7.2.1 三角函数的定义 课件（共20张PPT） 2024-2025学年人教B版（2019）高中数学必修第三册

(共20张PPT)
7.2.1 三角函数的定义
第七章 三角函数
1.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.
2.会求角的正弦、余弦、正切值.
3.掌握三角函数在各象限内的符号.
回顾：初中学过的锐角三角函数的定义是什么？
在直角三角形ABC中，角C是直角，角A为锐角，则用角A的对边BC，邻边AC和斜边AB之间的比值来定义角A的三角函数.
问题1：若α∈(0，)，点P(3，4)在角α的终边上，由此能否求出sin α，cos α，tan α的值 若能求出，简述过程；若不能，请说明理由.
能.过点P作x轴的垂线，垂足为点M，则有OM=3，MP=4，OP==5，故sin α=，cos α=，tan α= .
问题2：上题中，若在角α的终边上另取一个不同于坐标原点的点P'，则sin α，cos α，tan α的值有变化吗
没有变化.
问题3：当α为任意角时，能否用上述方法求sin α，cos α，tan α的值
P
A
α
x
y
O
设A(l，m)，P( x，y)，则OP= ，
OA= .
因为A、P在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，因此得:
x
y
O
P(x,y)
α的终边
对于任意角α来说，设P（x，y）是α终边上异于原点的任意一点，
r＝ ，称 为角α的正弦，记作sin α；
称 为角α的余弦，记作cos α，因此sin α＝ ，cos α＝ ．
角α的正弦、余弦、正切都称为α的三角函数．
当角α的终边不在y轴上时，称 为角α的正切，记作tan α，即tan α＝ ．
概念讲解
思考：三角函数是以什么为自变量，是以什么为函数值的函数？正弦、余弦、正切的定义域分别是什么？
正弦、余弦、正切函数都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.(统称为三角函数)
弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系.
三角函数可以看成以实数为自变量的函数.
三角函数的定义域
三角函数 定义域
sin α
cos α
tan α
R
R
例1 已知角α的终边上一点P(1，-)，求sin α，cos α，tan α的值.
例2 (1)若α＝－，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.
(2)若角θ的终边过点P(a，8)，且cos θ＝－，则a的值是(　　)
A．6 B．－6
C．10 D．－10
解析:(1)因为角－的终边与单位圆交于点P(，－)，
所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
－
－
(2)由任意角的三角函数的定义可知＝－，解得a＝±6.
显然a＝6时不成立，所以a＝－6.
B
方法总结
求任意角α的三角函数的步骤：
（1）取终边上一点P(x，y)；
（2）求r， ；
（3）利用公式求sin α，cos α，tan α.
讨论：不求值，你能判断sin(-)，cos(-)，tan(-)的符号吗？
一全正、二正弦、三正切、四余弦
如图，将三种三角函数的值在各象限的符号填入相应位置的括号中，并说出填写的依据.
x
y
O
sin α
（ ）
+
（ ）
（ ）
x
y
O
cos α
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
x
y
O
tan α
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
+
–
–
+
–
+
+
+
–
–
–
思考：当角α的终边位于坐标轴上时，该角的正弦、余弦与正切的符号是什么？
sin α cos α tan α
x轴正半轴 = 0 ＞0 = 0
x轴负半轴 = 0 ＜0 = 0
y轴正半轴 ＞0 = 0 不存在
y轴负半轴 ＜0 = 0 不存在
例3 判断下列各式的符号.
(1)sin 1 020°cos 1 021°tan 1 022°;
(2)tan 191°-cos 191°;
(3)sin 2cos 3tan 4.
解:(1)∵1 020°=2×360°+300°，1 021°=2×360°+301°，
1 022°=2×360°+302°，∴它们都是第四象限角，
∴sin 1 020°<0，cos 1 021°>0，tan 1 022°<0，
∴sin 1 020°cos 1 021°tan 1 022°>0.
(2)∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0，
∴tan 191°-cos 191°>0.
(3)∵<2<π，<3<π，π<4<，
∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，
∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，
∴sin 2cos 3tan 4<0.
(2)tan 191°-cos 191°;
(3)sin 2cos 3tan 4.
例4 设 sin θ < 0 且 tan θ > 0，确定 θ 是第几象限角.
解：因为 sin θ < 0，所以 θ 可能是第三、四象限的角；
又 tan θ > 0，θ 可能是第一、三象限的角；
综上所述，θ 是第三象限的角.
根据今天所学，回答下列问题：
（1）三角函数的定义是什么
（2）在三角函数中，任意角 α 分别需要满足怎样的条件？
（3）在三角函数中，角的终边与三角函数的符号有什么关系？
1.函数 的值域是(　　 ) 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
A.{－1，1} B.{－1，1，3}
C.{－1，3} D.{1，3}
2.已知角θ的终边上有一点P(－4a, 3a)(a≠0),则2sin θ+cos θ的值是(　　)
A. B.
C. 或 D.不确定
C
C
3.设A是第三象限角，且|sin |= －sin ，则 是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
4.若sin θ·cos θ＞0, 则θ是第 象限的角.
D
一、三