2024-2025学年上海七宝中学高一上学期数学月考试卷及答案（2024.12）（含答案）

七宝中学2024学年第一学期高一年级数学月考
2024.12
一、填空题（本大题满分54分）
1.若函数在上是严格减函数,则实数的取值范围是________.
2.函数的定义域是_______.
3.函数的图像的对称中心是_______.
4.已知，则实数的取值范围是_______.
5.已知函数是偶函数,则实数_______.
6.若直线与函数图像有两个公共点,则实数的取值范围
是_______.
7.若关于的方程在内有解，则实数的取值范围
是_______.
8.已知函数的值域为,则实数的取值范围是_______.
9.设函数关于的方程有三个不等实根,且,则的取值范围是_______
10.对于方程组，其中，则方程组的解为_______
11.已知函数，其中，若有2个不同实数根，则的取值范围是_______
12.已知函数在区间是增函数，且，若,则的最大值为_______.
二、选择题（共4题，题每题4分，题每题5分，满分18分）
13.下列图形中，可以表示函数的图像是（ ）
A. B.
C. D.
14.已知,有,则实数的值有（ ）个
A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个
15.已知函数，若实数满足，且，则下列说法不正确的是（ ）
A. B.不存在最小值，但是存在最大值
C. D.对于任意符合条件的,都有
16.已知常数,函数,
命题P：对任意的，都有成立的充要条件为；
命题Q：若方程无实数解，则方程也一定没有实数解。则以下说法正确的是（ ）
A.命题P为真命题，命题为真命题
B.命题P为假命题，命题Q为真命题
C.命题P为真命题，命题Q为假命题
D.命题P为假命题，命题Q为假命题
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分,解答要有论证过程与运算步骤）
17已知函数，常数
（1）讨论的奇偶性，并说明理由；
(2)若,将的图像向左平移一个单位,再向上平移两个单位得到的图像,求的解析式.
18.已知函数,其中常数满足.
（1）若，判断函数的单调性，并用定义进行证明；
（2）若，求时的取值范围。
19.入秋以来，某市多有雾 天气，空气污染较为严重，市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调保研究后发现，每一天中空气污染指数与时刻（时）的函数关系为,其中为空气治理调节参数,且.
(1)若,求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低;
(2)规定每天中的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数应控制在什么范围内？
20.已知函数是奇函数.(e是自然对数的底)
（1）求实数的值;
（2）若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围;
（3）设，对任意，若以为长度的线段可以构成三角形时，均有以，为长度的线段也能构成三角形，求实数的最大值。
21.已知非空集合，函数的定义域为，若对任意且，不等式恒成立，则称函数具有"QB"性质。
（1）当，若具有"QB"性质，请直接写出实数的最大值（不要求计算过程）
（2）当，若具有"QB"性质，求的取值范围；
（3）当，若为整数集，且具有"QB"性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的的值.
七宝中学2024学年第一学期高一年级数学月考
2024.12
一、填空题（本大题满分54分）
1.若函数在上是严格减函数,则实数的取值范围是________.
【答案】
2.函数的定义域是_______.
【答案】
3.函数的图像的对称中心是_______.
【答案】
4.已知，则实数的取值范围是_______.
【答案】
5.已知函数是偶函数,则实数_______.
【答案】2024
6.若直线与函数图像有两个公共点,则实数的取值范围
是_______.
【答案】
7.若关于的方程在内有解，则实数的取值范围
是_______.
【答案】
8.已知函数的值域为,则实数的取值范围是_______.
【改编钥匙第84页第14题】
【答案】
9.设函数关于的方程有三个不等实根,且,则的取值范围是_______
【答案】
10.对于方程组，其中，则方程组的解为_______
【答案】或
11.已知函数，其中，若有2个不同实数根，则的取值范围是_______
【春考2021年第20题第二问】
【上海春考2021年第20题】已知函数.
