2024-2025学年上海行知中学高一上学期数学月考试卷及答案（2024.12）（含答案）

行知中学2024学年第一学期高一年级数学月考
2024.12
一、填空题（本题满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分）
1．集合，，则________．
2．已知，则“”是“”的________条件．
3．函数的值域________．
4．已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是________．
5．已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为________．
6．若函数在上是严格增函数，则实数的取值
范围________．
7．若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是________．
8．已知函数，则不等式的解集为________．
9．已知函数的值域是，当时，实数的取值范围是________．
10．已知定义在上的函数满足，对任意的实数，且，，则不等式的解集为________．
11．已知集合具有性质：对任意、，与至少一个属于．记，则________．
12．设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“一单调增函数”．对于“—单调增函数”，有以下四个结论：
①“—单调增函数”一定在上单调递增；
②“—单调增函数”一定是“—单调增函数”（其中，且）；
③函数是“—单调增函数”（其中表示不大于的最大整数）；
④函数不是“—单调增函数”．
其中，所有正确的结论序号是________．
二、选择题（本题满分18分，13-14每题4分，15-16每题5分）
13．下列方程中，不能用二分法求近似解的为（ ）
A． B． C． D．
14．若函数的定义域和值域分别为和，则组成单调函数的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
15．已知函数，下列命题中错误的是（ ）
A．，使得是偶函数 B．，都不是上的单调函数
C．，使得有三个零点 D．若的最小值是，则
16．给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作．设函数，
①函数为的严格增函数; ②函数不是偶函数
③函数的最大值为; ④函数有无数个零点
其中真命题的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
三、解答题（本大题满分78分，共有5题）
17．（满分14分）已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若是必要条件，求实数的取值范围．
18．（满分14分，第1小题3分，第2小题4分，第3题7分）
已知函数．
（1）若，判断在上的单调性，并用定义证明；
（2）若，且，求的取值范围；
（3）设函数，若对任意的，总有，使得，求的取值范围．
19．（满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
某机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行试验，研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同：若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间（单位：小时）满足关系式+（，为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间（单位：小时）满足关系式，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．
（1）若，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；
（2）若小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于6毫克/升，求正数的取值范围．
20．（满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3题8分）
设二次函数．
（1）若函数是定义在上的偶函数，求该函数的零点；
（2）若，，求的最小值；
（3）若，且存在，使得在区间上的值域也为，求实数的取值范围．
21．（满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3题8分）
若函数与区间同时满足：①区间为的定义域的子集，②对任意，存在常数，使得成立，则称是区间上的有界函数，其中称为的一个上界．（1）试判断函数，是否为上的有界函数？并说明理由．
（2）已知函数是区间上的有界函数，求函数在区间上所有上界为M构成的集合
（3）若函数，问：在区间上是否存在上界？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1.； 2.必要非充分； 3. 4. 5.；
6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.②③④；
11.已知集合具有性质：对任意、，与至少一个属于．记，则________．
【答案】
【解析】因为
具有性质,所以.,则，则，
又因为,所以,
又因为,所以,则,
所以,
所以
即,
所以,则
12.设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“一单调增函数”．对于“—单调增函数”，有以下四个结论：
①“—单调增函数”一定在上单调递增；
②“—单调增函数”一定是“—单调增函数”（其中，且）；
③函数是“—单调增函数”（其中表示不大于的最大整数）；
④函数不是“—单调增函数”．
其中，所有正确的结论序号是________
【答案】②③④
【解析】①例如，定义域为，存在，对于任意，都有，但在上不单调递增，①错误;
②因为是-单调增函数,所以存在,使得对于任意,
都有,因为，所以，
故,即存在实数,使得对于任意,都有,故是-单调增函数,②正确;
③，定义域为，当时，对任意的,都有,即成立,所以是-单调增函数,③正确;
④当时,,若,则不满足,
故函数不是"-单调增函数",④正确.故答案为:②③④.
二、选择题
13.C； 14.B； 15.D； 16.A
15.已知函数，下列命题中错误的是（ ）
A．，使得是偶函数 B．，都不是上的单调函数
C．，使得有三个零点 D．若的最小值是，则
【答案】D
【解析】当时,,定义域为R,
且,故此时为偶函数,A正确;
当时,,开口向上,对称轴为,
当时,,开口向上,对称轴为,
即,
且,即在分段处函数值相等,
由于的对称轴在的对称轴的左侧,
故都不是R上的单调函数,B正确;
当时,,
若,即时,当时,令,解得:,当时,
令,解得:,均符合要求,
综上：此时函数有3个零点，故C正确；
由B选项可知的最小值在或处取到,
当时,函数最小值在处取到,
由,解得:（舍）或1,故满足题意;
当时,函数最小值在处取到,
由,解得:或2（舍）,故满足题意,
当时,函数最小值在或处取到,故D错误。
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1）证明略 （2） （3）
19.（1）小白鼠第2小时血液中药物的浓度最高，最大值为8 （2）
20.设二次函数．
（1）若函数是定义在上的偶函数，求该函数的零点；
（2）若，，求的最小值；
（3）若，且存在，使得在区间上的值域也为，求实数的取值范围
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）因为函数是定义在上的偶函数，且，
所以，解得，所以,定义域为.
令即为该函数的零点;
(2)由,，所以,
当时,,当且仅当即时等号成立；
当时,,当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为;
（3）当时，其图象开口向上,对称轴为,
所以函数在区间上单调递减,由于,
且在区间上的值域也为,所以,即,
①-②化简可得③,将③代入①、②
可得是关于的一元二次方程在上的两个不等实根，所以其中,
代入化简可得,即实数的取值范围是.
21.若函数与区间同时满足：①区间为的定义域的子集，②对任意，存在常数，使得成立，则称是区间上的有界函数，其中称为的一个上界．
（1）试判断函数，是否为上的有界函数？并说明理由．
（2）已知函数是区间上的有界函数，求函数在区间上所有上界为M构成的集合
（3）若函数，问：在区间上是否存在上界？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析
【解析】(1)不是上的有界函数，是上的有界函数
(2)∵,
∴在区间单调递增,
所以上界构成的集合为.
(3),
当时,,此时的取值范围是,
当时,在上是严格单调递减函数,
其值域为,
故,此时的取值范围是,
当时,，若在上是有界函数,
则区间为定义域的子集，所以恒不为0,
所以或,解得:或,
在上是单调递增函数,此时的值域为,
①当,即或时，,
此时的取值范围是,
②当,即时，，,此时的取值范围是,
综上：当时，存在上界，;
当或时,存在上界,;
当时，存在上界，,
当时,此时不存在上界.