平行线拐点模型专题练习（含解析）

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平行线拐点模型专题练习
类型1 M型模型
1.一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若∠I=28°，则∠2的度数为 ( )
A.28° B.56° C.36° D.62°
2.如图,AB∥DE,BC⊥CD,设∠ABF=α,∠CDE=β，则α与β之间的数量关系正确的是 ( )
A.α-β=90° B.α+β=90°
C.α+β=180° D.α与β没有数量关系
3.如图,已知AB∥CD,BE 和 DF分别平分∠ABF和∠CDE,2∠E-∠F=48°,则∠CDE的度数为( )
A.16° B.32° C.48° D.64°
4.黑板上有一个数学问题：如图,AB⊥BC,BC交CD于点C,AE平分∠BAD交BC于E,AE⊥DE,∠1+∠2=90°,M,N分别是BA,CD 延长线上的点,∠EAM 和∠EDN 的平分线交于点 F.下面是四位同学得到的结论：
嘉嘉:AB∥CD;琪琪:∠AEB+∠ADC=180°;薇薇:DE平分∠ADC;亮亮:∠F=135°,则 ( )
A.只有嘉嘉的结论正确 B.只有嘉嘉和琪琪的结论正确
C.只有琪琪的结论不正确 D.四个人的结论都正确
类型2 铅笔模型
5.如图,AB∥CD,则∠A+∠E+∠C=( )
A.90° B.180° C.270° D.360°
6.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A=110°，第二次拐角∠B=140°，第三次拐角是∠C，这时的道路CF恰好和第一次拐弯之前的道路AE平行,则∠C= ( )
A.170° B.160° C.150° D.140°
7.如图，已知 则∠M 与∠N之间满足的数量关系是 ( )
A.∠M=∠N B.2∠N+5∠M=720°
C.∠N+∠M=720° D.5∠N+6∠M=360°
8.已知:AB∥DE.
(1)如图(1),点C是夹在AB 和DE之间的一点,当AC⊥CD时,垂足为点C，你能求出∠A+∠D 的度数吗 这一题的解决方法有很多,例如:(i)过点 C作AB 的平行线;(ii)过点 C作 DE 的平行线;(iii)连接AD;(iv)延长AC,与DE 的反向延长线相交于一点.请你选择其中一种方法解决问题.
(2)如图(2),点( 是夹在AB 和DE之间的两点，猜想：∠A+ 并说明理由.
(3)如图(3),随着 AB 与 ED 之间点数的增加,. (不必说明理由)
类型3 弹弓模型
9.如图，直线 若 则∠A的度数为 ( )
10.如图, AM 平分∠BAP,∠PCM=2∠MCD,2∠M-∠P=10°,则∠PCM= .
类型4 牛角模型
11.某中学将国家非物质文化遗产———“抖空竹”引入特色大课间.某同学“抖空竹”时的一个瞬间动作如图(1).将图(1)抽象成图(2)的数学问题:在平面内,AB∥CD,直线DC交AE于点F.若 ，则∠DCE的度数为( )
A.75° C.115° D.120°
12.已知AB∥DE,点C在AB上方,连接BC,CD.
(1)如图(1),求证:
(2)如图(2),过点 C作 交 ED 的延长线于点 F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图(3),在(2)的条件下, 的平分线交CD于点 G，连接GB并延长至点H，若BH平分 求 的度数.
平行线拐点模型
1. D 【解析】如图,过直角顶点E作MN∥AB,交AD于点M,交BC于点N,则∠2=∠3.∵四边形ABCD 是长方形,∴AB∥CD.∵AB∥MN,∴MN∥CD,∴ ∠4=∠1=28°.∵ ∠3+∠4=90°,∴ ∠3=90°-∠4=62°,∴∠2=∠3=62°.故选 D.
2. A 【解析】过C 作 CM∥AB,如图.∵AB∥DE,∴AB∥CM∥DE,∴ ∠ABC = ∠BCM、∠MCD =∠EDC=β.∵BC⊥CD,∴∠BCM=90°-∠MCD=90°-β,∴∠ABC= 90°-β. ∵ ∠ABC+∠ABF =180°,∴90°-β+α=180°,∴α-β=90°.故选 A.
3. B 【解析】设∠ABE=∠EBF=x,∠FDE=∠FDC=γ.∵AB∥CD,∴易知∠E=∠ABE+∠CDE=x+2y,∠F=∠CDF+∠ABF=2x+y.∵2∠E-∠F=48°,∴2(x+2y)-(2x+y)=48°,∴y=16°,∴∠CDE=2y=32°,故选B.
