2024-2025学年上海宜川中学高一上学期数学月考试卷及答案（2024.12）（含答案）

宜川中学2024学年第一学期高一年级数学月考
2024.12
一、填空题（共54分，1-6每题4分，7-12每题5分）
1.已知集合，，则 .
2.若角的终边经过点，则 .
3.函数的定义域为 .
4.已知扇形的半径为4cm，面积为8cm2，则扇形圆心角的弧度为 .
5.已知，，且无论为何值时，函数的图像均经过一个定点，则该定点坐标为 .
6.函数的零点为 .
7.不等式的解集为 .
8.幂函数的图像关于轴成轴对称，且与轴、轴均无公共点，则的值为 .
9.已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 .
10.若关于的不等式有解，则实数的取值范围是 .
11.已知函数，若，且，则的取值范围是 .
12.已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是 .
二、选择题（共18分，13-14每题4分，15-16每题5分）
13.“”是“”成立的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分也非必要
14.设是正实数，以下不等式①；②；③；④恒成立的序号为（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
15.函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
16.已知函数的定义域为，有下面两个命题，
命题：若存在且，对任意，均有恒成立，则函数在上为严格减函数；
命题：若函数在上为严格减函数，且恒成立，则存在且，对任意，均有恒成立.则下列说法正确的是（ ）
A．命题是真命题，命题是真命题； B．命题是假命题，命题是真命题；
C．命题是真命题，命题是假命题； D．命题是假命题，命题是假命题.
三、解答题（共78分，17-19每题14分，20-21每题18分）
17.已知幂函数，且该函数的图像经过点.
(1)确定m、n的值；
(2)求满足条件的实数的取值范围.
18、已知函数是定义域为R的偶函数.
(1)求实数a的值；
(2)已知关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围.
19、随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施．某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）所满足的关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到105辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．
(1)若车流速度不小于20千米/小时，求车流密度的取值范围；
(2)隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．
20、对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.
(1)求函数的不动点；
(2)若关于的函数有两个不相等的不动点、，求的取值范围；
(3)若函数在区间上有唯一的不动点，求实数的取值范围.
21、已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质．
(1)若函数具有性质，求：的值；
(2)设，求证：存在常数，使得具有性质；
(3)若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数的值域为．
参考答案
一、填空题
1. 2. 3. 4.1 5. 6.4 7. 8.0/2/4 9. 10. 11. 12.
二、选择题
13、A 14、C 15、D 16、B
三、解答题
17.（1） (2)
18.（1） （2）
19.（1） 2450辆/小时，70辆/千米
20.对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.
(1)求函数的不动点；
(2)若关于的函数有两个不相等的不动点、，求的取值范围；
(3)若函数在区间上有唯一的不动点，求实数的取值范围.
【答案】（1）和3. （2） （3）
【解析】（1）由题意知，即，则，
解得，，所以不动点为和3.
（2）依题意，有两个不相等的实数根、，
即方程有两个不相等的实数根、，
所以，解得，或，且，，
所以，
因为函数对称轴为
当时，随的增大而减小，若，则；
当时，随的增大而增大，若，则；故，
所以的取值范围为.
（3）由，得，
由于函数在上有且只有一个不动点，
即在上有且只有一个解，令，
①，则，解得；
②，即时，方程可化为，另一个根为，不符合题意，舍去；
③，即时，方程可化为，另一个根为1，满足；
④，即，解得，
（ⅰ）当时，方程的根为，满足；
（ⅱ）当时，方程的根为，不符合题意，舍去；
综上，的取值范围是.
21.已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质．
(1)若函数具有性质，求：的值；
(2)设，求证：存在常数，使得具有性质；
(3)若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数的值域为
【答案】（1）3 （2）见解析 （3）见解析
【解析】（1）因为函数具有性质，所以，
所以．
（2）证明：设，则，令，即，
设，因为，
所以在区间上函数存在零点，
当时，则，此时函数具有性质．
（3）证明：设，因为，所以，
设，因为，
所以具有性质，，
令得，，
①若，则函数在存在零点；
②若，即时，
当时，，即，
所以在区间存在零点；
③若，即，因为，
所以，所以，
当时，，即，
所以在区间存在零点；
综上所述，，都存在零点，即都有，
故的值域为．