7.2.2 单位圆与三角函数线 课件（共19张PPT） 2024-2025学年人教B版（2019）高中数学必修第三册

(共19张PPT)
第七章 三角函数
7.2.2 单位圆与三角函数线
人教B版(2019)必修第三册
1.理解单位圆的概念.
2.理解三角函数线的定义并能运用三角函数线解决相关问题.
什么是圆 圆的两大要素是什么
平面内到定点的距离等于定长的点的集合称为圆；圆心和半径是圆的两大要素.
问题1：如图，若选取的 P 点的坐标满足 x2 + y2 = 1，说说其中 x2 + y2 = 1 的几何意义是什么？
因为 x2 + y2 = 1 可化为 = 1，
因此 P (x，y) 到原点 (0，0) 的距离为 1，
即 P (x，y) 的轨迹是以原点 (0，0) 为圆心，1 为半径的圆.
x
y
O
P
x2 + y2 = 1
一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足 x2 + y2 = 1 的点组成的集合称为单位圆（即以原点 (0，0) 为圆心，1 为半径的圆）.
x
y
O
P
x2 + y2 = 1
(1，0)
问题2：若角 α 的终边与单位圆的交点为 P，则 α 的正弦与余弦的表达式有什么变化？
因为 r = = 1，所以 sin α = y，cos α = x；
所以 点 P (x，y) 的坐标可写成 (cos α，sin α)，
即角 α 的余弦和正弦分别等于角 α 终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.
问题3：你能给出任意角正弦和余弦的一个直观表示吗？
如图，过P作PM垂直x轴于点M，
可以直观地表示，称为角的余弦线;
可以直观地表示，称为角的正弦线.
o
P（x,y）
x
M
y
若 α 的终边不在 y 轴上，且 P (x，y) 是 α 终边上异于原点的任意一点，则 tan α = ；取坐标满足 x = 1 的点 P，则 tan α = y.
如图，设 α 的终边与直线 x = 1 交于点 T，则称
为角 α 的正切线.
x
y
O
T
A
1
α 的终边
思考：角α是第二象限的角时能否找到一个垂直于x轴的向量，使其数量为？
y
o
α的终边
A1
T1（-1，y1 ）
A
·
x
取T1的坐标为（-1，y1），则
tanα=
追问：能否找到一个以A点为起点在过A的切线上的向量，使这一向量的数量为 ？
T′
角终边的反向延长线与切线交点为T′
一般结论：角α的正切等于角α的终边或其反向延长线与直线的交点的纵坐标.
正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线.
例1 作出- 的正弦线、余弦线和正切线.
解：在直角坐标系中作单位圆，如图，
以Ox轴为始边作-角，角的终边与单位圆交于点P，
作PM⊥Ox轴，垂足为M，
由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，
则sin -＝MP，cos -＝OM，tan -π＝AT，
即-的正弦线为，余弦线为，正切线为.
方法归纳
1．作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．
2．作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线．
例2 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边.
解:(1)作直线y=交单位圆于点P，Q，则OP与OQ为角α的终边，如图①.
(2)作直线x=-交单位圆于点M，N，则OM与
ON为角α的终边，如图②.
(3)在直线x=1上截取AT=2，其中A的坐标为(1，0).设直线OT与单位圆交于点C，D，则OC与OD为角α的终边，如图③.
例3 cos 1，sin 1，tan 1的大小关系是(　　)
A.sin 1C.cos 1解析:作出单位圆，用三角函数线进行求解.
如图所示，有OMD
变式：利用三角函数线比较下列各组数的大小：
解：如图，画出角 与 的正弦线、余弦线、正切线，
sin ＝M1P1，sin ＝M2P2，tan ＝AT1，tan ＝AT2，
cos ＝OM1，cos ＝OM2，
由图形观察可得：M1P1>M2P2，AT1OM2，
∴(1)sin >sin ；(2)tan cos .
利用单位圆中的三角函数线比较三角函数值的大小时，分三步:
(1)作出角的终边与单位圆的交点.
(2)作出三角函数线.
(3)比较三角函数线的长度，同时要注意方向.
方法归纳
1.下列四个命题中(1)α一定时，单位圆中的正弦线一定；（2）单位圆中有相同正弦线的角相等；（3）α与α+π有相同的正切线；（4）具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上.不正确的命题个数是(　　 ) 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知α是第一象限角，则下列等式中可能成立的是(　　)
A.sin α+cos α=1.2 B. sin α+cos α=-0.9
C.sin αcos α=1.3 D.sin α+cos α=-1.2
C
A
3.角和角有相同的(　　)
A．正弦线 B．余弦线
C．正切线 D．不能确定
4.(多选)下列不等式成立的是(　　)
A.sin 1C.tan 1C
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