
的年龄＝3×（同学们的年龄），于是有
45+x＝3（13+x）.
从实际问题到方程
试一试：
同学们今年的年龄是13岁，班主任李老师今年的年龄是55岁，经过几年李老师的年龄是同学们年龄的3倍？
解：经过x年，老师的年龄是
（ 45+x ）岁，
这时老师的年龄是同学们年龄的3倍，即老师
的年龄＝3×（同学们的年龄），于是有
同学们的年龄是
（ 13+x ）岁，
45+x ＝3（13+x）.
55+x
55+x
问题3
学校运动队沿校园周边的步道晨跑，甲、乙两队员同时出发，跑完一圈乙比甲多用1min.已知甲、乙队员跑步的平均速度分别是4m/s、3.5m/s.这一圈步道有多长？
我们顺着第1题（2）的思路，设步道一圈的长为xm，请你尝试写出本题满足的等式.
分析 由题意，跑完一圈乙比甲多用1min(60s),即跑完一圈
乙所用时间=甲所用时间+60，
而这时，乙所用时间为 s，甲所用时间为 s,所以
= +60
知识总结
一、方程与方程的解
上面两个问题中，“探索”得到了两个含有未知数的等式.
45+x=3（13+x）. ①
= +60. ②
1.像这样，含有未知数的等式叫做方程.
将x＝1，2，3，4，……代人方程的两边，看哪个数能使两边的值相等，这个数就是这个方程的解.
把x＝3代人方程45＋x＝3（13＋x），
左边＝45+3＝48，
右边＝3×(13+3)＝48，
因为左边＝右边，所以x＝3就是这个方程的解.
从实际问题到方程
2.使等式成立（等式左、右两边的值相等）.能使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.当方程中只有一个未知数时，方程的解也叫做方程的根.
3.求方程的解的过程，叫做解方程.
经典例题
例1
判断下列各式是不是方程，是的打“√”，不是的打“×”.
(1) -2+5=3 ( ) (2) 3x-1=7 ( )
(3) 2a+b ( ) (4) x﹥3 ( )
(5) x+y=8 ( ) (6) 2x2-5x+1=0 ( )
×
√
×
×
√
√
经典例题
例2
检验下列各括号内的数是不是它前面方程的解.
((x＝3，x＝－4)
((y＝－1，y＝2)
( (x＝0，x＝1，x＝2)
将解出的答案逐一代入等式中验算.
（1
（2）
（3）
判断一个数值是不是方程的解的步骤：
１.将数值代入方程左边进行计算；
２.将数值代入方程右边进行计算；
３.若左边＝右边，则是方程的解，反之，则不是．
经典例题
例3
根据下列问题，设未知数，列出方程：
解：设小明答对了x 道题.
（1）某次知识竞赛共20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分，小明考了68分，那么小明答对了多少道题？
（2）甲班有学生50人，乙班有学生36人，要使甲、乙两班人数相等，应如何调动？
由题意，得
5x-3(20-x)＝68.
解：设甲班调动x 人去乙班，
由题意，得
50-x＝36+x.
甲班现有（50-x）人，
乙班现有（36+x）人，
经典例题
例3
根据下列问题，设未知数，列出方程：
（3）小明父亲今年42岁，比小明年龄的4倍少10岁，则小明今年几岁？
（4）小赵为班级买三副羽毛球拍，支付了50元，找回3.5元，每副羽毛球拍的价格是多少元？
解：设小明今年x 岁.
由题意，得
4x-10＝42.
解：设每副羽毛球拍的价格为x 元.
由题意，得
3x+3.5＝50.
请同学们思考：怎样将一个实际问题转化为方程问题？
实际问题
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.
抓关键句子找等量关系
方程
设未知数列方程
审
分析题意，弄清题目中的数量关系
找
找出一个能够表示题中全部意义的相等关系
设
根据题意，设适当的未知数
列
用含有未知数的式子表示相等关系，列出方程
二、实际问题中列方程的步骤
随堂练习
练习1
下列各式中，属于方程的是（ ）
A. 2-|-5|＝-3 B. 3xy C. 2x＋3＝ D. 3x＋2＞5
练习2
下列方程中，解是x＝2的是（ ）
A. 4x＋8＝0 B. - x＋＝0 C. ＝2 D. 5-2x＝-1
练习3
根据条件“y比它的多3”列方程，正确的是（ ）
A.y＝＋3 B. y－y＝3 C. ＋y ＝2 D. y＋3 ＝
C
B
B
随堂练习
练习4
在1,2,3,4这4个数中，是方程2（x-2）＋3＝5的解的 .
