7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 课件（共19张PPT）2024-2025学年人教B版（2019）高中数学必修第三册

(共19张PPT)
7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
1.通过分析弧长与半径的比值理解弧度的意义.
2.掌握弧度与角度之间的换算关系，能正确地进行弧度与角度之间的转换.
3.理解弧长与扇形面积公式，会用弧长与扇形面积公式求解有关问题.
问题：结合生活中常见的汽车仪表盘，说一说，图中两圈不同数字的含义？
外圈数字单位是“千米/小时” ；
内圈数字是英制，单位为“英里/小时”.
思考：参照上述事例，说一说，角的度量是否也能用不同的单位制呢？
回顾：用度作单位来度量角的单位制叫做角度制；
思考：说一说，弧长与半径之间存在怎样的关系？
O
A
B
α
P
P1
l =
如图，设 α = n°，OP = r，点P所形成的圆弧 PP1 的长为l ；则：

问题：如图，在射线OA上任取一点Q（不同于点O），OQ=r1，在旋转过程中，点Q所形成的圆弧QQ1的长为l1. l1与r1的比值是多少？你能得出什么结论？

O
A
B
α
P
P1
Q1
Q
= n
由：l1 = ，得：
结论：圆心角 α 所对的弧长与半径的比值，只与 α 的大小有关；
即：这个比值随α的确定而唯一确定.
概念讲解
弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1 rad．
以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制．
注意：(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角α＝－3.5 rad可写成α＝－3.5．而用角度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略．
(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小
无关的定值．
任意角：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，任一已知角α的弧度数的绝对值： (l为弧长，r为半径).
练习1：下列各说法中，错误的说法是(　　)
A.半圆所对的圆心角是π rad
B.周角的大小等于2π
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
D
思考：结合前面的汽车仪表盘事例，我们可以知道千米和英里之间存在一定的换算关系，那么角度制、弧度制之间也存在这样的换算关系吗？如果存在，又该如何换算呢？
x
y
O
由 |α| = 可知，周角的弧度数为：α = = 2π rad；
故 360° = 2π rad， 180° = π rad.
注意：上述 180° 是对应 π rad，而不是对应 实数 π.
角度与弧度的换算公式：
180°= π rad
1°= rad ≈ 0.017 45 rad
1 rad = ()°≈ 57.30°
角度数 = 弧度数× ()°
弧度数 = 角度数×
例1：已知角α＝－2 024°.
(1)将α改写成φ＋2kπ(k∈Z，0≤φ＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)在区间[－2π，4π)上找出与α终边相同的角．
解：(1)因为α＝－2 024°＝－6×360°＋136°，
且136°＝136×＝，
所以α＝－12π＋，故α是第二象限角．
例1：已知角α＝－2 024°.
(2)在区间[－2π，4π)上找出与α终边相同的角．
(2)与α终边相同的角可表示为θ＝2kπ＋，k∈Z，
又θ∈[－2π，4π)，所以k=-1，0，1，
将k值分别代入θ＝2kπ＋，k∈Z得θ＝-，，
设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则
α为度数 α为弧度数
扇形的弧长 l＝____________ l＝________
扇形的面积 S＝____________ S＝________＝________
αr
lr
αr2
例2：如果一扇形的圆心角为60°，半径等于3 cm，则该扇形的弧长为________cm，面积为________cm2.
解析：圆心角为60°，即等于，
由弧长公式可得l＝αr＝×3＝π，
由扇形面积公式可得S＝lr＝×π×3＝.
π
π
例3：用30 cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的圆心角为α，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l＋2r＝30，
∴l＝30－2r，从而S＝·l·r＝(30－2r)·r＝－r2＋15r＝－(r－)2＋.
∴当半径r＝ cm时，l＝30－2×＝15 cm，扇形面积的最大值是 cm2，这时α＝＝2 rad.
∴当扇形的圆心角为2 rad，半径为 cm时，面积最大，为 cm2.
1．1 080°等于(　　)
A．1 080 B． C． D．6π
A
D
3.与－660°角终边相同的最小正角是________．(用弧度制表示)
4.若2 rad的圆心角所对的弧长是4cm，则这个圆心角所在扇形的面积为 .
4cm2
1.明确1弧度的含义是掌握本节问题的关键.
2.弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形.
3.掌握弧度制下的弧长公式与扇形面积公式.