7.2.3 同角三角函数的基本关系式 课件（共19张PPT） 2024-2025学年人教B版（2019）高中数学必修第三册

(共19张PPT)
7.2.3 同角三角函数的基本关系式
人教B版(2019)必修第三册
1.理解并掌握同角三角函数的基本关系式.
2.会利用同角三角函数的基本关系式解决相关问题.
当角α取0°，30°，45°，60°时，分别计算式子sin2α+cos2α，，tan α的值.
从中你发现了什么规律
问题：sin2α+cos2α=1是否对任意角都成立 =tan α当α≠kπ+，k∈Z时是否都成立
是
如何证明呢
如图，设点 P(x，y)是角 α 的终边与单位圆的交点. 过 P 作 x 轴的垂线，交 x 轴于点M，则 △OMP 是直角三角形，且 OP = 1.
已知：sin α = ，cos α = ，△OMP 是直角三角形；
根据勾股定理：OM 2 + MP 2 = 1，即 x12 + y12 = 1；
∴ sin2α + cos2α = 1；
又 tan α = ，∴ tan α = ；
x
y
O
A (1，0)
α
P
1
M
同角三角函数的基本关系
平方关系:
sin2α + cos2α = 1
（当 α 的终边与坐标轴重合时，同样成立）
商数关系:
tan α =
（根据定义，当 ≠ kπ + ( k∈Z ) 才成立）
总结：同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1，商等于角 α 的正切.
例1 已知 ，求角α的余弦和正切．
解：因为，所以是第三、四象限角.
当α是第三象限角时，
，;
当α是第四象限角时，
，.
变式：已知 ，求角α的正弦和余弦．
例2 (1)已知sin α＋cos α＝－，0<α<π，求sin αcos α的值；
(2)已知tan α＝2，求下列各式的值．
①；②2sin2α－sin αcos α＋cos2α.
解：(1)由sin α＋cos α＝－得(sin α＋cos α)2＝，
sin2α＋2sinαcos α＋cos2α＝，则sinαcos α＝－.
(2)因为tan α＝2，所以①＝＝－.
②＝＝＝.
1.已知三角函数值之间的关系式求其他三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，是分析解决问题的突破口．
方法归纳
2.已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法
(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．
例3 若sin α·tan α<0，化简.
解:∵sin α·tan α<0，∴cos α<0.
原式＝ ＋
＝＝
＝＝－.
1.证明恒等式的常用思路:
(1)从一边证到另一边，一般由繁到简;
(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者;
(3)比较法(作差法，作比法).
2.常用的技巧:
(1)巧用“1”的代换;
(2)化切为弦;
(3)多项式运算技巧的应用(分解因式).
方法归纳
2.若α是三角形的一个内角，且sin α+cos α=，则这个三角形是(　　)　　　　　　　　　　　　
A.等边三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
C
D
3.(多选)如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是(　　)
A.tanα＝－ B.cos α＝－
C.sinα＝ D.tanα＝
4.若sin α＋3cos α＝0，则的值为________.
BC
－
根据今天所学，回答下列问题：
（1）说一说同角三角函数的基本关系
（2）上述同角三角函数的基本关系有哪些基本变形？