练习5
小郑比妈妈小28岁，今年妈妈的年龄正好是小郑年龄的5倍.设小郑今年x岁，则可列方程为 .
练习6
检验下列方程后面大括号内所列各数是不是相应方程的解：
（1）4x＋5＝8x－3， {3,2}；
（2）2x(x＋1)＝4（x＋1）， {1,-1，2，-2}；
3
28＋x＝5x
解：（1）把x＝3分别带入方程的左右两边，左边≠右边；
把x＝2分别带入方程的左右两边，左边＝右边；
故x＝2是该方程的解.
（2）把x＝1带入方程的左右两边，左边≠右边；
把x＝-1带入方程的左右两边，左边＝右边；
把x＝2带入方程的左右两边，左边＝右边；
把x＝-2带入方程的左右两边，左边≠右边；
随堂练习
练习7
已知x＝-3是关于x的方程k（x+4）＝x＋5 的解，则k＝ .
练习8
根据下列题意设未知数，列方程：
(1)已知长方形的周长是36cm，长比宽的2倍多3cm，求长方形的宽是多少？
(2)某老师准备在期末对学生进行奖励，到文具店买了20本练习本和30支铅笔，
共花了16元，现在知道每本练习本比每支铅笔贵0.3元.求铅笔的单价是多少？
2
解：设长方形的宽为xcm,则长为（2x＋3）cm.
根据题意，得2（x＋2x＋3）＝36
解：设铅笔的单价为x元.
根据题意，得30x＋20（x＋0.3）＝16
随堂练习
(3)某产品的成本价为25元，现在按标价的8折销售，还可以有10元的利润，求此产品的标价？
(4)某工作小李单独做需要6小时完成，小王单独做需要9小时完成.现在他们两共同做了3小时，剩下的工作由小王单独做完.求小王还要用多少小时把剩下的工作完成？
解：设此产品的标价为x元.
根据题意，得80%x＝25+10
解：小王还要用x小时把剩下的工作完成.
根据题意，得（＋）×3＋x＝1第5章 一元一次方程
5.1 从实际问题到方程
新知导入
问题1 一本笔记本1.2元.小红有6元钱，那么她最多能买到几本这样的笔记本呢
解：设小红能买到x本笔记本
那么根据题意，得：1.2x＝6
因为1.2×5＝6，所以小红能买5本这样的笔记本.
问题2 课外活动中，张老师组织同学们进行“猜年龄”游戏，她首先提出如下问题：
同学们今年的年龄是13岁，我今年的年龄是45岁，经过几年我的年龄正好是你们的3倍？
请尝试用自己的方法解决此问题；
我们学习了“用字母表示数”，在这个问题中，如果用字母（例如x）表示未知数的年数，你能发现什么？
解：（2）经过x年，老师的年龄是（45+x）岁,同学们的年龄是（13+x）岁，这时老师的年龄是同学们年龄的3倍，即老师的年龄＝3×（同学们的年龄），于是有45+x＝3（13+x）.
试一试 同学们今年的年龄是13岁，班主任李老师今年的年龄是55岁，经过几年李老师的年龄是同学们年龄的3倍？
解：经过x年，老师的年龄是（55+x）岁，同学们的年龄是（13+x）岁，这时老师的年龄是同学们年龄的3倍，即老师的年龄＝3×（同学们的年龄），于是有55+x ＝3（13+x）.
问题3 学校运动队沿校园周边的步道晨跑，甲、乙两队员同时出发，跑完一圈乙比甲多用1min.已知甲、乙队员跑步的平均速度分别是4m/s、3.5m/s.这一圈步道有多长？
分析：由题意，跑完一圈乙比甲多用1min(60s),即跑完一圈
乙所用时间=甲所用时间+60，
而这时，乙所用时间为s，甲所用时间为 s,
所以 = +60
知识总结
上面两个问题中，“探索”得到了两个含有未知数的等式.
45+x=3（13+x） = +60
像这样，含有未知数的等式叫做方程.
◎将x＝1，2，3，4，……代人方程的两边，看哪个数能使两边的值相等，这个数就是这个方程的解.
把x＝3代人方程45＋x＝3（13＋x），左边＝45+3＝48，右边＝3×(13+3)＝48，因为左边＝右边，所以x＝3就是这个方程的解.
2.使等式成立（等式左、右两边的值相等）.能使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.当方程中只有一个未知数时，方程的解也叫做方程的根.
3.求方程的解的过程，叫做解方程.
典例精析
例1 判断下列各式是不是方程，是的打“√”，不是的打“×”.
