2024-2025学年甘肃省多校高三（上）期末联考数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年甘肃省多校高三（上）期末联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { |ln < 1}， = { | 1 ≤ ≤ 1}，则 ∩ =( )
A. { | 1 ≤ < 1} B. { | 1 ≤ < } C. { |0 < ≤ 1} D. { |0 < < }
2.在复平面内，复数9 (8+ 5 )对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2
3.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 = 6， = ，则 外接圆的半径为( )
3
A. 2√ 3 B. 4√ 3 C. 6 D. 12
4.直线 : 3 + 4 + 1 = 0被圆 : 2 + 2 4 + 6 + 4 = 0截得的弦长为( )
A. 2√ 2 B. 4√ 3 C. 2√ 3 D. 4√ 2
1 sin2 +2
5.已知tan ( ) = ，则 2 =( ) 4 2 3
13 1 26 1
A. B. C. D.
14 2 29 2
6.某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫
星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点 处，已知卫星接收天线的口径(直径)为10 ，深度
为3 ，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到顶点的距离为( )
5 25 25 5
A. B. C. D.
3 12 6 4
2 2, < 1,
7.已知函数 ( ) = { 满足 1 , 2 ∈ 且 1 ≠ 2，( 2 1)[ ( 1) ( 2)] < 0，则 的取值范 , ≥ 1
围为( )
A. (0,1) B. (1,+∞) C. (1,2] D. (0,1)∪ (1,+∞)
√ 6
8.已知正三棱锥 的体积为 , = √ 3，则该三棱锥外接球的表面积为( )
4
7 9
A. 7 B. C. 9 D.
2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收，随机从采摘好的哈密瓜中挑选了100个称重(单位： )，并整理数
据，得到如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下面结论正确的是( )
A. = 0.1
B. 估计该哈密瓜的质量不低于1.6 的比例为30%
C. 估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4 至1.6 之间
D. 估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5 至1.6 之间
10.若(2 1)9 = + ( + 1) + ( + 1)2 + + ( + 1)90 1 2 9 ，则( )
A. 0 = 3
9 B. 1 + 2 + 3 + + = 3
9
9 1
1 2 9
C. 65 = 7 × 6 D. + 2 + +
9
9 = 3 2
9
2 2 2
2
11.若函数 ( ) = sin + cos 图象的一条对称轴方程为 = ，则( )
3
√ 3 √ 3
A. = B. =
3 3
5
C. ( )图象的一条对称轴为直线 = D. ( )在( , )上单调递增
3 3 6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 2
12.椭圆 : + = 1的两个焦点为 1， 2，椭圆 上有一点 ，则 1 2的周长为 ． 16 25
13.已知向量 = ( 1,2)， = (3, )，若( ) ⊥ ，则cos , = ．
5 1
14.已知函数 ( ) = 9ln + + 2 + 7，则函数 ( )的最小值为 ；若过原点可向曲线 = ( ) +
2
1
作两条切线，则 的取值范围是 . (注：当 → 0时，ln + → +∞)

四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知等差数列{ }的前 项和为 ，且 = 3
2 + + ．
(1)求{ }的通项公式；
1
(2)若 = ，求数列{ }的前 项和 ． +1
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16.(本小题12分)
现在很多市民都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不喜欢.为了调查人们是否喜欢这种交通方式，某
同学从交通拥堵严重的 城市和交通拥堵不严重的 城市随机调查了100名市民，得到了一个市民是否喜欢
骑“共享单车”的样本，具体数据如下2 × 2列联表：
总计
喜欢 40 10 50
不喜欢 20 30 50
总计 60 40 100
(1)根据2 × 2列联表，并依据小概率值 = 0.001的独立性检验，能否认为喜欢骑“共享单车”与城市的拥
堵情况有关联？
(2)为进一步了解 城市的拥堵情况，该同学从样本中 城市的市民中按是否喜欢利用分层随机抽样的方法抽
取6人，并从这6人中选出2人代表发言，记代表发言中喜欢骑“共享单车”的人数为 ，求随机变量 的分
布列及数学期望．
2
( )
附表格及参考公式： 2 = ，其中 = + + + ．
( + )( + )( + )( + )
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.(本小题12分)
已知函数 ( ) = ( + ) ．
(1)若 ( )在 = 2处取得极值，求实数 的值；
(2)若 ( ) < 2 恒成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，侧面 为正三角形，且平面 ⊥平面 ，
// ， ⊥ ， = = 1， = 2．
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(1)证明： ⊥ ．
(2)已知 为侧棱 上一点， //平面 ．

