安徽省阜阳市2025届高三上学期期末教学质量统测数学试卷（含答案）

安徽省阜阳市2025届高三上学期期末教学质量统测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，且，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知离散型随机变量服从二项分布，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知四面体的顶点为正方体的顶点，若该正方体的棱长为，则在所有这样的四面体中，体积最小的值为( )
A. B. C. D.
7.记为不超过的最大整数，则方程的实数解的个数为( )
A. B. C. D.
8.已知，对任意的，当时，恒有，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.“百节年为首，四季春为先”，年月日，中华民族传统佳节春节申遗成功为庆祝春节申遗成功，某校组织名学生参加中华优秀传统文化知识竞赛，经统计，这名学生的成绩都在区间内，按分数分成组：得到如图所示的频率分布直方图，根据图中数据，下列选项正确的有( )
A. 的值为
B. 这名学生中，成绩在区间内的人数最少
C. 这名学生中，成绩不低于分的人数约为
D. 这名学生成绩的第百分位数约为
10.已知函数，则下列选项正确的是( )
A. 在上单调递增
B. 的极小值点为
C. 若满足，则
D. 若满足，则
11.如图，圆锥的顶点为，将半径为的球置于该圆锥内，使得球与圆锥侧面相切于圆，平面与球切于点为圆上一点，四点共面，且平面，平面截该圆锥所得截口曲线为为曲线上一动点，记圆所在平面为平面，垂足为交圆于点，，则下列选项正确的有( )
A. B.
C. 是双曲线的一部分 D. 若越大，则曲线的开口越大
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
12.已知公比为的等比数列的前项和为，则 ．
13.连续掷一枚质地均匀的骰子两次，先后得到的点数分别为，记“”为事件，则事件发生的
概率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
已知曲线与曲线交于点，直线与曲线切于点，与曲线切于点，则的面积为 ．
15.本小题分
在中，角的对边分别是，且．
求角的大小；
若为的中点，且，求的周长．
16.本小题分
如图，多面体中，平面平面是的中点．
证明：平面．
若，且二面角的余弦值为，求的长．
17.本小题分
已知函数，直线．
已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数，利用上述条件，求函数的对称中心；
判断“”是否为“与的图象有个交点，且交点的横坐标依次成等差数列”的必要不充分条件，并说明理由．
18.本小题分
已知椭圆的长轴长为，离心率为．
求椭圆的标准方程．
已知圆，直线，直线与椭圆交于两点，为上异于的点，且直线与圆相切．
若直线的斜率存在，证明：直线的斜率之积为定值，且直线与圆相切．
求面积的最小值．
19.本小题分
记表示中第项除以整数所得的余数为，其中，若关于的方程有解，则称数列为的数列．
若，判断数列是否为的数列，并说明理由．
若满足．
证明：．
证明：若，则对任意，数列恒为的数列．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：因为，
所以由正弦定理得，
由余弦定理得，
又所以．
为线段的中点，故，
，
因为，故，
整理可得，
在中，由余弦定理得，
所以，
两式联立可得，，
所以，
从而的周长为．

16.解：
取的中点，连接，
因为为中点，所以，，
因为平面平面，所以．
又因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以；
因为平面平面，所以平面．
如图所示建立空间直角坐标系，设，
则，
，
设为平面的法向量，
则有得
令，得，
显然平面的一个法向量可以为，
因为二面角大小余弦值为，所以有
．
解得，即的长为．

17.解：关于对称，
令，则，
即，
即，
化简得，
则有
得，得对称中心坐标为；
是必要不充分条件，
先证必要性：
若与图像交于，
则方程有个不相等的实数根，
即有个不相等零点，
由于
得，
所以，
因为为公差不为的等差数列，所以，
所以，得，
即，
由题意可得，有三个零点的一个必要条件是至少存在三个单调区间，
，
当，即时函数在上单调递增，
最多一个零点，不符合题意，故舍去；
当，即时，
解，得，
令，得，令，得，
得函数在递增，递减，在递增，
综上可得，符合题意，即为在上存在三个零点的必要条件得必要性成立；
再证充分性不成立，令，显然与仅有两个交点，
所以充分性不成立．
综上，“”是“与的图像有个交点，且交点的横坐标依次成等差数列”的必要不充分条件．

18.解：由于椭圆的长轴长为，则，即；
又，
得，
椭圆的标准方程为；
设，因为过原点，可得关于原点对称，所以，若的斜率存在，分别记为，
则有
因为在椭圆上，所以有
，
得，
即；
所以直线的斜率之积为定值．
设过且斜率为的直线与圆相切，
直线的方程为，
即，
有，
化简可得
因，
方程可化为
若与圆相切，则有为方程的根，
即，
的斜率之积为，得，
则
得也为方程的根，即与圆相切；
当斜率不存在时，可得当时，
得，满足与圆相切，
当时，得，满足与圆相切，
综上有与圆相切，则，又为的中点，
则可得，则可得，
，
，则得直线的方程为，
得，
，
同理，，
，
令，得：
，得，得，
所以在单调递减，在单调递增，则，
得的最小值为．

19.解：因为，所以数列是的数列，
记，
记，
则，
又因为
所以
则有，
同理可得所有的项均以周期性出现，周期为，故有
对任意，数列恒为的数列，即对任意，均存在，使得是的整数倍．，则只需保证能够整除即可；
显然，当时，命题成立；
当时，，
为了观察对于中的项，不妨先任取其中相邻两项，
定义集合，集合共有个元素，，
而显然不可能为，因为如果，可得对任意正整数，都有，即都能够被整除，矛盾；可得只能取中非的元素，最多有种取法，则必有和相同，则可得是以为周期的数列；
，
即，
则有，
，
可得，
得，
即能够被整除，即，得证．
都可以满足

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