(1) -2+5=3 ( × ) (2) 3x-1=7 ( √ )
(3) 2a+b ( × ) (4) x﹥3 ( × )
(5) x+y=8 ( √ ) (6) 2-5x+1=0 ( √ )
例2 检验下列各括号内的数是不是它前面方程的解.
(1)x－3(x+2)＝6+x (x＝3，x＝－4)
(2)2y －(y－1)＝3 (y＝－1，y＝2)
(3)5(x－1)+x＝1 (x＝0，x＝1，x＝2)
解：（1）x＝－4
（2）y＝2
（3）x＝1
例3 根据下列问题，设未知数，列出方程：
某次知识竞赛共20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分，小明考了68分，那么小明答对了多少道题？
解：设小明答对了x 道题.
由题意，得5x-3(20-x)＝68.
甲班有学生50人，乙班有学生36人，要使甲、乙两班人数相等，应如何调动？
解：设甲班调动x 人去乙班，甲班现有（50-x）人，乙班现有（36+x）人.
由题意，得50-x＝36+x.
小明父亲今年42岁，比小明年龄的4倍少10岁，则小明今年几岁？
解：设小明今年x 岁.
由题意，得4x-10＝42.
小赵为班级买三副羽毛球拍，支付了50元，找回3.5元，每副羽毛球拍的价格是多少元？
解：设每副羽毛球拍的价格为x 元.
由题意，得3x+3.5＝50.
知识总结
4.实际问题中列方程的步骤
审：分析题意，弄清题目中的数量关系
找：找出一个能够表示题中全部意义的相等关系
设：根据题意，设适当的未知数
列：用含有未知数的式子表示相等关系，列出方程
课堂练习
1.下列各式中，属于方程的是（ C ）
A. 2-|-5|＝-3 B. 3xy C. 2x＋3＝ D. 3x＋2＞5
2.下列方程中，解是x＝2的是（ B ）
A. 4x＋8＝0 B. - x＋＝0 C. ＝2 D. 5-2x＝-1
3.根据条件“y比它的多3”列方程，正确的是（ B ）
A.y＝＋3 B. y－y＝3 C. y＋y ＝2 D. y＋3 ＝y
4.在1,2,3,4这4个数中，是方程2（x-2）＋3＝5的解的是 3 .
5.小郑比妈妈小28岁，今年妈妈的年龄正好是小郑年龄的5倍.设小郑今年x岁，则可列方程为 28＋x＝5x .
6.检验下列方程后面大括号内所列各数是不是相应方程的解：
（1）4x＋5＝8x－3， {3,2}；
（2）2x(x＋1)＝4（x＋1）， {1,-1，2，-2}；
解：（1）把x＝3分别带入方程的左右两边，左边≠右边；
把x＝2分别带入方程的左右两边，左边＝右边；
故x＝2是该方程的解.
（2）把x＝1带入方程的左右两边，左边≠右边；
把x＝-1带入方程的左右两边，左边＝右边；
把x＝2带入方程的左右两边，左边＝右边；
把x＝-2带入方程的左右两边，左边≠右边；
故x＝-1，x＝2是该方程的解.
7.已知x＝-3是关于x的方程k（x+4）＝x＋5 的解，则k＝ 2 .
8.根据下列题意设未知数，列方程：
（1）已知长方形的周长是36cm，长比宽的2倍多3cm，求长方形的宽是多少？
（2）某老师准备在期末对学生进行奖励，到文具店买了20本练习本和30支铅笔，共花了16元，现在知道每本练习本比每支铅笔贵0.3元.求铅笔的单价是多少？
（3）某产品的成本价为25元，现在按标价的8折销售，还可以有10元的利润，求此产品的标价？
（4）某工作小李单独做需要6小时完成，小王单独做需要9小时完成.现在他们两共同做了3小时，剩下的工作由小王单独做完.求小王还要用多少小时把剩下的工作完成？
解：（1）设长方形的宽为xcm,则长为（2x＋3）cm.
根据题意，得2（x＋2x＋3）＝36
（2）设铅笔的单价为x元.
根据题意，得30x＋20（x＋0.3）＝16
（3）设此产品的标价为x元.
根据题意，得80%x＝25+10
（4）设小王还要用x小时把剩下的工作完成.
根据题意，得（＋）×3＋x＝1第5章 一元一次方程
5.1 从实际问题到方程
新知导入
问题1 一本笔记本1.2元.小红有6元钱，那么她最多能买到几本这样的笔记本呢
解：设小红能买到 本笔记本
那么根据题意，得：
因为 ，所以小红能买 本这样的笔记本.