①求 的值；

②求直线 与平面 所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
2 2
已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左，右顶点分别为 1， 2，左焦点为 ( , 0)， 为坐标原点， 1
是线段 的中点．
(1)求双曲线 的离心率．
(2)过点 且斜率不为0的直线 与双曲线 的左，右两支的交点分别为 ， ．
①若直线 的斜率为1，| | = 6，求双曲线 的方程；
②连接 并延长，交双曲线 于点 ，证明： 1 ⊥ 2 ．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】16
√ 5 1
13.【答案】 或 √ 5
5 5
14.【答案】18 9ln2；( ∞, 7)
15.【答案】解：(1)当 = 1时， 1 = 1 = 3 +2 ，
当 ≥ 2时， = 1 = 3
2 + + [3( 1)2 + ( 1) + ] = 6 3 + ，
因为数列{ }为等差数列，且 3 2 = 6，所以数列{ }的公差为6
所以 2 6 = 1，即6 × 2 3 + 6 = 3 + 2 ，
所以 = 0，故 1 = 3，
所以 = 1 + 6( 1) = 6 3．
1 1 1 1 1
(2)因为 = = = ( )， +1 (6 3)(6 +3) 18 2 1 2 +1
1 [ 1 1 1 1 1所以 = (1 ) + ( ) + + ( )]， 18 3 3 5 2 1 2 +1
1 1
= (1 ) = ． 18 2 +1 18 +9
16.【答案】解：(1)零假设为 0：市民是否喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况无关联．
2
2 100×(40×30 20×10) 50根据列联表中的数据，得 = = ≈ 16.667> 10.828=
50×50×60×40 3 0.001
．
根据小概率值 = 0.001的独立性检验，我们推断 0不成立，
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即认为市民是否喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001．
(2)根据分层随机抽样的知识可知，随机抽取的6人中喜欢骑“共享单车”的有4人，不喜欢骑“共享单车”
的有2人，
所以随机变量 的所有可能取值为0,1,2，
0 2 1 1 2 04 2 1( 4
2 8 4 2 2
= 0) = ( ) ( )2 = , = 1 = 2 = , = 2 = = ， 6 15 6 15 26 5
所以 的分布列为
0 1 2
1 8 2

15 15 5
1 8 2 4
所以 ( ) = 0× + 1 × + 2 × = ．
15 15 5 3
17.【答案】解：(1)因为 ( ) = ( + ) 在 = 2处取得极值，所以2为 ′( )的变号零点，
函数 ( ) = ( + ) 的定义域为 ，导函数 ′( ) = + ( + ) = ( + +1) ，
所以 ′(2) = ( + 3) 2 = 0，得 = 3．
′( ) = ( 2) ，所以 ( )在( ∞, 2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
所以 ( )在 = 2处取得极小值，符合题意，故实数 的值为 3．
(2)因为 > 0，所以 ( ) < 2 可转化为 + < ，即 < 恒成立．
令 ( ) = ，则 ′( ) = 1，
令 ′( ) = 0，可得 = 0，
当 < 0时， ′( ) < 0，函数 ( )在( ∞,0)上单调递减，
当 > 0时， ′( ) > 0，函数 ( )在(0,+∞)上单调递增，
所以 ( )min = (0) = 1，
故实数 的取值范围为( ∞, 1)．
18.【答案】解：(1)证明：在梯形 中，因为 = = 1， // ， ⊥ ， = 2，
所以 = = √ 2，则 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ．
因为平面 ⊥平面 且平面 ∩平面 = ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ．
(2)①设 与 的交点为 ，连接 ，
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则在直角梯形 ，易知 ，
1
因为 = 1， = 2，所以 = ．
2
因为 //平面 ，且 平面 ，平面 ∩平面 = ，
2 1
所以 // ，则 ，即 = = ，故 = ．
3 3
②如图，以 为坐标原点， ， 的方向分别为 ， 轴的正方向建立空间直角坐标系，
√ 2 √ 2 √ 2 √ 6
则 ( , , 0)， (√ 2, 0,0)， (0,√ 2, 0)， (0,0,0)， (0, , )．
2 2 2 2
1 √ 2 √ 2 √ 6因为 = ，所以 ( , , )．
3 3 3 3
设平面 的法向量为 = ( , , )，
√ 2 3√ 2 √ 2 5√ 2 √ 6
因为 = ( , , 0)， = ( , , )，
2 2 6 6 3
√ 2 3√ 2 = + = 0,
所以{ 2 2
√ 3
令 = 1，得 = (3,1, )．
√ 2 5√ 2 √ 6 3
= + + = 0,
6 6 3
设直线 与平面 所成的角为 ，
√ 2 √ 2 √ 6 √ 2 3√ 465因为 = ( , , )，所以sin = |cos , | = = ，
3 3 3 √ 10 31 155
×√
3 3
3√ 465
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
155

19.【答案】解：(1)因为 1是线段 的中点，所以 = 2 ，即 = = 2，所以双曲线 的离心率为2．
(2)
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设直线 : = ，点 ( 1 , 1)， ( 2, 2)．
=
联立{ 2 2 ，得( 2 2 2) 2 2 2 + 4 = 0．
2
2 = 1

2 2
2 2 2
+
由(1)可得( ) = = 4，化简得 2

2 = ，所以(
2 2 ) 2 2 2 + 4 = 0，
3 3
2
6 3
即(3 2 1) 2 6 + 3 2 = 0， 1 + 2 = 3 2 ， = ． 1 1 2 3 2 1
2
3
①因为直线 的斜率为1，所以 1 + 2 = 3 ， 1 2 = ． 2
| | = √ 1 + 2| 1 2| = √ 2√ 9 2 6 2 = 6，即3
2 2 2 = 6，
2
2
结合 = 2 ， 2 = ，解得 2 = 1， 2 = 3，所以双曲线 的方程为 2 = 1．
3 3
②证明： ( 2 , 2)， 1 = ( 2 + , 2)， 2 = ( 1 , 1)，
则 1 2 = ( 2 + )( 1 ) 1 2
= ( 2 + + )(
2
1 ) 1 2 = ( +1) 1 2 + ( + )( 1 + 2) ( + )
2
3 2 6
= ( 2 + 1) + ( + ) ( + )2
3 2 1 3 2 1
3 ×3 2 6 ×2
= ( 2 + 1) + ( + 2 ) ( + 2 )2
3 2 1 3 2 1
9 2( 2+1)+36 2 2 9 2(3 2 1)
= = 0，
3 2 1
所以 1 ⊥ 2 ．
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