（1）若，求函数的定义域；
（2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围;
（3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围。
解法一：由题知有2个不同实数根，
所以,设，此时与一一对应，
所以关于的方程有2个不同实数根等价于
关于的方程有2个不同实数根，
整理得有2个不同实数根，同时；
解法二:,则,显然这里
若,则,于是,则有两个正解,结合耐克函数的的图
图像可知;若，则，结合，则有两个负解，但在单调递减，故矛盾；综上【
答案】
12.已知函数在区间是增函数，且，若,则的最大值为_______.
【答案】2024
【解析】由题意可知若；
若,
等号成立当且仅当
若,则，矛盾
若,则
等号成立当且仅当
二、选择题（共4题，题每题4分，题每题5分，满分18分）
13.下列图形中，可以表示函数的图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A.
14.已知,有,则实数的值有（ ）个
A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个
【答案】D.
15.已知函数，若实数满足，且，则下列说法不正确的是（ ）
A. B.不存在最小值，但是存在最大值
C. D.对于任意符合条件的,都有
【改编周末卷11.22第7题】
【答案】B.
16.已知常数,函数,
命题P：对任意的，都有成立的充要条件为；
命题Q：若方程无实数解，则方程也一定没有实数解。则以下说法正确的是（ ）
A.命题P为真命题，命题为真命题
B.命题P为假命题，命题Q为真命题
C.命题P为真命题，命题Q为假命题
D.命题P为假命题，命题Q为假命题
【答案】B.
【解析】
而,则恒成立,于是，即不是充要条件，命题P为假命题
方程无实数解，结合，则恒成立，于是，故方程没有实数解，命题Q为真命题
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分,解答要有论证过程与运算步骤）
17已知函数，常数
（1）讨论的奇偶性，并说明理由；
(2)若,将的图像向左平移一个单位,再向上平移两个单位得到的图像,求的解析式.
【解析】（1）定义域为
当时,,所以为偶函数;
当时,，且，所以既不是奇函数也不是偶函数。
(2),则.
18.已知函数,其中常数满足.
（1）若，判断函数的单调性，并用定义进行证明；
（2）若，求时的取值范围。
【答案】(1)任意，则，，函数在上严格递增
(2)当时,,则;
当时,,则.
19.入秋以来，某市多有雾 天气，空气污染较为严重，市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调保研究后发现，每一天中空气污染指数与时刻（时）的函数关系为,其中为空气治理调节参数,且.
(1)若,求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低;
(2)规定每天中的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数应控制在什么范围内？
【解析】(1),令,解得,因此一天中第4个时刻该市的空气污染指数最低,此时污染指数为2.
(2)令
当时,严格递减,故
当时,严格递增,故
联立,解得,因此调节参数应控制在范围.
20.已知函数是奇函数.(e是自然对数的底)
（1）求实数的值;
（2）若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围;
（3）设，对任意，若以为长度的线段可以构成三角形时，均有以，为长度的线段也能构成三角形，求实数的最大值。
【答案】（1）因为是奇函数，且定义域为R，所以，
即，解得。经检验，此时是奇函数,所以.
（2）由（1）知,
由时,恒成立,得,
因为,所以,
设，
因为,当且仅当时,等号成立,又,所以,
故,所以.
（3）由题意得：不妨设，则，
由为长度的线段可以构成三角形，则，
以为长度的线段也能构成三角形，
即时，必有成立，注意到，若，即时，必有成立，即否则若,
可设,取,满足,
但，以为长度的线段不能构成三角形，
故。
22.已知非空集合，函数的定义域为，若对任意且，不等式恒成立，则称函数具有"QB"性质。
（1）当，若具有"QB"性质，请直接写出实数的最大值（不要求计算过程）
（2）当，若具有"QB"性质，求的取值范围；
（3）当，若为整数集，且具有"QB"性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的的值.
【答案】数形结合可知的最大值为-4。
(2)由题意可得,则对于任意的,
不等式恒成立,则恒成立，
则,所以的取值范围为.
（3）因为为整数集且具有"QB"性质的函数均为常值函数,
若,令,不等式恒成立,但不为常值函数,
若,①当,此时,可取
②当,此时,则
因为，故中间的""都是"="，于是恒成立，，
则为常值函数
(3)当,
因为，故中间的""都是""，于是恒成立，
则为常值函数