4. C 【解析】如图,过点B 作EH∥AB交AD 于点 H,则∠1=∠AEH.∵ ∠AEH+∠DEH=90°,∠1+∠2=90°,∴∠2=∠DEH ∴EH∥CD,∴AB∥CD,∴∠1+∠3+∠4+∠2=180°,∴ ∠3+∠4=∠1+∠2=90°.∵AE平分∠BAD,∴ ∠1=∠3,∴ ∠4=∠2,∴ DE 平分∠ADC.∵∠EAM 和∠EDN 的平分线交于点
易得. ∵∠AEB+∠1=180°-90°=90°,∠1+∠2=90°,∴∠2=∠AEB.∵∠EDN+∠2=180°,而∠EDN≠∠ADC,∴∠AEB+∠ADC≠180°.故选 C.
5. D 【解析】如图,过点 E作EF∥AB,∴∠A+∠AEF=180°.∵AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠FEC+∠C=180°,∴ ∠A+∠AEF+∠FEC+∠C=360°,即∠A+∠AEC+∠C=360°,故选 D.
6. C 【解析】如图,延长 EA 至点 D. ∵ ∠EAB =110°,∴ ∠DAB =70°,∴∠C=360°-∠B-∠DAB=360°-140°-70°=150°.故选 C.
7. B 【解析】∵ 易得∠M=∠ABM+∠CDM,∠N=360°- ∠CDM),2∠N=720°-5(∠ABM+∠CDM),∴2∠N+5∠M=720°.故选 B.
8.【解】(1)选择(i).如图(1),过点C作CF∥AB.∵AB∥DE,∴CF∥DE,∴∠A+∠ACF=180°,∠DCF+∠D=180°,∴∠A+∠ACD+∠D=180°×2=360°.又∵AC⊥CD,∴∠ACD=90°,∴∠A+∠D=360°-90°=270°.(也可选择题中其他方法作答)
(2)540°.理由:如图(2),过( 作 过 作 D. =1 =540°,故答案为540.
( )°,故答案为(n+2)180.
9. A 【解析】过点A作AB∥直线a,如图.∵直线a∥b,∴AB∥直线 b.∵ ∠1=30°,∠2=50°,∴ ∠BAD =∠1=30°,∠BAC=∠2=50°,∴ ∠DAC = ∠BAC-∠BAD=50°-30°=20°,故选 A.
10.20° 【解析】∵AM平分∠BAP,∴∠BAP=2∠BAM.∵∠PCM=2∠MCD,∴∠PCD=3∠MCD.∵AB∥CD,∴易得∠M=∠BAM--∠MCD,∠P=∠BAP-∠PCD=2∠BAM-3∠MCD.∵2∠M-∠P=10°,∴2(∠BAM-∠MCD)-(2∠BAM-3∠MCD)= 10°,∴ ∠MCD = 10°,∴∠PCM=2∠MCD=20°.
11. B 【解析】如图,过点E作EG∥AB.∵AB∥CD、∴EG∥DF.∵ ∠BAE=75°,∴ ∠GEF=180°-∠BAE=105°,∴ ∠GEC=∠GEF-∠AEC=70°,∴∠DCE=180°-∠GEC=110°,故选 B.
12 (1)【证明】过点C作CM∥AB、如图(1),∴∠ABC=∠BCM.∵AB∥ED,∴CM∥ED.∴∠CDE=∠DCM.∵∠BCD+∠DCM=∠BCM、∴∠BCD+∠CDE=∠ABC.
【解】(2)∠ABC--∠F=90°,理由:过点 C 作 CN∥AB,如图(2),∴∠ABC=∠BCN.∵AB∥ED,∴ CN∥EF,∴∠F=∠FCN.∵∠BCN=∠BCF+∠FCN,∴ ∠ABC=∠BCF+∠F.∵ CF⊥BC,∴∠BCF=90°,∴∠ABC=90°+∠F,即∠ABC-∠F=90°.
(3)延长HG交EF 于点Q,过点G作GP∥EF,如图(3),∴∠BGD=∠CGQ,∴∠BGD-∠CGF=∠CGQ-∠CGF=∠FGQ.∵AB∥DE,∴∠ABH=∠EQG.∵GP∥EF,∴∠EQG=∠PGQ,∠EFG=∠PGF,∴∠PGQ=∠ABH.
∵∠FGQ =∠PGQ-∠PGF,∴ ∠FGQ =∠ABH-∠EFG. ∵ BH 平分∠ABC. FG 平分
由(2)可知
即∠BGD-∠CGF=45°.