问题2 课外活动中，张老师组织同学们进行“猜年龄”游戏，她首先提出如下问题：
同学们今年的年龄是13岁，我今年的年龄是45岁，经过几年我的年龄正好是你们的3倍？
请尝试用自己的方法解决此问题；
我们学习了“用字母表示数”，在这个问题中，如果用字母（例如x）表示未知数的年数，你能发现什么？
解：（2）经过x年，老师的年龄是 岁,同学们的年龄是 岁，这时老师的年龄是同学们年龄的 倍，即老师的年龄＝ ，于是有
.
试一试 同学们今年的年龄是13岁，班主任李老师今年的年龄是55岁，经过几年李老师的年龄是同学们年龄的3倍？
解：经过x年，老师的年龄是 岁，同学们的年龄是 岁，这时老师的年龄是同学们年龄的 倍，即老师的年龄＝ ，于是有 .
问题3 学校运动队沿校园周边的步道晨跑，甲、乙两队员同时出发，跑完一圈乙比甲多用1min.已知甲、乙队员跑步的平均速度分别是4m/s、3.5m/s.这一圈步道有多长？
分析：由题意，跑完一圈乙比甲多用 ,即跑完一圈
= + ，
而这时，乙所用时间为 s，甲所用时间为 s,
所以
知识总结
上面两个问题中，“探索”得到了两个含有未知数的等式.
45+x=3（13+x） = +60
◎将x＝1，2，3，4，……代人方程的两边，看哪个数能使两边的值相等，这个数就是这个方程的解.
把x＝3代人方程45＋x＝3（13＋x），左边＝45+3＝48，右边＝3×(13+3)＝48，因为左边＝右边，所以x＝3就是这个方程的解.
典例精析
例1 判断下列各式是不是方程，是的打“√”，不是的打“×”.
(1) -2+5=3 ( ) (2) 3x-1=7 ( )
(3) 2a+b ( ) (4) x﹥3 ( )
(5) x+y=8 ( ) (6) 2-5x+1=0 ( )
例2 检验下列各括号内的数是不是它前面方程的解.
(1)x－3(x+2)＝6+x (x＝3，x＝－4)
(2)2y －(y－1)＝3 (y＝－1，y＝2)
(3)5(x－1)+x＝1 (x＝0，x＝1，x＝2)
例3 根据下列问题，设未知数，列出方程：
某次知识竞赛共20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分，小明考了68分，那么小明答对了多少道题？
甲班有学生50人，乙班有学生36人，要使甲、乙两班人数相等，应如何调动？
小明父亲今年42岁，比小明年龄的4倍少10岁，则小明今年几岁？
小赵为班级买三副羽毛球拍，支付了50元，找回3.5元，每副羽毛球拍的价格是多少元？
知识总结
4.实际问题中列方程的步骤
课堂练习
1.下列各式中，属于方程的是（ ）
A. 2-|-5|＝-3 B. 3xy C. 2x＋3＝ D. 3x＋2＞5
2.下列方程中，解是x＝2的是（ ）
A. 4x＋8＝0 B. - x＋＝0 C. ＝2 D. 5-2x＝-1
3.根据条件“y比它的多3”列方程，正确的是（ ）
A.y＝＋3 B. y－y＝3 C. y＋y ＝2 D. y＋3 ＝y
4.在1,2,3,4这4个数中，是方程2（x-2）＋3＝5的解的是 .
5.小郑比妈妈小28岁，今年妈妈的年龄正好是小郑年龄的5倍.设小郑今年x岁，则可列方程为 .
6.检验下列方程后面大括号内所列各数是不是相应方程的解：
（1）4x＋5＝8x－3， {3,2}；
（2）2x(x＋1)＝4（x＋1）， {1,-1，2，-2}；
7.已知x＝-3是关于x的方程k（x+4）＝x＋5 的解，则k＝ .
8.根据下列题意设未知数，列方程：
（1）已知长方形的周长是36cm，长比宽的2倍多3cm，求长方形的宽是多少？
（2）某老师准备在期末对学生进行奖励，到文具店买了20本练习本和30支铅笔，共花了16元，现在知道每本练习本比每支铅笔贵0.3元.求铅笔的单价是多少？
（3）某产品的成本价为25元，现在按标价的8折销售，还可以有10元的利润，求此产品的标价？
（4）某工作小李单独做需要6小时完成，小王单独做需要9小时完成.现在他们两共同做了3小时，剩下的工作由小王单独做完.求小王还要用多少小时把剩下的工作完成？
